二重番号

代数学において、双対数は19 世紀に初めて導入された超複素数体系です。双対数はa + bεの形式で表現されます。ここで、aとbは実数、ε はを満たす記号です。 ${\displaystyle \varepsilon^{2}=0}$${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$

双数の数は成分ごとに加算され、次の式で乗算される。

${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,}$

これは、 ε ² = 0という性質と、乗算が双線型演算であるという事実から導かれます。

双対数は、実数上の次元2の可換代数と、アルティン局所環を形成します。これらは、非ゼロの冪零元を持つ環の最も単純な例の 1 つです。

双対数は 1873 年にウィリアム クリフォードによって導入され、20 世紀初頭にドイツの数学者エドゥアルト スタディによって使用されました。スタディは、双対数を使用して、空間内の 2 本の斜めの線の相対的な位置を測定する双対角を表現しました。スタディは、双対角をθ + dεと定義しました。ここで、θは 3 次元空間内の 2 本の線の方向間の角度、d はそれらの間の距離です。n次元の一般化であるグラスマン数は、 19 世紀後半に ヘルマン グラスマンによって導入されました。

現代代数学では、双対数の代数は、実数上の多項式環を不定数の2乗によって生成される主イデアルで割った商として定義されることが多い。つまり、 ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .}$

これは、 を基底要素と する1 次元ベクトル空間の外積代数として定義することもできます。${\displaystyle \epsilon }$

双数の除算は、分母の実部がゼロ以外の場合に定義されます。除算のプロセスは、分母にその共役を掛けて非実部をキャンセルするという点で 複素除算に似ています。

したがって、次の形式の式を評価するには

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}}$

分子と分母に分母の共役を掛けます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(cd\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(cd\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}$

これはcがゼロ以外の場合に定義されます。

一方、cがゼロでdがゼロでない場合、式

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

1. aが0以外の場合、解は存在しない
2. それ以外の場合は、任意の双対数で解くことができます。b/d⁠ + yε .

これは、「商」の非実数部が任意であり、したがって純粋な非実数双数に対しては除算が定義されないことを意味します。実際、それらは（自明に）ゼロの約数であり、明らかに双数 結合代数（したがって環）のイデアルを形成します。

双対数は正方行列で表すことができます。この表現では、行列は双対数に対応するゼロ行列に二乗されます。 ${\displaystyle a+b\バレプシロン }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \varepsilon }$

双対数を正方行列で表す方法は他にもある。それは、双対数を単位行列で表す方法と、 その平方が零行列である任意の行列で表す方法である。つまり、 2×2行列の場合、次の形式の零でない任意の行列である。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$

^[1]と${\displaystyle a^{2}+bc=0.}$

双対数の応用の一つは自動微分である。任意の多項式

${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}}$

実係数を持つ関数は、双対数値引数の関数に拡張できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$

ここでの導関数は${\displaystyle P'}$${\displaystyle P.}$

より一般的には、任意の（解析的）実関数は、テイラー級数を介して双対数に拡張できます。

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

ε ²以上のべきを含むすべての項は、εの定義により自明に0 になるからです。

これらの関数の双対数に対する合成を計算し、結果の εの係数を調べると、合成の導関数が自動的に計算されていることがわかります。

同様の方法は、 n次元ベクトル空間 の外積代数を使用して、 n変数の多項式に対しても機能します。

双対数の「単位円」は、z * = a − bεのときzz * = 1を満たすa = ±1の数から構成される。ただし、

${\displaystyle e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,}$

したがって、ε軸に適用された指数マップは「円」の半分だけをカバーします。

z = a + bεとします。a ≠ 0かつm = ⁠b/1つの⁠、 z = a (1 + mε )は双対数zの極分解であり、傾きmはその角度部分です。双対数平面での回転の概念は、 (1 + pε )(1 + qε ) = 1 + ( p + q ) εであるため、垂直せん断マッピングと同等です。

絶対的な空間と時間においてガリレイ変換は

${\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

つまり

${\displaystyle t'=t,\quad x'=vt+x,}$

静止座標系を速度 vの移動参照フレームに関連付けます。t + xε という2 つの数で 1 つの空間次元と時間に沿ったイベントを表すと、 1 + vεを乗算することで同じ変換が実行されます。

2 つの双対数pとqが与えられたとき、 zからpおよびqへの直線の傾きの差 (「ガリレイ角」) が一定となるようなzの集合が決定される。この集合は双対数平面におけるサイクルである。直線の傾きの差を一定とする方程式はzの実部における2 次方程式であるため、サイクルは放物線となる。双対数平面の「周期的回転」は、その射影直線の運動として生じる。Isaak Yaglomによれば、^{[2] : 92–93}サイクルZ = { z  : y = αx ² }は、せん断の合成に対して不変である。

