アトラス（トポロジー）

数学、特に位相幾何学において、アトラスは多様体を説明するために使用される概念です。アトラスは、大まかに言えば、多様体の個々の領域を説明する個別のチャートで構成されています。一般に、アトラスの概念は、多様体や、ベクトル束やその他のファイバー束などの関連構造の正式な定義の基礎となっています。

アトラスの定義はチャートの概念に依存します。位相空間Mのチャートは、 Mの開集合Uからユークリッド空間の開集合への同相写像です。チャートは伝統的に順序付きペア として記録されます。^[1] ${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$

ユークリッド空間で座標系を選択すると、 上の座標が定義されます。の点の座標はの座標として定義されます。 チャート とこのような座標系によって形成されるペアは、ローカル座標系、座標チャート、座標パッチ、座標マップ、またはローカル フレームと呼ばれます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \varphi (P).}$

位相空間のアトラスは、が覆う(つまり)チャートのインデックス付きファミリです。ある固定されたnに対して、各チャートの像がn次元ユークリッド空間の開集合である場合、 はn次元多様体であるといわれます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$${\displaystyle M}$

アトラスの複数形はatlasesであるが、 atlantesを使用する著者もいる。^{[2] [3]}

次元多様体上のアトラスは、次の条件が満たされる場合、適切なアトラスと呼ばれます。 ^{[説明が必要]}${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$

• 各チャートのイメージは または であり、は閉じた半空間です。^{[説明が必要]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$はの局所有限開被覆であり、${\displaystyle M}$
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$、ここでは原点を中心とする半径 1 の開いた球です。${\displaystyle B_{1}}$

あらゆる第2可算多様体には適切なアトラスが存在する。^[4]さらに、 が第2可算多様体の開被覆である場合、上に適切なアトラスが存在し、 はの精緻化となる。^[4]${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

遷移マップは、地図帳の 2 つのチャートを比較する方法を提供します。この比較を行うには、一方のチャートともう一方のチャートの逆の合成を検討します。両方のチャートを定義領域の交差に制限しない限り、この合成は明確に定義されません。(たとえば、ヨーロッパのチャートとロシアのチャートがある場合、これらの 2 つのチャートの重なり、つまりロシアのヨーロッパ部分を比較できます。)

より正確には、 と が、が空でない多様体Mの2つのチャートであると仮定します。遷移マップは、次のように定義されるマップです。 ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha } \cap U_{\beta })}$$${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

と は両方とも同相写像なので、遷移写像も同相写像で あることに注意してください。${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$${\displaystyle \varphi _{\beta }}$${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

多様体には、単なる位相構造以上の構造が求められることがよくあります。たとえば、多様体上の関数の微分について明確な概念が必要な場合、遷移関数が微分可能なアトラスを構築する必要があります。このような多様体は微分可能と呼ばれます。微分可能な多様体が与えられれば、接ベクトルの概念を、次に方向微分の概念を、明確に定義できます。

各遷移関数が滑らかな写像である場合、アトラスは滑らかなアトラスと呼ばれ、多様体自体は滑らかなと呼ばれます。 あるいは、遷移写像がk個の連続導関数のみを持つように要求することもできます。その場合、アトラスは であると言われます。 ${\displaystyle C^{k}}$

非常に一般的には、各遷移関数がユークリッド空間の同相写像の擬群 に属する場合、アトラスは -アトラスと呼ばれます。アトラスのチャート間の遷移マップが局所的自明化を保存する場合、アトラスはファイバーバンドルの構造を定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• スムーズアトラス
• 滑らかなフレーム

• アトラス、ローランド、トッド著