ソボレフ空間

数学において、ソボレフ空間は、関数のL ^pノルムと指定された次数までのその導関数の組み合わせであるノルムを備えた関数のベクトル空間です。導関数は、空間を完全なものにするために適切な弱い意味で、つまりバナッハ空間に理解されます。直感的には、ソボレフ空間は、偏微分方程式などのいくつかの応用分野に対して十分な数の導関数を持ち、関数のサイズと規則性の両方を測定するノルムを備えた関数の空間です。

ソボレフ空間は、ロシアの数学者 セルゲイ・ソボレフにちなんで名付けられました。その重要性は、古典的な意味で理解される導関数を持つ連続関数の空間には強解が存在しない場合でも、いくつかの重要な偏微分方程式の弱解が適切なソボレフ空間に存在するという事実に由来しています。

このセクションと記事全体を通して、${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

数学関数の滑らかさには多くの基準があります。最も基本的な基準は連続性でしょう。より強力な滑らかさの概念は微分可能性の概念であり（微分可能な関数は連続でもあるため）、さらに強力な滑らかさの概念は導関数も連続であることです（これらの関数はクラスであると言われます—微分可能性クラスを参照）。微分可能関数は多くの分野で重要ですが、特に微分方程式では重要です。しかし、20世紀に、空間（またはなど）は微分方程式の解を研究するための適切な空間ではないことが観察されました。ソボレフ空間は、偏微分方程式の解を探すためのこれらの空間の現代的な代替物です。 ${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{2}}$

微分方程式の基礎モデルの量または特性は、通常、積分ノルムで表現されます。典型的な例としては、温度または速度分布のエネルギーを -ノルムで測定することが挙げられます。したがって、ルベーグ空間関数を微分するためのツールを開発することが重要です。 ${\displaystyle L^{2}}$

部分積分公式は、任意の （ただし、は自然数）に対して、コンパクトな台を持つすべての無限微分可能関数に対してとなる。${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D ^{\alpha \!}u\,dx,}$

ここで、 は順序の多重インデックスであり、次の表記法を使用します。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle |\alpha |=k}$

${\displaystyle D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

この式の左辺は、局所的に積分可能であると仮定した場合にのみ意味をなします。局所的に積分可能な関数が存在する場合、 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,v\;dx\qquad {\text{すべての }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

の弱い- 次偏微分と呼びます。 の弱い- 次偏微分が存在する場合、それはのほぼあらゆる場所で一意に定義され、したがってルベーグ空間の要素として一意に決定されます。一方、 の場合、古典微分と弱い微分は一致します。したがって、 がの弱い- 次偏微分である場合、それを と表記できます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle u}$${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$

例えば、関数

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

はゼロで連続ではなく、−1、0、1で微分可能ではない。しかし、関数

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

は の弱導関数であるため定義を満たし、その場合 はソボレフ空間内にあるとみなされます(任意の許容される については、以下の定義を参照)。 ${\displaystyle u(x),}$${\displaystyle W^{1,p}}$${\displaystyle p}$

ソボレフ空間は、弱微分可能性とルベーグノルムの概念を組み合わせたものです。 ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

1 次元の場合、のソボレフ空間は、の関数のサブセットとして定義され、 次までのその弱導関数は有限のL ^pノルムを持ちます。 上で述べたように、適切な意味での導関数の定義には注意が必要です。 1 次元の問題では、- 次導関数がほぼすべての点で微分可能であり、ほぼすべての点でその導関数のルベーグ積分に等しいと仮定すれば十分です (カントール関数などの無関係な例は除きます)。 ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (k{-}1)}$${\displaystyle f^{(k-1)}}$

この定義によれば、ソボレフ空間は自然なノルムを許容する。

${\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

これを の場合に拡張すると、その場合の規範は、本質的な上限を用いて次のように 定義される。${\displaystyle p=\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).}$

ノルムを装備するとバナッハ空間となる。数列の最初と最後、つまり、 ${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}$

${\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}}$

は上記のノルムと同等です（つまり、ノルムの 誘導されたトポロジは同じです）。

p = 2のソボレフ空間は、フーリエ級数との関連とヒルベルト空間を形成するため特に重要です。空間はヒルベルト空間であるため、このケースをカバーするために特別な表記法が生まれました。

${\displaystyle H^{k}=W^{k,2}.}$

この空間は、係数が十分に急速に減少するフーリエ級数によって自然に定義することができる。すなわち、 ${\displaystyle H^{k}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} )={\Big \{}f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty {\Big \}},}$

ここで はのフーリエ級数であり、 は1次元トーラスを表す。上記と同様に、等価なノルム ${\displaystyle {\widehat {f}}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.}$

