統一性の分割

数学において、位相空間上の単位の分割${\displaystyle X}$⁠は集合 です${\displaystyle R}$連続関数から​​${\displaystyle X}$単位区間[0,1]に、すべての点に対して${\displaystyle x\in X}$:

• 近隣には​${\displaystyle x}$⁠関数のうち有限個を除くすべて⁠${\displaystyle R}$⁠はゼロ、 ^{[ 1 ]}であり、
• すべての関数値の合計${\displaystyle x}$⁠は1です。つまり、${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1.}$

単位分割は、局所的な構成を空間全体に拡張できる場合が多いため、有用である。また、データの補間、信号処理、スプライン関数の理論においても重要である。

統一性の分割の存在は、2つの異なる形態をとる。

1. オープンカバーの場合${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$空間には、統一性の分割が存在する${\displaystyle \{\rho _{i}\}_{i\in I}}$同じセットに対して インデックス付けされています${\displaystyle I}$⁠そのため、サポート$\displaystyle \rho _{i}\subseteq U_{i}.}$このような仕切りは、開口部に対して従属的であると言われている。${\displaystyle \{U_{i}\}_{i}.}$
2. オープンカバーの場合${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$局所的にコンパクトな空間には、単位の分割が存在する。${\displaystyle \{\rho _{j}\}_{j\in J}}$異なるインデックスセットに対してインデックス付けされる可能性がある${\displaystyle J}$⁠各​$\displaystyle \rho _{j}}$コンパクトなサポートがあり、それぞれ${\displaystyle j\in J}$⁠があります⁠${\displaystyle i\in I}$⁠サポート付き$\displaystyle \rho _{j}\subseteq U_{i}}$。

したがって、支持部をオープンカバーでインデックス付けするか、コンパクトな支持部を持つかのいずれかを選択することになる。空間がコンパクトであれば、両方の要件を満たす分割が存在する。

有限開被覆には、空間が局所的にコンパクトかつハウスドルフである限り、常にそれに従属する連続的な単位分割が存在する。^{[ 2 ]} 空間のパラコンパクト性は、任意の開被覆に従属する単位分割の存在を保証するための必要条件である。空間が属するカテゴリーによっては、これが十分条件となる場合もある。 ^{[ 3 ]}特に、ユークリッド空間のコンパクト集合は、任意の有限開被覆に従属する滑らかな単位分割を許容する。この構成では、連続かつ滑らかな多様体には存在するが、解析多様体には必ずしも存在しない軟化関数（バンプ関数）を使用する。したがって、解析多様体の開被覆に対しては、一般にその開被覆に従属する解析的な単位分割は存在しない。解析接続を参照。

もし​${\displaystyle R}$そして​​${\displaystyle T}$空間の統一性の分割である${\displaystyle X}$そして​​${\displaystyle Y}$それぞれ、すべてのペアの集合${\displaystyle \{\rho \otimes \tau$ \rho \in R,\ \tau \in T\}} は、 デカルト積空間の単位分割です。${\displaystyle X\times Y}$関数のテンソル積は次のように作用します。${\displaystyle (\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y).}$

させて${\displaystyle p}$そして${\displaystyle q}$円上の対蹠点となる$\displaystyle S^{1}}$. 上に統一の分割を構築できます$\displaystyle S^{1}}$点の補点のチャートを見ることによって${\displaystyle p\in S^{1}}$送信${\displaystyle S^{1}-\{p\}}$に${\displaystyle \mathbb {R} }$中央$\displaystyle q\in S^{1}}$では、${\displaystyle \Phi }$バンプ関数​${\displaystyle \mathbb {R} }$定義される$${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{その他}}\end{cases}}}$$次に、この関数と${\displaystyle 1-\Phi }$独自に拡張できる$\displaystyle S^{1}}$設定することで$\displaystyle \Phi (p)=0}$すると、関数のペアが${\displaystyle \{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}}$統一の分割を形成する$\displaystyle S^{1}}$。

場合によっては、より緩やかな定義が用いられる。空間内の各点において、特定の点におけるすべての関数値の合計は、1ではなく正であればよい。しかし、このような関数の集合が与えられた場合${\displaystyle \{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$厳密な意味での単位の分割は、合計で割ることによって得られる。分割は次のようになる。$\displaystyle \{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }}$どこ${\textstyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$これは、各点において有限個の項のみが非ゼロであるため、明確に定義されます。さらに、一部の著者は、サポートが局所的に有限であるという要件を削除し、次のことのみを要求します。${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$すべての人々のために${\displaystyle x}$[ ^{4 ]​}

作用素環の分野では、単位の分割は射影から構成される^{[ 5 ]}${\displaystyle p_{i}=p_{i}^{*}=p_{i}^{2}}$。 の場合${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$-代数では、エントリがペアごとに直交することが示せる：^{[ 6 ]}$${\displaystyle p_{i}p_{j}=\delta _{i,j}p_{i}\qquad (p_{i},\,p_{j}\in R).}$$一般的な*-代数では、単位の分割の要素が互いに直交するとは限らないこと に注意してください。 ^{[ 7 ]}

もし${\displaystyle a}$は単位の通常の要素です${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$-代数${\displaystyle A}$、そして有限スペクトルを持つ${\displaystyle \sigma (a)=\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}\}}$そして、スペクトル分解における射影は次のようになります。 $${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,P_{i},}$$ 統一の分割を形成する。^{[ 8 ]}

コンパクト量子群の分野では、基本表現の行と列は${\displaystyle u\in M_{N}(C)}$量子置換群の${\displaystyle (C,u)}$統一の分割を形成する。^{[ 9 ]}

単位分割を用いることで、多様体上で定義された関数の積分（体積形式に関して）を定義することができる。まず、多様体の単一の座標パッチ内にサポートが含まれる関数の積分を定義し、次に単位分割を用いて任意の関数の積分を定義する。最後に、定義が選択された単位分割に依存しないことを示す。

単位の分割を用いることで、任意の多様体上にリーマン計量が存在することを示すことができる。

最急降下法は、単位の分割を用いて積分の漸近展開を構築する。

リンクウィッツ・ライリーフィルタは、入力信号を高周波成分のみ、または低周波成分のみを含む2つの出力信号に分離するために、単位分割を実際に実装した例である。

固定次数mのベルンシュタイン多項式は、単位区間の単位分割となる、m + 1 個の線形独立な単変数多項式の族である。${\displaystyle [0,1]}$。

弱いヒルベルト零点定理は、もし${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$は、共通の消失点を持たない多項式である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$すると多項式が存在する${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$と${\displaystyle a_{1}f_{1}+\cdots +a_{r}f_{r}=1}$つまり、${\displaystyle \rho _{i}=a_{i}f_{i}}$ザリスキー開被覆に従属する多項式単位分割を形成する${\displaystyle U_{i}=\{x\in \mathbb {C} ^{n}\mid f_{i}(x)\neq 0\}}$。

単位分割は、有界領域におけるソボレフ関数のグローバルな滑らかな近似を確立するために使用されます。 ^{[ 10 ]}

• 滑らかさ § 統一性の滑らかな分割
• 接着公理
• 上質な束

• Tu, Loring W. (2011), 『多様体入門』、Universitext（第2 版）、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-4419-7400-6、ISBN 978-1-4419-7399-3第13章を参照

• 単位の分割に関する一般的な情報は[Mathworld]をご覧ください。