プルバック

数学では、プルバックは、前合成とファイバー積という2つの関連するプロセスのいずれかであり、前合成は一般的なファイバー積の特殊なケースである。^{[ 1 ]}その双対はプッシュフォワードである。

関数による事前合成はおそらくプルバックの最も基本的な概念を提供する。簡単に言えば、関数${\displaystyle f}$変数の${\displaystyle y,}$どこ${\displaystyle y}$それ自体は別の変数の関数である${\displaystyle x,}$の関数として記述できます${\displaystyle x.}$これはプルバックです${\displaystyle f}$関数によって${\displaystyle y.}$$${\displaystyle f(y(x))\equiv g(x)}$$それは非常に基本的なプロセスであるため、しばしば言及されることなく見過ごされてしまう。

しかし、この意味で「引き戻し」できるのは関数だけではありません。引き戻しは、微分形式とそのコホモロジー類など、他の多くの対象にも適用できます。

• プルバック（差動ジオメトリ）
• プルバック（コホモロジー）

プルバックバンドルは、プルバックを前合成として捉える概念と、プルバックをデカルト正方形として捉える概念を橋渡しする例です。この例では、ファイバーバンドルの基底空間が、前合成の意味で上に引き戻されます。すると、ファイバーは基底空間内の固定点とともに移動します。結果として得られる新しいプルバックバンドルは、局所的には新しい基底空間と（変化していない）ファイバーのデカルト積のように見えます。プルバックバンドルには、基底空間への射影とファイバーへの射影の2つの射影があります。この2つの射影は、ファイバー積として扱うと整合性が取れます。

プルバックを関数空間に作用する演算子として考察すると、それは線形演算子となり、転置演算子または合成演算子として知られています。その随伴演算子はプッシュフォワード、あるいは関数解析の文脈では転送演算子です。

引き戻しの2つの概念の関係は、おそらく繊維束の断面によって最もよく説明できるだろう。${\displaystyle s}$繊維束の一部${\displaystyle E}$以上${\displaystyle N,}$そして${\displaystyle f:M\to N,}$そして引き戻し（事前構成）${\displaystyle f^{*}s=s\circ f}$sの​${\displaystyle f}$プルバック（ファイバー製品）バンドルの一部です${\displaystyle f^{*}E}$以上${\displaystyle M.}$

• 逆像関手– 代数トポロジーにおける構成 
• 引き戻し（圏論）
• 繊維カテゴリー
• 逆像層