どちらの表現も、パーセバルの定理と、微分はフーリエ係数を で乗算することと同等であるという事実から簡単に導かれます。 ${\displaystyle in}$

さらに、空間 は、空間 と同様に、内積 を許容します。実際、内積は内積 によって定義されます。${\displaystyle H^{k}}$${\displaystyle H^{0}=L^{2}.}$${\displaystyle H^{k}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.}$

この内積により 空間はヒルベルト空間になります。${\displaystyle H^{k}}$

1 次元では、他のソボレフ空間ではより単純な記述が可能です。たとえば、は(0, 1)上の絶対連続関数の空間(または、ほぼどこでもそのような関数に等しい関数の同値類) ですが、 は任意の区間 I に対してI上の有界リプシッツ関数の空間です。ただし、これらの特性は、複数の変数を持つ関数では失われるか、それほど単純ではありません。 ${\displaystyle W^{1,1}(0,1)}$${\displaystyle W^{1,\infty }(I)}$

すべての空間は（ノルム）代数です。つまり、2 つの要素の積は再びこのソボレフ空間の関数になりますが、 の場合はそうではありません（たとえば、原点で| x | ^−1/3のように動作する関数は にありますが、そのような 2 つの関数の積は には含まれていません）。 ${\displaystyle W^{k,\infty }}$${\displaystyle p<\infty .}$${\displaystyle L^{2},}$${\displaystyle L^{2}}$

多次元への移行は、定義そのものから始まり、より多くの困難をもたらします。の積分であるという要件は一般化されず、最も簡単な解決策は、分布理論の意味で微分を考慮することです。 ${\displaystyle f^{(k-1)}}$${\displaystyle f^{(k)}}$

正式な定義は次の通り。ソボレフ空間は、混合偏微分を持つ任意の多重インデックスに対して、${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}$

${\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

弱い意味で存在し、すなわち ${\displaystyle L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .}$

つまり、ソボレフ空間は次のように定義される。 ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.}$

自然数は ソボレフ空間の位数と呼ばれる。${\displaystyle k}$${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

の規範にはいくつかの選択肢があります。次の 2 つは一般的であり、規範の同等性の意味で同等です。 ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}$

これらのノルムのどちらに関しても、はバナッハ空間です。 については、 も可分空間です。はノルム を持つヒルベルト空間であるため、 で表記するのが慣例です。^[1]${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$

ソボレフ空間の定義のみに頼って扱うのは、かなり困難です。そのため、マイヤーズ・セラン定理により関数を滑らかな関数で近似できることは興味深いことです。この事実により、滑らかな関数の特性をソボレフ関数に翻訳することができます。が有限で開関数である場合、任意の関数の近似列が存在し、次のようになります。 ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )}$

${\displaystyle \left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.}$

がリプシッツ境界である場合、 は^[2]のすべてにおいてコンパクトな台を持つ滑らかな関数の制限であると仮定することもできる。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u_{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

高次元では、たとえば が連続関数のみを含むということはもはや正しくありません。たとえば、は3 次元の単位球です。 の場合、空間には連続関数のみが含まれますが、 の場合、これがすでに正しいかどうかは と 次元の両方に依存します。たとえば、次元球上で定義された関数に対して球面極座標を使用して簡単に確認できるため、次の式が得られます。 ${\displaystyle W^{1,1}}$${\displaystyle |x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})}$${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$${\displaystyle k>n/p}$${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.}$

直感的に言えば、 nが大きい場合、 fが 0 で爆発しても「意味が少なく」なります。これは、高次元では単位球が「外側が多くなり、内側が少なくなる」ためです。

とします。関数が 内にある場合、おそらく測度 0 の集合上で関数を修正した後でも、内の座標方向に平行なほぼすべての直線への制限は絶対連続です。さらに、座標方向に平行な直線に沿った古典的な微分は 内にあります。逆に、の座標方向に平行なほぼすべての直線への制限が絶対連続であれば、点ごとの勾配は 内のほぼすべての場所に存在し、内にあります。特に、この場合、 の弱偏微分と の点ごとの偏微分は、ほぼすべての場所で一致します。ソボレフ空間の ACL 特徴付けは、 Otto M. Nikodym (1933)によって確立されました。(Maz'ya 2011、§1.1.3) を参照してください。 ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ),}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L^{p}(\Omega ).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

より強い結果は、の関数が、測度ゼロの集合上で修正された後、モリーの不等式により指数のホルダー連続である場合に成立します。特に、および がリプシッツ境界を持つ場合、関数はリプシッツ連続です。 ${\displaystyle p>n.}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}},}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle \Omega }$

