生殖（数学）

数学において、位相空間内の/上のオブジェクトの芽の概念は、そのオブジェクトと同種の他のオブジェクトとの同値類であり、それらのオブジェクトが共有する局所的性質を捉えるものである。特に、問題となるオブジェクトは主に関数（または写像）と部分集合である。この考え方の特定の実装では、問題となる関数または部分集合は解析的または滑らかであるなどの何らかの性質を持つが、一般にこれは必要ありません（問題となる関数は連続である必要さえない）。ただし、オブジェクトが定義される空間が位相空間であることは、局所的という単語に何らかの意味を持たせるために必要である。

この名前は、穀物の胚芽から派生したもので、胚芽は（局所的には）穀物と同様に関数の「中心」であるため、 束の比喩の延長として使われています。

位相空間Xの点xと 2 つの写像( Yは任意の集合) が与えられたとき、 xの近傍Uが存在してUに制限されると、fとgが等しい場合、およびはxにおいて同じ芽を定義します。つまり、 U内のすべてのuに対して が成り立ちます。 ${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(u)=g(u)}$

同様に、SとTがXの任意の2つの部分集合である場合、xの近傍Uが存在 し、

${\displaystyle S\cap U=T\cap U.}$

xに同じ芽を定義することは同値関係（マップ上またはセット上）であることは明らかであり、同値クラスは芽（マップ芽、またはセット芽）と呼ばれます。同値関係は通常次のように記述されます。

${\displaystyle f\sim _{x}g\quad {\text{または}}\quad S\sim _{x}T.}$

X上の写像fが与えられたとき、そのxにおける芽は通常 [ f ] _xと表記される。同様に、集合Sのxにおける芽は[ S ] _xと表記される。したがって、

${\displaystyle [f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.}$

Xの点xをYの点yに写像するXの点xにおける写像芽は次のように表される。

${\displaystyle f:(X,x)\to (Y,y).}$

この表記法を使用する場合、f はマップの同値クラス全体として意図され、任意の代表的なマップに対して同じ文字fが使用されます。

2つの集合がxにおいて細菌同値となるのは、それらの特性関数がxにおいて細菌同値となる場合のみであることに注意してください。

${\displaystyle S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.}$

マップはXのすべてで定義されている必要はなく、特に同じ定義域を持つ必要はありません。ただし、f が定義域Sを持ち、g が定義域Tを持ち、両方ともXのサブセットである場合、まずSとT がxで胚芽同値であり、さらに 、となるより小さな近傍Vについてであれば、 fとg はXのxで胚芽同値です。これは特に次の 2 つの設定に当てはまります。 ${\displaystyle S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,}$${\displaystyle f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}}$${\displaystyle x\in V\subseteq U}$

1. f はXの部分多様体 V上で定義され、
2. f はxに何らかの極を持つため、たとえば部分多様体から定義される有理関数のように、 xでは定義されません。

fとg がxにおいて胚芽と同等である場合、連続性、微分可能性などのすべてのローカル プロパティを共有するため、微分可能胚芽または解析胚芽などについて話すことは理にかなっています。部分集合についても同様です。胚芽の 1 つの代表が解析集合である場合、少なくともxのある近傍では、すべての代表も解析集合です。

対象Y上の代数構造は、 Yに値を持つ細菌の集合に継承されます。たとえば、対象Y がグループである場合、細菌を掛け合わせることは理にかなっています。つまり、[ f ] _x [ g ] _{x を}定義するには、まず近傍UとV上でそれぞれ定義された代表fとgを取り、[ f ] _x [ g ] _{x を}、点積マップfg ( 上で定義) のxにおける細菌として定義します。同様に、Y がアーベル群、ベクトル空間、または環である場合、細菌の集合もそれらになります。 ${\displaystyle U\cap V}$

