エキゾチックR4

数学において、エキゾチックと は、ユークリッド空間に同相（すなわち形状保存）だが微分同相ではない（すなわち非滑らか）微分可能多様体である。最初の例は、1982年にマイケル・フリードマンらによって、位相4次元多様体に関するフリードマンの定理と滑らかな4次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンの定理の対比を用いて発見された。 ^{[1] [2]}クリフォード・タウブスによって初めて示されたように、非微分同相な微分可能構造の連続体が存在する。^[3]${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

この構成以前には、球面上の非微分同相な滑らかな構造（エキゾチック球面 ）が存在することはすでに知られていたが、4次元球面の特定のケースでそのような構造が存在するかどうかは未解決のままであった（2024年現在も未解決のままである）。4以外の任意の正の整数nに対して、エキゾチックな滑らかな構造は存在しない。言い換えれば、n ≠ 4の場合、に同相な滑らかな多様体はどれもに微分同相である^[4]。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

標準のオープンサブセットとしてスムーズに埋め込むことができる場合、エキゾチックは小さいと呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

小さなエキゾチックは、非自明な滑らかな 5 次元h -コボルディズム(この次元ではh - コボルディズム定理が成立しないというドナルドソンの証明によって存在する) から始めて、この次元では位相的なh - コボルディズム定理が成立するというフリードマンの定理を使用することによって構築できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

標準のオープンサブセットとしてスムーズに埋め込むことができない場合、エキゾチックは大規模と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

大きなエキゾチックの例は、コンパクトな 4 次元多様体は位相和として分割できることが多い (フリードマンの研究による) が、滑らかな和として分割することはできない (ドナルドソンの研究による) という事実を利用して構築できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

マイケル・ハートリー・フリードマンとローレンス・R・テイラー (1986) は、他のすべてのものを開集合として滑らかに埋め込むことができる最大のエキゾチック集合が存在することを示しました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

キャソンハンドルはフリードマンの定理（ここでは閉じた単位円板）によりに同相であるが、ドナルドソンの定理から、すべてが に微分同相ではないことがわかる。言い換えれば、キャソンハンドルの中にはエキゾチックなものもある。${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}.}$

エキゾチックな 4 次元球面が存在するかどうかは (2024 年現在) わかっていません。そのようなエキゾチックな 4 次元球面は、次元 4 における滑らかな一般化ポアンカレ予想の反例となります。妥当な候補として、グルックねじれが挙げられます。

• アクブルトコルク- ^[5]のクラスからエキゾチックなコルクを構築するために使用するツール${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle H^{3}(S^{3},\mathbb {R} )}$
• アトラス（トポロジー）

• フリードマン、マイケル H. ;クイン、フランク(1990)。4次元多様体の位相。プリンストン数学シリーズ。第39巻。プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08577-3。
• フリードマン、マイケル H. ; テイラー、ローレンス R. (1986) 。「4次元空間の普遍的平滑化」。微分幾何学ジャーナル。24 (1): 69– 78。doi : 10.4310/ jdg / 1214440258。ISSN 0022-040X。MR  0857376  。
• カービー、ロビオン C. (1989)。4次元多様体の位相。数学講義ノート。第1374巻。ベルリン：シュプリンガー出版社。ISBN 3-540-51148-2。
• スコーパン、アレクサンドル (2005)。4次元多様体のワイルドワールド。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-3749-8。
• Stallings, John (1962). 「ユークリッド空間の区分線形構造」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 58 (3): 481– 488. Bibcode :1962PCPS...58..481S. doi :10.1017/s0305004100036756. S2CID  120418488. MR0149457​
• Gompf, Robert E. ; Stipsicz, András I. (1999)。4次元多様体とカービー計算。数学大学院研究。第20巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-0994-6。
• タウブス、クリフォード・ヘンリー(1987)。  「漸近的に周期的な4次元多様体上のゲージ理論」。 微分幾何学ジャーナル。25 (3): 363– 430。doi : 10.4310/ jdg /1214440981。MR 0882829。PE 1214440981。