ホロノミック基底

数学および数理物理学において、微分可能多様体Mの座標基底またはホロノミック基底は、多様体の 領域のすべての点Pで定義される基底ベクトル場{ e ₁ , ..., e _n }の集合である。

${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},}$

ここでδsは点Pと近傍の点 Qとの間の変位ベクトルであり、点Qと点Pとの座標距離は座標曲線xα （すなわち、 Pを通る多様体上の曲線で局所座標xα^{が変化し、他のすべての座標は}一定である曲線）に沿ってδxα^である。 ^[1]

このような基底と方向微分演算子を関連付けることが可能です。x ^α ( λ )で定義される多様体上のパラメータ化された曲線Cと接ベクトルu = u ^α e _α（ただしu ^α = ⁠ ）が与えられます。dxα^​/dλ⁠ 、およびCの近傍で定義された関数f ( x ^α ) の場合、 Cに沿ったfの変化は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.}$

u = u ^α e _αであることから、座標基底ベクトルe _αと偏微分演算子⁠ との同一視がよく行われる。∂/∂xα​^​⁠、ベクトルは関数に作用する演算子であると解釈される。 ^[2]

基底{ e ₁ , ..., e _n }がホロノミックであるための局所条件は、すべての相互リー微分がゼロになることである: ^[3]

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha } }\mathbf {e} _{\beta }=0.}$

ホロノミックでない基底は非ホロノミック基底、^[4]非ホロノミック基底または非座標基底と呼ばれる。

多様体M上の計量テンソル g が与えられた場合、 Mの任意の開領域Uにおいて正規直交となる座標基底を見つけることは一般に不可能である。^[5] 明らかな例外は、Mが実座標空間R ⁿであり、 g があらゆる点でユークリッド計量δ _ij e ⁱ ⊗ e ^jである多様体として考えられている場合である。 

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