モストウ剛性定理

数学において、モストウの剛性定理、または 強剛性定理、あるいはモストウ・プラサド剛性定理は、本質的に、次元が 2 より大きい完全な有限体積双曲多様体の幾何学は基本群によって決定され、したがって一意であることを述べています。この定理は、モストウ(1968)によって閉多様体に対して証明され 、マーデン (1974) によって 3 次元の有限体積多様体に拡張され、プラサド (1973) によって 3 以上のすべての次元に対して拡張されました。グロモフ (1981) は、グロモフノルムを使用した別の証明を与えました。ベッソン、コートワ、ガロット (1996) は、利用可能な最も単純な証明を与えました。

定理は有限体積の双曲型- 多様体 ( の場合) 上の (完全な) 双曲構造の変形空間が点であることを示していますが、種数の双曲面に対しては、定曲率のすべての計量 (微分同相写像まで) をパラメータ化する次元のモジュライ空間が存在し、これはタイヒミュラー理論に不可欠な事実です。3 次元の無限体積多様体 上の双曲構造の変形空間に関する豊富な理論もあります。${\displaystyle n}$${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle g>1}$${\displaystyle 6g-6}$

この定理は、幾何学的定式化（有限体積の完全多様体に関するもの）と代数的定式化（リー群の格子に関するもの） で与えることができる。

を- 次元双曲空間とします。完全双曲多様体は、 を自由かつ適切に不連続に作用する等長変換群で割ったものとして定義できます(これは、断面曲率 -1 を持つ完全 であるリーマン多様体として定義することと同値です)。体積形式の積分が有限である場合 (たとえば、コンパクトな場合)、それは 有限体積です。モストウの剛性定理は次のように述べられます。${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

および が次元の完全な有限体積双曲多様体であると仮定します。同型が存在する場合、それはからへの一意の等長変換によって誘導されます。${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle f\colon \pi _{1}(M)\to \pi _{1}(N)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

ここでは多様体 の基本群です。が を群で割った商として得られる双曲多様体である場合、 となります。 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \Gamma }$

同等のステートメントは、 から への任意のホモトピー同値性は、一意の等長変換にホモトピー化できるということです。 証明は、 が よりも次元が大きい場合、それらの間にホモトピー同値性は存在できないことを実際に示しています。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

双曲空間の等長変換群は、リー群（署名 の二次形式の射影直交群）と同一視できます。次のステートメントは上記のステートメントと同等です。 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$ ${\displaystyle (n,1)}$

およびを およびの2 つの格子とし、群同型 が存在すると仮定します。すると、および はにおいて共役になります。つまり、となる が存在します。${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$${\displaystyle f\colon \Gamma \to \Lambda }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \mathrm {PO} (n,1)}$${\displaystyle g\in \mathrm {PO} (n,1)}$${\displaystyle \Lambda =g\Gamma g^{-1}}$

モストウ剛性は、（その幾何学的定式化において）より一般的には、少なくとも 3 次元のすべての完全で有限体積の非正曲面（ユークリッド因子なし）局所対称空間の基本群に対して成り立ち、代数的定式化においては、 に局所同型でない単純リー群のすべての格子に対して成り立ちます。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

モストウの剛性定理から、有限体積双曲型n多様体M ( n >2)の等長変換群は有限であり、 に同型であることが分かります。 ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(M))}$

モストウ剛性は、サーストンによって三角形平面グラフの円充填表現の一意性を証明するためにも使用された。^[1]

幾何群論における関心のモストウの厳密さの結果として、準等長ではあるが互いに 通約可能ではない双曲群が存在することになります。

• 超剛性、高ランク空間に対するより強い結果
• 局所剛性、必ずしも格子ではない変形に関する結果。

• ベッソン、ジェラール、クルトワ、ジル、ガロ、シルベストル(1996)、「最小エントロピーとモストウの剛性定理」、エルゴード理論と動的システム、16 (4): 623–649、doi :10.1017/S0143385700009019、S2CID  122773907
• グロモフ、マイケル (1981)、「双曲多様体 (サーストンとヨルゲンセンによる)」、ブルバキセミナー、第 1979/80 巻(PDF)、数学講義ノート、第 842 巻、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー出版社、pp. 40–53、doi :10.1007/BFb0089927、ISBN 978-3-540-10292-2、MR  0636516、2016-01-10にオリジナルからアーカイブ
• マーデン、アルバート (1974)、「有限生成クライン群の幾何学」、数学年報、第 2 シリーズ、99 (3): 383–462、doi :10.2307/1971059、ISSN  0003-486X、JSTOR  1971059、MR  0349992、Zbl  0282.30014
• Mostow, GD (1968)、「n 空間における準共形写像と双曲空間形式の剛性」、Publ. Math. IHÉS、34 : 53–104、doi :10.1007/bf02684590、S2CID  55916797
• モストウ、GD (1973)、「局所対称空間の強剛性」、数学研究年報、第78巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08136-6、MR  0385004
• プラサド、ゴパル (1973)、「Q ランク 1 格子の強い剛性」、Inventiones Mathematicae、21 (4): 255–286、Bibcode :1973InMat..21..255P、doi :10.1007/BF01418789、ISSN  0020-9910、MR  0385005、S2CID  55739204
• Spatzier, RJ (1995)、「剛性理論における調和解析」、Petersen, Karl E.、Salama, Ibrahim A. (編)、エルゴード理論と調和解析との関連、1993 年アレクサンドリア会議議事録、ケンブリッジ大学出版、pp. 153–205、ISBN 0-521-45999-0（リー群、代数群、流れの力学など、さまざまな剛性定理の概要を示します。230 の参考文献が含まれています。）
• サーストン、ウィリアム（1978-1981）、3次元多様体の幾何学と位相、プリンストン講義ノート（2つの証明を示します。1つはモストウの元の証明に似ており、もう1つはグロモフノルムに基づいています）