テンソル場

数学と物理学において、テンソル場は、数学的空間（通常はユークリッド空間または多様体）または物理的空間の領域の各点にテンソルを割り当てる関数です。テンソル場は、微分幾何学、代数幾何学、一般相対性理論、物質の応力と歪みの解析、および物理科学のさまざまな応用で使用されます。テンソルがスカラー（速度などの値を表す純粋な数）とベクトル（速度などの大きさと方向）の一般化であるように、テンソル場は、空間の各点にそれぞれスカラーまたはベクトルを割り当てるスカラー場とベクトル場の一般化です。テンソルA がモジュールM上のベクトル場セットX(M)上で定義されている場合、 A をM上のテンソル場と呼びます。^[1] 「テンソル」と呼ばれる多くの数学的構造もテンソル場です。たとえば、リーマン曲率テンソルは、位相空間であるリーマン多様体の各点にテンソルを関連付けるので、テンソル場です。

M を多様体、例えばユークリッド平面 R ⁿとします。

定義。型 ( p , q ) の テンソル体はセクションである。

${\displaystyle T\ \in \ \Gamma (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})}$

ここで、VはM上のベクトル束、V ^*はその双対、 ⊗ はベクトル束のテンソル積です。

同様に、これは すべての点x ∈ Mについて、 T _x ∈ V _x ^⊗p ⊗ ( V _x ^* ) ^⊗qの要素の集合であり、滑らかな写像T : M → V ^⊗p ⊗ ( V ^* ) ^⊗qに配置されます。要素T _xはテンソルと呼ばれます。

多くの場合、 V = TM をMの接束とみなします。

直感的には、ベクトル場は、長さと方向が可変で、領域の各ポイントに付けられた「矢印」として視覚化するのが最適です。曲がった空間上のベクトル場の一例としては、地球表面の各ポイントにおける水平風速を示す天気図があります。

ここで、より複雑な体について考えてみましょう。たとえば、多様体がリーマン体である場合、計量体 があり、点における任意の2 つのベクトルが与えられた場合、それらの内積は となります。この体は行列形式で与えることができますが、座標の選択に依存します。代わりに、各点で半径 1 の楕円体として与えることもできます。これは座標フリーです。地球の表面に適用すると、これはティソの指示楕円体になります。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle v,w}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g_{x}(v,w)}$${\displaystyle g}$

一般的に、テンソル フィールドは座標に依存しない方法で指定します。つまり、テンソル フィールドは、緯度と経度、または数値座標を導入するために使用している特定の「地図投影」とは独立して存在する必要があります。

Schouten (1951)とMcConnell (1957)によれば、テンソルの概念は参照フレーム（または座標系）の概念に依存しており、これは（何らかの背景参照フレームに対して）固定されている場合もありますが、一般にはこれらの座標系の変換のいくつかのクラス内で変化することが許可されています。^[2]

例えば、n次元実座標空間に属する座標は、任意の アフィン変換を受けることができる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}}$

（n次元の添え字を持ち、和は暗黙的に計算される）。共変ベクトルまたは共ベクトルは、このアフィン変換の下で次の規則に従って変換される 関数のシステムである。${\displaystyle v_{k}}$

${\displaystyle v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.}$

直交座標基底ベクトルのリストは、アフィン変換の下では共ベクトルとして変換される。反変ベクトルとは、このようなアフィン変換の下で変換を受ける座標の 関数のシステムである。${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle v^{k}}$

${\displaystyle v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.}$

これはまさに、その量が選択された座標系に依存しない不変オブジェクトであることを保証するために必要な要件です。より一般的には、価数テンソル（ p、q）はp個の下階のインデックスとq個の上階のインデックスを持ち、変換法則は ${\displaystyle v^{k}\mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle {T_{i_{1}\cdots i_{p}}}^{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots A_{i_{p}}^{i'_{p}}{T_{i'_{1}\cdots i'_{p}}}^{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots (A^{-1})_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

テンソル場の概念は、許容される座標変換を滑らか（または微分可能、解析的など）に特殊化することで得られます。共ベクトル場は、（指定されたクラスの）遷移関数のヤコビアンによって変換される座標の関数です。同様に、反変ベクトル場は逆ヤコビアンによって変換されます。 ${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle v^{k}}$