ソボレフ空間は、ヒルベルト空間とも表記される。これは、コンパクトに支えられた無限微分可能関数の閉包として定義される重要な部分空間を持つ。上で定義したソボレフノルムは、ここでは次のように帰着する。 ${\displaystyle W^{1,2}(\Omega )}$${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.}$

が正規境界を持つ場合、は境界で消える関数の空間として記述できる（トレースの意味で、下記参照）。が有界区間である場合、は、次の形式 の連続関数で構成される。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle H^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle \Omega =(a,b)}$${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b)}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]}$

ここで一般化された導関数は であり、積分は 0 なので、${\displaystyle f'}$${\displaystyle L^{2}(a,b)}$${\displaystyle f(b)=f(a)=0.}$

が有界である場合、ポアンカレ不等式は次のような定数が存在することを示します。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C=C(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

が有界である場合、から への注入はコンパクトです。この事実は、ディリクレ問題の研究や、ラプラス演算子の固有ベクトル(ディリクレ境界条件)からなるの正規直交基底が存在するという事実において役割を果たします。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$${\displaystyle L^{2}\!(\Omega ),}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

ソボレフ空間は偏微分方程式を調べるときによく考慮されます。ソボレフ関数の境界値を考慮することは不可欠です。 の場合、それらの境界値は制限によって記述されます。ただし、境界のn次元測度がゼロであるため、の境界での値をどのように記述するかは明確ではありません。次の定理^[2]によって問題が解決されます。 ${\displaystyle u\in C(\Omega )}$${\displaystyle u|_{\partial \Omega }.}$${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega ),}$

Tu はuのトレースと呼ばれる。大まかに言えば、この定理は、行儀のよい Ω に対するソボレフ空間への制限演算子を拡張する。トレース演算子Tは一般には射影的ではないが、1 < p < ∞に対してはソボレフ-スロボデッキ空間に連続的に写像されることに注意する。${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).}$

直感的に、トレースを取るには導関数の1/ p がかかります。トレースがゼロ、つまりTu = 0 であるW ^1,p (Ω)の関数u は 、次の等式で特徴付けられます。

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},}$

どこ

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.}$

言い換えれば、リプシッツ境界で囲まれた Ω の場合、トレースゼロ関数はコンパクトなサポートを持つ滑らかな関数で近似できます。 ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$

自然数kと1 < p < ∞に対して、フーリエ乗数^{[3] [4]}を用いて、空間は次のように定義できること がわかる。${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},}$

規範に従って

${\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}$

これは、上記の定義においてkを任意の実数sに置き換えることができるため、非整数順序のソボレフ空間の動機となる。結果として得られる空間

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}$

^{はベッセルポテンシャル空間[5]}と呼ばれる（フリードリヒ・ベッセルにちなんで名付けられている）。一般にはバナッハ空間であり、 p = 2の特殊な場合にはヒルベルト空間である。

は、からΩまでの関数の制限集合であり、ノルム ${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )}$${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.}$

再び、H ^s,p (Ω) はバナッハ空間であり、 p = 2の場合はヒルベルト空間です。

ソボレフ空間の拡張定理を用いると、 Ωが一様C ^k境界を持つ領域、 kが自然数、1 < p < ∞のとき、同値ノルムの意味でW ^k,p (Ω) = H ^k,p (Ω)が成立することが示される。埋め込みにより、

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

ベッセルポテンシャル空間はソボレフ空間の間の連続的なスケールを形成する。抽象的な観点からは、ベッセルポテンシャル空間はソボレフ空間の複素補間空間として現れる。つまり、同値ノルムの意味で、 ${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

どこ：

${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}$

分数階ソボレフ空間を定義するもう一つのアプローチは、ヘルダー条件をL ^p設定に一般化するというアイデアから生まれた。^[6]に対して、スロボデツキ半ノルム（ヘルダー半ノルムにほぼ類似）は次のように定義される。 ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.}$

s > 0 を整数ではなく とします。ホルダー空間と同じ考え方を用いると、ソボレフ・スロボデッキ空間^[7]は次のように定義されます。 ${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.}$

これはノルムに対するバナッハ空間である

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}$

が、特定の拡張演算子が存在するという意味で適切に正則である場合、ソボレフ・スロボデツキ空間もバナッハ空間のスケールを形成します。つまり、連続的な注入または埋め込み${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

0 < s < 1のとき、Ωがのベクトル部分空間でさえないような不規則なΩの例がある（ ^[8]の例9.1を参照）。 ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

