ディフェオロジー

数学において、集合上の微分学は微分可能多様体における滑らかなチャートの概念を一般化し、集合内の「滑らかなパラメータ化」が何であるかを宣言します。

この概念は、1980年代にジャン＝マリー・スリオによってEspace différentiel ^{[1] [2]}という名前で初めて導入され、後に彼の弟子であるポール・ドナート^{[3]とパトリック・イグレシアス [ 4]}によって発展されました。^[5]関連するアイデアは、1970年代に陳國才 ( Chen Guocai ) によって導入され、プロットの領域に開集合ではなく凸集合を使用しました。^[6]

位相多様体はに局所的に同相な位相空間であることを思い出してください。微分可能多様体は上の滑らかさの概念を次の意味で一般化します。微分可能多様体は の微分可能アトラス、つまり の開部分集合から多様体への写像のコレクションを持つ位相多様体であり、これは から の微分構造を「引き戻す」ために使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微分空間は、適切な公理を満たす写像の集合（微分学と呼ばれる）と集合から構成され、多様体上の地図帳の概念を一般化します。このように、滑らかな多様体と微分空間の関係は、位相多様体と位相空間の関係に似ています。

より正確には、滑らかな多様体は、 に局所的に微分同相である微分空間として同値に定義できます。実際、すべての滑らかな多様体は、その最大アトラス（ の開部分集合から多様体へのすべての滑らかな写像）で構成される自然な微分学を持ちます。この抽象的な観点は、特定のアトラス（したがって固定された次元）や基礎となる位相空間を参照しないため、多様体よりも一般的なオブジェクトの例を扱うのに適しています。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

集合上の微分学は、( )の開集合から への、プロットまたはパラメータ化と呼ばれる写像の集合で構成され、次の公理が成り立ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle X}$

• 被覆公理: すべての定数マップはプロットです。
• 局所性公理: 与えられた地図 に対して、 内のあらゆる点にがプロットとなるような近傍がある場合、自体もプロットになります。${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subset U}$${\displaystyle f_{\mid V}}$${\displaystyle f}$
• 滑らかな互換性公理: がプロットであり、 が何らかの開集合から の領域への滑らかな関数である場合、合成はプロットになります。${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\circ f}$

異なるプロットのドメインは、の異なる値に対して のサブセットになる可能性があることに注意してください。特に、任意の微分学には、 を持つプロットとして、その基礎となる集合の要素が含まれます。微分学を含む集合は、微分空間と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$

より抽象的に言えば、微分空間は、すべての、および開被覆に対して、の開部分集合のサイト上の具体的な層である。 ^[7]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$

微分空間間の写像は、最初の空間の任意のプロットとの合成が 2 番目の空間のプロットである場合に限り、滑らかであると呼ばれます。が滑らかで、全単射であり、その逆も滑らかな場合、それは微分同相写像と呼ばれます。 構築により、微分空間 が与えられた場合、 上で定義されたプロットは、からへのすべての滑らかな写像になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

微分空間は、射が滑らかな写像となるような圏を形成する。微分空間の圏は多くの圏論的操作の下で閉じている。例えば、それはデカルト閉、完全、および共完全であり、より一般的には準写像である。^[7]

任意の微分空間は自動的に、いわゆるD位相を持つ位相空間になる。^{[8]すべてのプロットが}連続するような最終的な位相（上のユークリッド位相に関して）。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

言い換えれば、部分集合が開いているのは、上の任意のプロットに対して が開いている場合のみである。実際、D-位相は滑らかな曲線によって完全に決定される。つまり、部分集合が開いているのは、 が任意の滑らかな写像に対して開いている場合のみである。^[9]${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle c^{-1}(U)}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \to X}$

D位相は自動的に局所的にパス連結され^[10]、微分空間間の微分可能写像はそれらのD位相間で自動的に連続する。 ^[5]

カルタン・ド・ラム計算は、微分学の枠組みの中で展開することができ、また、ファイバー束、ホモトピーなどの概念を適切に適応させることによっても展開することができる。 ^[5]しかし、微分空間に対する接空間と接束の標準的な定義は存在しない。 ^[11]

• 任意の集合には、粗い（または自明な、または非離散的な）微分学、つまり、可能な限り最大の微分学（任意のマップはプロットである）が備わっている可能性があります。対応する D 位相は自明な位相です。
• 任意の集合には離散的（または細かい）微分学、つまり可能な限り最小の微分学（プロットは局所的に定数なマップのみ）が備わっている。対応する D 位相は離散位相である。
• 任意の位相空間には連続微分学が備わっており、そのプロットはすべて連続写像となります。