XからYへの写像のxにおける芽の集合は、離散的なものを除いて、有用な位相を持ちません。したがって、芽の収束列について話すことはほとんど、あるいはまったく意味がありません。ただし、XとY が多様体である場合、ジェットの空間(写像 (-芽) のxにおける有限次テイラー級数) は、有限次元ベクトル空間と同一視できるため、位相を持ちます。 ${\displaystyle J_{x}^{k}(X,Y)}$

芽の概念は、層と前層の定義の背後にあります。位相空間X上のアーベル群の前層は 、 X内の各開集合Uにアーベル群を割り当てます。ここでのアーベル群の典型的な例としては、U上の実数値関数、U上の微分形式、U上のベクトル場、U上の正則関数（Xが複素多様体の場合）、U上の定数関数、U上の微分演算子などがあります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

の場合、特定の適合条件を満たす制限写像が存在します。固定されたxに対して、 res _WU ( f ) = res _WV ( g ) ( の両方の要素) となるxの近傍がある場合、要素と はxで同値であるといえます。同値類は、前層 のxにおける茎を形成します。この同値関係は、上で説明した胚同値の抽象化です。 ${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle \mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle g\in {\mathcal {F}}(V)}$${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

層を通して芽を解釈すると、芽の集合上の代数構造の存在についても一般的な説明が得られます。その理由は、茎の形成によって有限の限界が保存されるからです。これは、 Tがローヴェア理論で、層FがT代数である場合、任意の茎F _xもT代数であることを意味します。

および が追加の構造を持つ場合、 XからYへのすべての写像の集合の部分集合、またはより一般的には、与えられた前層とそれに対応する芽の部分前層を定義することができます。いくつかの注目すべき例を以下に示します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• が両方とも位相空間である場合、部分集合${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

連続関数は連続関数の芽を定義します。

• と の両方が微分可能な構造を持つ場合、その部分集合${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

回連続的に微分可能な関数の部分集合${\displaystyle k}$

${\displaystyle C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

滑らかな関数とその部分集合

${\displaystyle C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

解析関数のを定義できます (ここでは は無限大の順序数です。これは、およびからの類推による表記 の乱用です)。そして、(有限に) 微分可能で滑らかな 解析関数の芽の空間を構築できます。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{\infty}}$

• が複素構造を持つ場合（たとえば、が複素ベクトル空間のサブセットである場合）、それらの間の正則関数を定義できるため、正則関数の芽の空間を構築できます。${\displaystyle X,Y}$
• が代数構造を持つ場合、それらの間の正規関数（および有理関数）を定義でき、正規関数（および同様に有理関数）の芽を定義できます。${\displaystyle X,Y}$
• 正の無限大におけるの芽（または単にfの芽）は です。これらの芽は漸近解析やハーディ体で使用されます。${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow Y}$${\displaystyle \{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}}$

位相空間上の点における層の茎は、一般的に次のように表記されます。結果として、さまざまな種類の関数の層の茎を構成する芽は、次の表記法を借用します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{0}}$は、における連続関数の芽の空間です。${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{k}}$各自然数 に対しては、における- 回微分可能関数の芽の空間です。${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\infty}}$は、における無限に微分可能な（「滑らかな」）関数の芽の空間です。${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\omega }}$は、における解析関数の芽の空間です。${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$は、 における正則関数の芽の空間（複素幾何学）、または正則関数の芽の空間（代数幾何学）です。${\displaystyle x}$

集合と多様体の芽については、表記法はあまり確立されていません。文献に見られる表記法には次のようなものがあります。

• ${\displaystyle {\mathfrak {V}}_{x}}$は、 における解析多様体の芽の空間である。点が固定され既知である場合（例えば、 が位相ベクトル空間で の場合）、上記の各記号において点を省略することができる。また、 の場合には、記号の前に添え字を追加することができる。例として、${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \dim X=n}$
• ${\displaystyle {_{n}{\mathcal {C}}^{0}}、{_{n}{\mathcal {C}}^{k}}、{_{n}{\mathcal {C} }^{\infty }}、{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }}、{_{n}{\mathcal {O}}}、{_{n}{\mathfrak {V}}}}$は、 が- 次元ベクトル空間であり、の場合の上に示した芽の空間です。${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x=0}$