抽象的な観点から見ると、これらの空間はソボレフ空間の実補間空間と一致します。つまり、同値ノルムの意味で以下が成り立ちます。 ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .}$

ソボレフ-スロボデツキ空間はソボレフ関数の痕跡の研究において重要な役割を果たしている。これらはベゾフ空間の特殊なケースである。^[4]

分数ソボレフ空間の特徴付けで生じる定数は、Bourgain-Brezis-Mironescu の公式によって特徴付けることができる。 ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle \lim _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy={\frac {2\pi ^{\frac {n-1}{2}}\Gamma ({\frac {p+1}{2}})}{p\Gamma ({\frac {p+n}{2}})}}\int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p};}$

そしてその状態

${\displaystyle \limsup _{s\nearrow 1}\;(1-s)\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{sp+n}}}\;dx\;dy<\infty }$

は1次ソボレフ空間にある関数を特徴付ける。^[9]${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$

が境界の挙動がそれほど悪くない領域である場合（たとえば、境界が多様体であるか、より許容度の高い「円錐条件」を満たす場合）、 の関数を の関数にマッピングする演算子Aが存在し、次のようになります。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

1. Au ( x ) = u ( x ) ほぼすべてのxに対して、${\displaystyle \Omega }$
2. ${\displaystyle A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$任意の 1 ≤ p ≤ ∞ および整数kに対して連続です。

このような演算子Aを拡張演算子と呼ぶことにする。${\displaystyle \Omega .}$

拡張演算子は、非整数 を定義する最も自然な方法です(フーリエ変換はグローバルな操作であるため、 を直接操作することはできません)。 の場合に限り と定義します。同様に、 に拡張演算子がある限り、複素補間によって同じ空間が生成されます。 に拡張演算子がない場合、複素補間が空間を取得する唯一の方法です。 ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).}$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$

その結果、補間不等式は依然として成立します。

上と同様に、を無限微分可能コンパクトに支えられた関数の空間の閉包として定義します。上記のトレースの定義から、次のことが言えます。 ${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$

自然な方法で ゼロによる拡張を定義すると、すなわち${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

f ∈ L ^p (Ω)の場合、ゼロによる拡張は、

${\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$

の要素である。さらに、 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

1 ≤ p ≤ ∞のソボレフ空間W ^1,p (Ω)の場合、関数u をゼロで拡張しても必ずしも の元が得られるわけではない。しかし、Ω がリプシッツ境界で有界である場合（例えば、∂Ω はC ¹）、Ω⊂⊂O となる（つまり、Ω が O にコンパクトに含まれる）任意の有界開集合 O に対して、有界線型作用素^{[2]が存在する。}${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

Ω 上の各 aeに対して、 Eu はO 内にコンパクトな台を持ち、 p、 Ω 、 O 、および次元nのみに依存する定数C が存在し、 ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}$

${\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

の拡張を${\displaystyle Eu}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

ソボレフ関数が連続的であるか、あるいは連続的に微分可能であるかを問うのは自然な疑問です。大まかに言えば、十分に多くの弱い導関数（つまり、kが大きい）は古典的な導関数をもたらします。この考え方は、ソボレフの埋め込み定理で一般化され、明確化されています。

次元nのコンパクトリーマン多様体のソボレフ空間について書く。ここでk は任意の実数で、1 ≤  p  ≤ ∞ である。( p  = ∞ の場合、ソボレフ空間はホルダー空間C ^{n ,α}として定義され、 k  =  n + αかつ 0 < α ≤ 1 である。) ソボレフの埋め込み定理は、かつ ${\displaystyle W^{k,p}}$${\displaystyle W^{k,\infty }}$ ${\displaystyle k\geqslant m}$${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}}$

${\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}}$

そして埋め込みは連続です。さらに、およびであれば、埋め込みは完全に連続です (これはコンドラホフの定理またはレリッヒ–コンドラホフの定理と呼ばれることもあります)。 の関数は、 m未満の次数のすべての導関数が連続するため、特にこれはソボレフ空間上のさまざまな導関数が連続するための条件を与えます。非公式には、これらの埋め込みは、 L ^p推定値を有界性推定値に変換するには、次元ごとに 1/ pの導関数が必要であることを示しています。${\displaystyle k>m}$${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}}$${\displaystyle W^{m,\infty }}$

非コンパクト多様体に対する埋め込み定理の類似のバリエーションとして、(Stein 1970) などがあります。コンパクトでないへのソボレフ埋め込みは、ココンパクト性という、関連しているがより弱い特性を持つことがよくあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ソボレフマッピング
• ソウチェクスペース
• ベソフスペース
• トリーベル・リゾルキン空間

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