${\displaystyle x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y}$

翻訳付き

${\displaystyle x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.}$

双対数は力学、特に運動学の総合に応用されている。例えば、双対数により、ロトイド関節のみを含む4節球面リンク機構の入出力方程式を、4節空間機構（ロトイド、ロトイド、ロトイド、円筒形）に変換することができる。双対化された角度は、角度という基本部分と、長さの単位を持つ双対部分から構成される。^[3]詳細については、 ねじ理論を参照。

現代の代数幾何学では、体（ここでは環を意味する）上の双対数は、スキームの点への接ベクトルを定義するために使用できます。^[4]体は本質的に選択できるため、スキームへの接ベクトルについて簡単に話すことができます。これにより、微分幾何学の概念を代数幾何学にインポートできます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

詳細: 双対数環は、「点の一次近傍」、つまり -スキーム上の関数の環として考えることができます。[ 4 ^]そして、-スキームが与えられた場合、スキームの -点はマップと1-1対応し、接ベクトルはマップと1-1対応します。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Spec} k\to X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X}$

上記の体は、本質的に剰余体となるように選択できます。つまり、スキーム 上の点が与えられた場合、茎について考えます。 は、 で示される唯一の最大イデアルを持つ局所環であることに注意してください。次に、 とします。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle S_{x}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$

この構成はより一般的に実行できます。可換環 Rに対して、 R上の双対数を多項式環R [ X ]をイデアル( X ² )で割った商として定義できます。すると、 Xの像の平方は 0 になり、上記の 元εに対応します。

双対数のより一般的な構成があります。可換環 とモジュールが与えられた場合、次の構造を持つ双対数環と呼ばれる 環が存在します。${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R[M]}$

これは、次のように定義される乗算を持つ-モジュールであり、${\displaystyle R}$${\displaystyle R\oplus M}$${\displaystyle (r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right)}$${\displaystyle r,r'\in R}$${\displaystyle i,i'\in I.}$

双対数の代数は、${\displaystyle M=R}$${\displaystyle \varepsilon =(0,1).}$

双対数は物理学に応用されており、超空間の最も単純で非自明な例の 1 つを構成します。同様に、それらは1 つの生成元だけを持つ超数です。超数は、概念をn個の異なる生成元εに一般化します。各生成元は反可換で、n を無限大にすることもできます。超空間は、複数の可換次元を許可することで、超数をわずかに一般化します。

物理学に双対数を導入する動機は、フェルミオンのパウリの排他原理に由来します。εに沿った方向は「フェルミオン」方向と呼ばれ、実数成分は「ボソン」方向と呼ばれます。フェルミオン方向は、フェルミオンがパウリの排他原理に従うという事実からこの名前が付けられています。座標の交換では、量子力学波動関数は符号を変え、2 つの座標が一緒にされると消えます。この物理的な概念は、代数関係 ε ² = 0によって表されます。

双対数上の射影直線のアイデアは、グリュンヴァルト^[5]とコラード・セグレ^[6]によって提唱された。

リーマン球面が複素射影直線を閉じるために無限遠に北極点を必要とするのと同様に、無限遠直線は双対数平面を円筒に閉じることに成功している。^{[2] : 149–153}

D が双対数x + yεの環で、U がx ≠ 0の部分集合であるとする。このとき、U はDの単数群である。B = {( a , b ) ∈ D × D  : a ∈ U またはb ∈ U}とする。 B 上で関係 が次のように定義される: ( a , b ) ~ ( c , d )ただし、 Uにua = cかつub = dとなるuが存在するとき。この関係は実際は同値関係である。 D上の射影直線上の点は、この関係P ( D ) = B /~の下でBの同値類である。これらは射影座標[ a , b ]で表わされる。

z → [ z , 1]による埋め込み D → P ( D )について考えます。すると、点[1, n ]（n ² = 0 ）はP ( D )にありますが、埋め込みの下のどの点の像でもありません。P ( D )は射影によって 円筒に写像されます。直線{ yε  : y ∈ R }（ε ² = 0 ）上で二重数平面に接する円筒を取ります。次に、円筒上の反対の直線を平面束の軸として取ります。二重数平面と円筒が交差する平面は、これらの面間の点の対応を提供します。二重数平面に平行な平面は、二重数上の射影直線上の点[1, n ] （ n ² = 0 ）に対応します。

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