テンソル束はファイバー束であり、ファイバーは多様体である基本空間の接空間および/または余接空間の任意の数のコピーのテンソル積です。したがって、ファイバーはベクトル空間であり、テンソル束は特別な種類のベクトル束です。

ベクトル束は、「パラメータに連続的（または滑らかに）依存するベクトル空間」という自然な考え方です。パラメータとは、多様体Mの点です。たとえば、角度に依存する 1 次元のベクトル空間は、メビウスの帯のように見えることもあれば、円筒のように見えることもあります。M上のベクトル束Vが与えられた場合、対応するフィールドの概念は束の切断と呼ばれます。M上で変化するmに対して、ベクトルの選択は 、

v _{m を}V _mに、

ここで、V _{m は}mにおけるベクトル空間です。

テンソル積の概念は基底の選択に依存しないため、 M上の 2 つのベクトル束のテンソル積を取ることは日常的なことです。接束(接空間の束) から始めて、テンソルの成分フリー処理で説明したすべての手順が、導入部で述べたように、座標とは無関係に日常的な方法で引き継がれます。

したがって、テンソル場の定義を、あるテンソル束の切断として与えることができる。（テンソル束ではないベクトル束もある。例えば、メビウスの帯など）。すべてが本質的な方法で行われているので、これは幾何学的内容が保証される。より正確には、テンソル場は多様体の任意の点に空間内のテンソルを割り当てる。

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},}$

ここで、Vはその点における接空間、 V ^{∗ は}余接空間です。接束と余接束も参照してください。

2 つのテンソル束E → MとF → Mが与えられたとき、 Eの切断空間から F の切断への線型写像 A : Γ( E ) → Γ( F ) は、Γ( E ) の各切断 s と Mの各滑らかな関数fに対してA ( fs ) = fA ( s )を満たす場合のみ、それ自体がのテンソル切断であるとみなすことができます。したがって、テンソル切断は、切断のベクトル空間上の線型写像であるだけでなく、切断のモジュール上のC ^∞ ( M )-線型写像でもあります。この特性は、たとえば、リー微分と共変微分はテンソルではないが、それらから構築される ねじれテンソルと曲率テンソルはテンソルであることを確認するために使用されます。${\displaystyle \scriptstyle E^{*}\otimes F}$

テンソル場の表記はテンソル空間の表記とよく似ていて混乱することがある。そのため、接束TM = T ( M )は次のように書かれることがある。

${\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}$

接束が多様体M上の(1,0)テンソル場（つまりベクトル場）の値域空間であることを強調するためである。これは、非常によく似た表記法

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$;

後者の場合、テンソル空間は 1 つだけですが、前者の場合は、多様体M内の各点に対してテンソル空間が定義されます。

中括弧付きの文字は、M上の無限微分可能なテンソル体の集合を表すために使われることがある。つまり、

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}$

M上の ( m , n ) テンソル束の無限微分可能なセクションです。テンソル体はこの集合の要素です。

多様体M上のテンソル場を特徴付ける、より抽象的な（しかし多くの場合有用な）方法がもう 1 つあります。それは、テンソル場を正直なテンソル（つまり、単一の多重線型マッピング）にする方法ですが、種類は異なります（ただし、実際には「テンソル場」を意味するときに「テンソル」と言うことが多いのは、通常このためではありません）。まず、M上のすべての滑らかな（C ^∞）ベクトル場（上記の表記法のセクションを参照）の集合を、点ごとのスカラー乗算による滑らかな関数の環C ^∞ ( M )上のモジュールである単一の空間と見なすことができます。多重線型性とテンソル積の概念は、任意の可換環上のモジュールの場合に簡単に拡張できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M):={\mathcal {T}}_{0}^{1}(M)}$

例として、滑らかな共ベクトル場（1形式）の空間、つまり滑らかな関数の加群を考えてみましょう。これらは滑らかなベクトル場に作用して、点ごとの評価によって滑らかな関数を生成します。つまり、共ベクトル場ωとベクトル場Xが与えられたとき、次のように定義します。 ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)={\mathcal {T}}_{1}^{0}(M)}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(X)(p):=\omega (p)(X(p)).}$

