環状空間

数学において、環空間は、位相空間の開集合と、制限の役割を果たす環準同型によってパラメータ化された（可換な）環の族である。正確には、構造層と呼ばれる環の層を備えた位相空間である。これは、開集合上の連続（スカラー値）関数の環の概念を抽象化したものである。

環状空間の中でも特に重要かつ目立つのは、局所環状空間、つまり、ある点における茎と、ある点における 関数の芽の環との類似性が有効な環状空間です。

環空間は、解析学だけでなく、複素代数幾何学や代数幾何学のスキーム理論にも現れます。

注: 環空間の定義では、ハーツホーンやウィキペディアを含め、ほとんどの解説では環を可換環に限定する傾向がある。一方、 Éléments de géométrie algébriqueでは、主に可換の場合を扱っているが、可換性の仮定は課していない。^[1]

環空間は 、上の環の層を伴う位相空間です。この層はの構造層と呼ばれます。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$

局所環空間とは、のすべての茎が局所環である（つまり、一意の極大イデアルを持つ）ような環空間です。 がすべての開集合 に対して局所環である必要はないことに注意してください。実際、そうなることはほとんどありません。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$${\displaystyle U}$

任意の位相空間は、を の開部分集合上の実数値（または複素数値）連続関数の層とすることで、局所環空間と見なすことができます。ある点における茎は、における連続関数のすべての芽の集合と考えることができます。これは、 における値が である芽からなる唯一の極大イデアルを持つ局所環です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$

が何らかの追加構造を持つ多様体である場合、微分可能な層、つまり正則関数を取ることもできます。これらは両方とも局所的に環を持つ空間を生み出します。 ${\displaystyle X}$

がザリスキー位相 を持つ代数多様体である場合、を 内で爆発しない (無限大にならない)ザリスキー開集合上に定義された有理写像の環とすることで、局所環空間を定義できます。この例の重要な一般化は、任意の可換環のスペクトルの一般化です。これらのスペクトルも局所環空間です。スキームは、可換環のスペクトルを「接着」することによって得られる局所環空間です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

からへの射はのペアであり、 は基礎となる位相空間間の連続写像であり、 は の構造層からXの構造層の直接像への射です。言い換えると、 から への射は次のデータによって与えられます。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$${\displaystyle (f,\varphi )}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

• 連続マップ ${\displaystyle f:X\to Y}$
• のすべての開集合に対する環準同型写像 の族で、制限写像と可換である。つまり、が の 2 つの開部分集合である場合、次の図は可換でなければならない(垂直写像は制限準同型である)。${\displaystyle \varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V_{1}\subseteq V_{2}}$${\displaystyle Y}$

局所環空間間の射には追加の要件がある:

• の茎と の茎の間にによって誘導される環準同型は、局所準同型でなければならない。つまり、任意の に対して、における局所環 (茎) の極大イデアルは、における局所環の極大イデアルに写像される。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)\in Y}$${\displaystyle x\in X}$

2 つの射を合成して新しい射を形成することができ、環空間のカテゴリと局所環空間のカテゴリが得られます。これらのカテゴリの同型は通常どおり定義されます。

局所環空間は、接空間の意味のある定義を可能にするのに十分な構造を持っています。を構造層 を持つ局所環空間とします。点 における接空間 を定義します。点 における局所環 (茎) を取り、最大イデアル を持ちます。すると は体であり、はその体 (余接空間)上のベクトル空間です。接空間はこのベクトル空間の 双対として定義されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle T_{x}(X)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$${\displaystyle T_{x}(X)}$

考え方は次のとおりです。 における接線ベクトルは、における「関数」、つまり の要素を「微分」する方法を示します。 における値がゼロである関数を微分する方法を知っていれば十分です。これは、他のすべての関数がこれらの関数と定数だけ異なるためであり、定数を微分する方法はわかっているからです。したがって、 のみを考慮する必要があります。さらに、 で値がゼロである 2 つの関数が与えられている場合、積の規則により、それらの積は で導関数 0 を持ちます。したがって、 の要素に「数値」を割り当てる方法を知っていればよく、これがデュアル空間で行われることです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$

局所環空間 が与えられると、上の特定の加群の層が、その応用、つまり-加群に発生します。これらを定義するには、上のアーベル群の層を考えます。が 内のすべての開集合に対して環上の加群であり、制限写像が加群構造と互換性がある場合、 を -加群と呼びます。この場合、におけるの茎は、すべての に対して、局所環（茎） 上の加群になります。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle x\in X}$

このような 2 つの- 加群間の射は、与えられた加群構造と互換性のある層の射です。固定された局所環空間上の - 加群のカテゴリはアーベル カテゴリです。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

- 加群のカテゴリの重要なサブカテゴリは、上の準連接層のカテゴリです。 - 加群の層は、自由 - 加群間の写像の余核に局所的に同型である場合に、準連接と呼ばれます。連接層は、局所的に有限型であり、有限ランクの自由 - 加群から への任意の射の核のすべての開部分集合に対しても有限型である 準連接層です。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{U}}$

• Grothendieck、Alexandreのセクション 0.4 。ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

• Onishchik, AL (2001) [1994]、「リング空間」、数学百科事典、EMS Press