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一般相対性理論の数学は複雑です。ニュートンの運動理論では、物体が加速する間、物体の長さと時間の経過速度は一定のままです。つまり、ニュートン力学の多くの問題は代数だけで解くことができます。しかし、相対性理論では、物体の速度が光速に近づくにつれて、物体の長さと時間の経過速度の両方が大きく変化するため、物体の運動を計算するには、より多くの変数とより複雑な数学が必要になります。その結果、相対性理論では、ベクトル、テンソル、擬テンソル、曲線座標などの概念を用いる必要があります。
大きな質量の周りを円軌道で運動する粒子を例とした入門として、非相対論的および相対論的な扱いが、それぞれ「一般相対性理論のニュートン的動機」および「一般相対性理論の理論的動機」で説明されている。
数学、物理学、工学において、ユークリッドベクトル（幾何ベクトル[ 1 ]または空間ベクトル[ 2 ]、あるいはここでは単にベクトルと呼ばれることもある）は、大きさ（または長さ）と方向の両方を持つ幾何学的オブジェクトである。ベクトルは、点Aを点Bに「運ぶ」ために必要なものであり、ラテン語のvectorは「運ぶ者」を意味する[ 3 ] 。ベクトルの大きさは2点間の距離であり、方向はAからBへの変位の方向を指す。加算、減算、乗算、否定など、実数に対する多くの代数演算には、ベクトルに対する類似の演算があり、これらの演算は、交換法則、結合法則、分配法則といったおなじみの代数法則に従う。
テンソルは、ベクトルの概念を拡張して、方向を追加したものです。スカラー、つまり方向を持たない単純な数値は、グラフ上では点、つまり0次元のオブジェクトとして表されます。大きさと方向を持つベクトルは、グラフ上では線、つまり1次元のオブジェクトとして表されます。ベクトルは1つの方向を持つため、1階テンソルです。2階テンソルは2つの大きさと2つの方向を持ち、グラフ上では時計の針のような2本の線として表されます。テンソルの「階数」は、含まれる方向の数であり、個々の方向の次元とは別個のものです。2次元の2階テンソルは、数学的には2×2行列で表され、3次元では3×3行列で表されますが、どちらの場合も、2階テンソルの行列は「正方」です。 3階テンソルは3つの大きさと方向を持ち、3次元空間における方向を表す場合は3×3×3の立方体、といったように数値の立方体で表されます。
ベクトルは物理科学において基本的な概念です。ベクトルは、速度のように大きさと方向の両方を持つあらゆる量を表すために使用できます。速度の大きさは速さです。例えば、毎秒 5 メートルの速度は、ベクトル(0, 5)で表すことができます(2 次元で、正のy軸が「上」方向の場合)。ベクトルで表されるもう 1 つの量は力です。力は大きさと方向を持つためです。ベクトルは、変位、加速度、運動量、角運動量など、他の多くの物理量も記述します。電場や磁場などの他の物理ベクトルは、物理空間の各点におけるベクトルのシステム、つまりベクトル場として表されます。
テンソルは物理学においても幅広く応用されている。
一般相対性理論では、4次元ベクトル、すなわち4次元ベクトルが必要となります。これらの4つの次元は、長さ、高さ、幅、そして時間です。この文脈における「点」は、位置と時間の両方を持つ事象に相当します。ベクトルと同様に、相対性理論におけるテンソルも4次元を必要とします。一例として、リーマン曲率テンソルが挙げられます。
物理学や数学において、ベクトルはしばしばタプル（数値のリスト）と同一視され、これは座標系または基準系に依存します。座標系が回転や伸縮などの変換を受けると、ベクトルの成分も変換されます。ベクトル自体は変化しませんが、基準系は変化します。つまり、ベクトルの成分は変化を補正するために変化する必要があるということです。
ベクトルは、その成分の変換が座標の変換とどのように関連しているかに応じて、共変ベクトルまたは反変ベクトルと呼ばれます。
アインシュタイン記法では、反変ベクトルとテンソルの成分は上付き文字（例： x i）で、共変ベクトルとテンソルの成分は下付き文字（例：x i ）で表されます。添え字は、適切な行列（多くの場合、単位行列）を乗じることで「上げ」または「下げ」られます。
相対性理論では、宇宙には他のものより優位な基準点（または視点）は存在しないとされているため、座標変換は重要です。地球上では、北、東、高度といった次元が用いられ、これらは地球全体で共通して使われています。しかし、宇宙にはそのようなシステムは存在しません。明確な基準グリッドがないため、4つの次元を「向かう／遠ざかる」「左／右」「上／下」「過去／未来」と表現する方がより正確です。例として、地球が静止していると仮定し、アメリカ独立宣言の署名を考えてみましょう。レーニア山にいて東を見ている現代の観察者にとって、この出来事は前方、右、下、そして過去の出来事です。しかし、中世イングランドで北を見ている観察者にとって、この出来事は後方、左、上でも下でもない、そして未来の出来事です。出来事自体は変わっていません。変わったのは観察者の位置です。