関係するすべてのものの点ごとの性質のため、 Xへの作用はC ^∞ ( M )線型写像である。つまり、 ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(fX)(p)=\omega (p)((fX)(p))=\omega (p)(f(p)X(p))=f(p)\omega (p)(X(p))=(f\omega )(p)(X(p))=(f{\tilde {\omega }})(X)(p)}$

Mの任意のpと滑らかな関数fに対して成り立ちます。したがって、コベクトル場をコタンジェントバンドルのセクションとしてだけでなく、ベクトル場から関数への線型写像としても見なすことができます。二重双対構成により、ベクトル場は同様にコベクトル場から関数への写像として表現できます (つまり、コベクトル場から「ネイティブに」開始して、そこから作業を進めることができます)。

M上の通常の単一テンソル（テンソル場ではありません！）を ベクトルと共ベクトル上の多重線型写像として構築することと完全に並行して、M上の一般的な ( k , l ) テンソル場を、のk 個のコピーとのl 個のコピーからC ^∞ ( M )へのC ^∞ ( M ) 多重線型写像 と 見なすことができます。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$

さて、k個のコピーの積と l個のコピーの積からC ^∞ ( M )への任意の写像Tが与えられたとき、それがM上のテンソル体から生じるのは、それがC ^∞ ( M )上で多重線型である場合に限る。つまり、 M上の型のテンソル体の-加群は、-多重線型形式の-加群と正準同型である。${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle (k,l)}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle \underbrace {\Omega ^{1}(M)\times \ldots \times \Omega ^{1}(M)} _{l\ \mathrm {times} }\times \underbrace {{\mathfrak {X}}(M)\times \ldots \times {\mathfrak {X}}(M)} _{k\ \mathrm {times} }\to C^{\infty }(M).}$^[3]

この種の多重線性は、単一の点で評価された場合でもベクトル場と 1 形式のすべての値に同時に依存する関数ではなく、点ごとに定義されたオブジェクト、つまりテンソル場を実際に扱っているという事実を暗黙的に表現しています。

この一般規則のよくある応用例は、レヴィ-チヴィタ接続（ベクトル場のペアをベクトル場に変換する滑らかなベクトル場の写像）がM上のテンソル場を定義しないことを示すことです。これは、それがYにおいて -線型であるだけだからです（完全なC ^∞ ( M )-線型性の代わりに、ライプニッツ規則)を満たします）。ただし、テンソル場でなくても、成分のない解釈を伴う幾何学的オブジェクトとしての資格があることを強調する必要があります。 ${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$

曲率テンソルは微分幾何学で議論され、応力エネルギーテンソルは物理学で重要であり、これら 2 つのテンソルはアインシュタインの一般相対性理論によって関連付けられています。

電磁気学では、電場と磁場が電磁テンソル場に結合されます。

多様体上の積分を定義する際に使用される微分形式は、テンソル場の一種であること は注目に値します。

理論物理学やその他の分野では、テンソル場を用いて表される微分方程式は、本質的に幾何学的であり（テンソルの性質によって保証される）、慣例的に微分積分学に結び付けられている関係を表現する非常に一般的な方法を提供します。そのような方程式を定式化するためにも、共変微分という新しい概念が必要です。これは、ベクトル場に沿ったテンソル場の変化の定式化を扱います。後にテンソル計算と呼ばれるようになった元の絶対微分積分学の概念は、接続という幾何学的概念の分離につながりました。

テンソル場の考え方の拡張には、M上の追加の線束 Lが組み込まれます。W がVとLのテンソル積束である場合、W はVとちょうど同じ次元のベクトル空間の束です。これにより、テンソル場の「ねじれた」タイプであるテンソル密度の概念を定義できます。テンソル密度は、 L が多様体上の密度の束、つまり余接束の行列式バンドルである場合の特殊なケースです。 (厳密に正確を期すには、遷移関数に絶対値も適用する必要があります。これは、有向多様体の場合にはほとんど違いはありません。) より伝統的な説明については、テンソル密度の記事を参照してください。

密度の束Lの特徴の 1 つは (ここでも向き付け可能であると仮定)、 L ^{s が}sの実数値に対して明確に定義されていることです。これは、厳密に正の実数値を取る遷移関数から読み取ることができます。これは、たとえば、s = ⁠の場合の半密度を取ることができることを意味します。1/2⁠ . 一般に、Wのセクション、 VとL ^sのテンソル積を取り、重みsを持つテンソル密度場を検討することができます。