芽の応用におけるキーワードは局所性です。関数のある点における局所的な特性はすべて、その芽を解析することで調べることができます。芽はテイラー級数の一般化であり、実際に芽（微分可能関数）のテイラー級数は定義されています。導関数を計算するには、局所的な情報のみが必要です。

ジャームは、位相空間の選択された点の近くの動的システムの特性を決定するのに役立ちます。ジャームは、特異点理論とカタストロフィー理論の主要なツールの 1 つです。

考慮される位相空間がリーマン面、またはより一般的には複素解析多様体である場合、それらの上の正則関数の芽は冪級数として見ることができ、したがって芽の集合は解析関数の解析接続であると考えることができる。

細菌は微分幾何学における接線ベクトルの定義にも用いられる。接線ベクトルはその点における細菌代数上の点微分として見ることができる。^[1]

前述のように、細菌の集合は環などの代数構造を持つことがあります。多くの場合、細菌の環は任意の環ではなく、非常に特殊な特性を持ちます。

X が何らかの空間であると仮定する。各x ∈ Xにおいて、 xにおける関数の芽の環が局所環となることはよくある。これは、たとえば位相空間上の連続関数、実多様体上のk回微分可能、滑らかな、または解析的な関数 (そのような関数が定義されている場合)、複素多様体上の正則関数、代数多様体上の正則関数の場合に当てはまる。芽の環が局所環であるという性質は、局所環空間の理論によって公理化される。

しかし、生じる局所環の種類は、検討中の理論に密接に依存する。ワイエルシュトラスの準備定理は、正則関数の芽の環がネーター環であることを意味する。これらは正則環であることも示される。一方、R上の滑らかな関数の原点における芽の環を とする。この環は局所的であるがネーターではない。その理由を理解するには、この環の最大イデアルm が原点で消えるすべての芽で構成され、冪m ^kが最初のk − 1 導関数が消える芽で構成されることに注目する。この環がネーターである場合、クルル交差定理は、テイラー級数が消える滑らかな関数がゼロ関数になることを意味する。しかし、次式を考慮すると、これは誤りであることがわかる。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}}$

この環も一意の因数分解領域ではない。これは、すべてのUFDが主イデアルの昇順連鎖条件を満たすが、主イデアルの無限昇順連鎖が存在するためである。

${\displaystyle \cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .}$

x は最大イデアルmに含まれるので、包含は厳密です。

R上の連続関数の原点における芽の環は、その最大イデアルm がm ² = m を満たすという性質さえ持つ。任意の芽f ∈ m は次のように書ける。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},}$

ここで、sgn は符号関数です。| f | は原点でゼロになるため、これはf をmの 2 つの関数の積として表し、そこから結論が導き出されます。これは、ほぼ環理論の設定に関連しています。

• 分析多様性
• カタストロフィー理論
• 接着公理
• リーマン面
• 束
• 茎

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• ラガヴァン・ナラシムハン (1973)。実多様体と複素多様体の解析(第 2 版)。ノースホランド エルゼビア。ISBN 0-7204-2501-8。、第2章、2.1項「基本的な定義」。
• Robert C. GunningおよびHugo Rossi (1965)。「複数の複素変数の解析関数」Prentice-Hall。、第 2 章「正則関数の局所環」、特に段落 A「局所環の基本的性質」と段落 E「多様体の​​芽」。
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• PlanetMathにおける滑らかな関数の萌芽。
• Mozyrska, Dorota; Bartosiewicz, Zbigniew (2006). 「無限次元空間における芽のシステムと零点定理」arXiv : math/0612355 .無限次元設定における解析多様体の芽を扱った研究プレプリント。