斜交座標系とは、軸が必ずしも互いに直交していない座標系のことです。つまり、軸は直角以外の角度で交わります。上記のような座標変換を用いる場合、新しい座標系は、元の座標系と比べて軸が斜交しているように見えることがよくあります。
非テンソルとは、添え字の上げ下げにおいてテンソルと同様の振る舞いをするが、座標変換の下ではテンソルのように変化しない、テンソルに似た量のことである。例えば、座標が線形的に変化しない場合、クリストッフェル記号自体はテンソルにはなり得ない。
一般相対性理論では、重力場のエネルギーと運動量をエネルギー・運動量テンソルで記述することはできません。代わりに、制限された座標変換に関してのみテンソルとして振る舞うオブジェクトを導入します。厳密に言えば、そのようなオブジェクトはテンソルではありません。そのような擬テンソルの有名な例は、ランダウ・リフシッツ擬テンソルです。
曲線座標とは、座標軸間の角度が点ごとに変化する座標系のことです。つまり、直線で構成されたグリッドではなく、曲率のあるグリッドを持つということです。
その良い例が地球の表面です。地図では北、南、東、西が単純な正方形の格子として描かれることが多いですが、実際はそうではありません。南北に走る経線は曲線を描いており、北極で交わっています。これは、地球が平らではなく、丸い形をしているためです。
一般相対性理論では、エネルギーと質量は宇宙の4次元（＝時空）に曲率効果をもたらします。この曲率が重力を生み出します。よく例えられるのは、重い物体を伸ばされたゴムシートの上に置くと、シートが下向きに曲がるというものです。これは、宇宙の物体が置かれている座標系を曲がらせるのとよく似ています。ここでの数学的概念は、地球上の場合よりも複雑です。なぜなら、曲がった2次元表面を記述するために用いられる3次元ではなく、 4次元の曲がった座標系が生じるからです。
ユークリッド空間では、2点間の距離は、2点間の距離によって測定されます。距離は純粋に空間的なものであり、常に正の値をとります。時空では、2つの事象間の距離は、事象間の不変間隔によって測定されます。この間隔は、事象間の空間的な距離だけでなく、時間的な距離も考慮に入れています。2つの事象間の間隔s 2は、次のように定義されます。
ここでcは光速であり、Δ rとΔ t はそれぞれイベント間の空間座標と時間座標の差を表します。上記のs 2の符号の選択は、空間のような慣例 (−+++)に従います。Δ r 2のような表記は(Δ r ) 2を意味します。s 2がsではなく区間と呼ばれる理由は、 s 2が正、ゼロ、または負の値をとることができるためです。
時空間隔は、2つの事象の時間的分離（c 2 Δ t 2）と空間的分離（Δ r 2）のどちらが大きいかに基づいて、時間的、光的、空間的の3つの異なるタイプに分類できます。
特定の種類の世界線は時空の測地線と呼ばれ、平坦なミンコフスキー時空の場合は直線であり、一般相対性理論の曲がった時空ではそれに最も近いものとなる。純粋に時間的な経路の場合、測地線は（局所的に）2 つのイベント間の経路に沿って測定された最大の分離（時空間隔）の経路であり、一方、ユークリッド空間とリーマン多様体では、測地線は 2 点間の最短距離の経路である。[ 4 ] [ 5 ]測地線の概念は、測地線運動が時空における「純粋な運動」（慣性運動）であり、外部からの影響を受けないと考えられるため、一般相対性理論において中心的なものとなる。
共変微分は、ベクトル解析における方向微分を一般化したものです。方向微分と同様に、共変微分は規則であり、入力として次のものを受け取ります。(1) 点Pで定義されたベクトルu (微分を行う方向) 、(2) Pの近傍で定義されたベクトル場v 。出力は、点Pにおけるベクトルです。通常の方向微分との主な違いは、共変微分は、ある厳密な意味で、座標系での表現方法に依存しない必要があることです。
共変微分が与えられれば、点Pから始まる曲線γに沿って、点Pにおけるベクトルvの平行移動を定義できます。γの各点xについて、 xにおけるvの平行移動はxの関数となり、v ( x )と書くことができます。ここで、v (0) = vです。関数vは、γに沿ったv ( x )の共変微分が 0 であるという条件によって決定されます。これは、定数関数とは、その微分が常に 0 である関数であるという事実と似ています。