半密度は、多様体上の積分演算子の定義や幾何量子化などの分野に適用されます。

Mがユークリッド空間であり、すべてのフィールドがMのベクトルによる変換によって不変であるとみなされる場合、テンソル フィールドが「原点にある」テンソルと同義である状況に戻ります。これは大きな害はなく、アプリケーションでよく使用されます。テンソル密度に適用すると、違いが生じます。密度の束は「点で」真剣に定義することはできません。したがって、テンソルの現在の数学的処理の制限は、テンソル密度が回りくどい方法で定義されることです。

テンソルの概念の高度な説明として、座標変更に適用された多変数の場合の連鎖律を、テンソル場を生み出すテンソルの自己矛盾のない概念の要件としても 解釈することができます。

抽象的に、連鎖律は 1 次コサイクルとして識別できます。これは、接線バンドルを本質的な方法で定義するために必要な一貫性を提供します。テンソルの他のベクトルバンドルには、テンソル構築の関数特性を連鎖律自体に適用することで得られる同等のコサイクルがあります。これが、それらも本質的な (つまり、「自然な」) 概念である理由です。

テンソルに対する「古典的」アプローチとして通常語られるものは、これを逆に読み取ろうとするものであり、したがって、真に基礎的なアプローチというよりは、経験的、事後的なアプローチです。座標変更下でテンソルがどのように変換されるかによってテンソルを定義することには、コサイクルが表現する一種の自己一貫性が暗黙的に含まれています。テンソル密度の構築は、コサイクル レベルでの「ねじれ」です。幾何学者は、テンソル量の幾何学的性質について何の疑問も抱いていません。この種の下降の議論は、理論全体を抽象的に正当化します。

テンソル場の概念は、異なる変換を行うオブジェクトを考慮することで一般化できます。座標変換の下で通常のテンソル場として変換されるが、逆座標変換のヤコビアンのw乗の行列式も乗じられるオブジェクトは、重みwのテンソル密度と呼ばれます。^[4] 不変的に、多重線型代数の言語では、テンソル密度は、 R だけで値を取るのではなく、n形式 ( nは空間の次元)の (1 次元) 空間などの密度バンドルで値を取る多重線型マップと考えることができます。より高い「重み」は、範囲内のこの空間との追加のテンソル積を取ることに対応します。

特殊なケースとして、スカラー密度があります。スカラー 1 密度は、多様体上で積分を定義するのが理にかなっているため、特に重要です。たとえば、一般相対論のアインシュタイン-ヒルベルト作用に現れます。スカラー 1 密度の最も一般的な例は、体積要素です。これは、計量​​テンソルgが存在する場合、座標における行列式の平方根であり、と表記されます。計量テンソルは、2 次共変テンソルであるため、その行列式は座標遷移の 2 乗でスケールされます。 ${\displaystyle {\sqrt {\det g}}}$

${\displaystyle \det(g')=\left(\det {\frac {\partial x}{\partial x'}}\right)^{2}\det(g),}$

これは、重み +2 のスカラー密度の変換法則です。

より一般的には、任意のテンソル密度は、適切な重みのスカラー密度と通常のテンソルの積です。ベクトル束の言語では、接線束の行列式束は、他の束をw回「ねじる」ために使用できる線束です。局所的には、より一般的な変換法則を使用してこれらのテンソルを認識できますが、変換法則ではヤコビ行列式またはその絶対値のいずれかを書くことができることを反映した、グローバルな疑問が生じます。密度の束の (正の) 遷移関数の非整数べきは意味をなすため、その意味では、密度の重みは整数値に制限されません。正のヤコビ行列式を持つ座標の変更に制限することは、向き付け可能な多様体上では可能です。これは、マイナス符号を除去する一貫したグローバルな方法があるためです。ただし、それ以外の場合、密度の線束とn形式の線束は異なります。本質的な意味の詳細については、多様体上の密度を参照してください。

• ジェット束 – 繊維が繊維束のセクションのジェットの空間である繊維束Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• リッチ計算 – テンソルベースの計算のためのテンソルインデックス表記
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