共変微分の式はクリストッフェル記号を用いて表すことができる。クリストッフェル記号は、アインシュタインの一般相対性理論において頻繁に用いられる。この理論では、時空はレヴィ・チヴィタ接続を持つ曲がった4次元ローレンツ多様体で表される。物質が存在する場合の時空の幾何学を決定するアインシュタイン場の方程式には、リッチテンソルが含まれている。リッチテンソルはリーマン曲率テンソルから導出され、リーマン曲率テンソルはクリストッフェル記号を用いて表すことができるため、クリストッフェル記号の計算は不可欠である。幾何学が決定されると、クリストッフェル記号が明示的に現れる測地線方程式を解くことによって、粒子や光線の経路が計算される。
一般相対性理論において、測地線は「直線」という概念を曲がった時空に一般化したものである。重要なのは、あらゆる外部の非重力的な力から解放された粒子の世界線は、特定の種類の測地線であるということである。言い換えれば、自由に運動または落下する粒子は常に測地線に沿って運動する。
一般相対性理論では、重力は力ではなく、曲がった時空幾何学の結果とみなすことができ、その曲率の源は応力エネルギーテンソル（例えば物質を表す）である。したがって、例えば、恒星の周りを公転する惑星の軌道は、恒星の周りの曲がった4次元時空幾何学の測地線を3次元空間に投影したものである。
曲線が測地線であるのは、その曲線上の任意の点における接線ベクトルが、基点における接線ベクトルの平行移動と等しい場合である。
リーマン曲率テンソルR ρ σμνは、空間の任意の領域における曲率の大きさを数学的に表します。平坦な空間では、このテンソルはゼロになります。
テンソルを縮約すると、さらに2つの数学的オブジェクトが生成されます。
リーマン曲率テンソルは、共変微分を用いて表現することができる。
アインシュタインテンソルGは、擬リーマン多様体上で定義されたランク 2 のテンソルです。添え字なしの表記では、次のように定義されます。
ここで、Rはリッチテンソル、gは計量テンソル、Rはスカラー曲率である。これはアインシュタイン場の方程式で用いられる。
応力エネルギーテンソル（応力エネルギー運動量テンソルまたはエネルギー運動量テンソルとも呼ばれる）は、物理学におけるテンソル量であり、時空におけるエネルギーと運動量の密度と流れを記述し、ニュートン力学の応力テンソルを一般化したものです。これは、物質、放射、および非重力力場の属性です。応力エネルギーテンソルは、一般相対性理論のアインシュタイン場方程式における重力場の源であり、ニュートン重力における質量密度がそのような場の源であるのと同様です。このテンソルは2つの添え字を持つため（次のセクションを参照）、リーマン曲率テンソルは、同じく2つの添え字を持つリッチテンソルに縮約する必要があります。
アインシュタイン場の方程式（EFE）またはアインシュタイン方程式は、アルベルト・アインシュタインの一般相対性理論における10個の方程式のセットであり、物質とエネルギーによって時空が曲がった結果として生じる重力の基本的な相互作用を記述する。[ 6 ] 1915年にアインシュタインによってテンソル方程式として初めて発表された[ 7 ] EFEは、局所的な時空曲率（アインシュタインテンソルで表される）を、その時空内の局所的なエネルギーと運動量（応力エネルギーテンソルで表される）と等しいとしている。[ 8 ]
アインシュタイン場の方程式は次のように書ける。
ここで、Gμνはアインシュタインテンソル、Tμνは応力エネルギーテンソルである。
これは、空間の曲率（アインシュタインテンソルで表される）が物質とエネルギーの存在（応力エネルギーテンソルで表される）に直接的に結びついていることを意味する。
アインシュタインの一般相対性理論において、シュヴァルツシルト計量（シュヴァルツシルト真空またはシュヴァルツシルト解とも呼ばれる）は、球状質量の外部の重力場を記述するアインシュタイン場方程式の解であり、質量の電荷、質量の角運動量、および宇宙定数がすべてゼロであるという仮定に基づいている。この解は、地球や太陽を含む多くの恒星や惑星のような、ゆっくりと回転する天体を記述するための有用な近似である。この解は、 1916年に死の直前に初めて発表したカール・シュヴァルツシルトにちなんで名付けられた。
ビルコフの定理によれば、シュワルツシルト計量は、アインシュタイン場の方程式の最も一般的な球対称真空解である。シュワルツシルトブラックホール、または静的ブラックホールとは、電荷も角運動量も持たないブラックホールのことである。シュワルツシルトブラックホールはシュワルツシルト計量によって記述され、質量以外では他のシュワルツシルトブラックホールと区別することはできない。
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