• 任意の微分可能多様体は、その最大アトラス（つまり、プロットはすべて の開部分集合から多様体への滑らかな写像である）を考慮すると微分空間になります。その D 位相は元の多様体位相を復元します。この微分学では、2 つの滑らかな多様体間の写像が滑らかであるためには、それが微分学的意味で微分可能である必要があります。したがって、滑らかな写像を持つ滑らかな多様体は、微分空間のカテゴリの完全なサブカテゴリを形成します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 同様に、複素多様体、解析多様体などには、余分な構造を保存する写像からなる自然な微分学があります。
• 微分空間をモデル化するこの方法は、必ずしもユークリッド空間ではない局所モデルに拡張することができる。例えば、微分空間には、有限線型部分群である商空間 上にモデル化されたオービフォールドや、オーサント上にモデル化された境界とコーナーを持つ多様体などが含まれる^{[13] 。}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\Gamma }$${\displaystyle \ガンマ}$
• 任意のバナッハ多様体は微分空間である。^[14]
• 任意のフレシェ多様体は微分空間である。^{[15] [16]}

• 集合に2 つの異なる微分幾何学が与えられた場合、それらの共通部分は 上の微分幾何学であり、共通部分微分幾何学と呼ばれ、両方の初期微分幾何学よりも細かいものになります。共通部分微分幾何学の D 位相は、初期微分幾何学の D 位相の共通部分です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• が微分空間 のサブセットである場合、上の部分空間微分学は、 のプロットから構成される微分学であり、その像は のサブセットです。 が開いている場合、の D 位相はの D 位相の部分空間位相に等しくなりますが、一般にはより細かい場合があります。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• と が微分空間である場合、直積上の積微分学はと のプロットのすべての積によって生成される微分学である。 の D-位相は、との D-位相の積位相を含む最も粗いデルタ生成位相である。またはが局所的にコンパクトな場合、これは積位相に等しいが、一般にはより細かい場合がある。^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• が微分空間で が上の同値関係である場合、商集合/~上の商微分学は、から への射影によるのプロットのすべての合成によって生成される微分学です。 上の D-位相は の D-位相の商位相です(この位相は、微分学が自明でなくても自明である可能性があることに注意してください)。${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/\sim }$${\displaystyle X/\sim }$${\displaystyle X}$
• 関数による微分空間のプッシュフォワード微分学は、のプロットに対して、合成 によって生成される上の微分学です。言い換えると、プッシュフォワード微分学は、を微分可能にする上の最小の微分学です。商微分学は、射影 によるプッシュフォワード微分学に要約されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\circ p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\to X/\sim }$
• 関数による微分空間の引き戻し微分学は、そのプロットが のプロットとなるような写像である微分学です。言い換えると、引き戻し微分学は微分可能となる最小の微分学です。${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f\circ p}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$
• 2つの微分空間間の関数微分学は、微分可能写像の集合上の微分学であり、そのプロットは が滑らかであるような写像である（ の積微分学に関して）。と が多様体である場合、 のD位相は、弱位相を含む最小の局所パス連結位相である。^[9]${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}$${\displaystyle \phi :U\to {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}$${\displaystyle (u,x)\mapsto \phi (u)(x)}$${\displaystyle U\times X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}$

上のワイヤー微分学（またはスパゲッティ微分学）は、プロットが を局所的に通って因数分解される微分学です。より正確には、マップがプロットであるための必要十分条件は、任意の に対しての開近傍が存在し、2つのプロットおよびに対して となることです。この微分学は 上の標準的な微分学とは一致しません。たとえば、恒等式はワイヤー微分学ではプロットではありません。^[5]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p:U\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle p|_{V}=q\circ F}$${\displaystyle F:V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle q:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathrm {id} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

この例は、プロットが を介して局所的に因数分解される微分学に拡張することができます。より一般的には、滑らかな多様体上の階数制限微分学を考えることができます。つまり、マップがプロットとなるのは、その微分の階数が より小さいか等しい場合のみです。 は、ワイヤー微分学を復元します。^[17]${\displaystyle \mathbb {R} ^{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U\to M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=1}$

• 商は、非多様体微分学を構築する簡単な方法を提供します。たとえば、実数 の集合は滑らかな多様体です。商 は、無理数 に対して、無理トーラスと呼ばれ、正則2次元トーラスを傾きの直線で割った商に微分同相な微分空間です。これは非自明な微分学を持ちますが、そのD位相は自明な位相です。^[18]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} /(\mathbb {Z} +\alpha \mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha}$
• 部分空間微分学と関数微分学を組み合わせると、繊維束の切断空間やリー群の二分空間などで微分学を定義することができます。

多様体間の沈み込みと浸漬の概念と同様に、微分空間間の射の特別なクラスが 2 つあります。沈み込みは微分空間間の全射関数であり、 の微分学はの微分学の押し出しです。同様に、帰納は微分空間間の単射関数であり、 の微分学はの微分学の引き戻しです。沈み込みと帰納は自動的に滑らかになることに注意してください。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

およびが滑らかな多様体である場合を考えることは有益です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• すべての射影的沈み込み は沈み込みです。${\displaystyle f:X\to Y}$
• 沈み込みは必ずしも射影的な沈み込みである必要はありません。 1 つの例が に示されています。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y):=xy}$
• 単射浸漬は必ずしも帰納的である必要はありません。 1 つの例は、によって与えられる「8 の字」のパラメータ化です。${\displaystyle f:\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R^{2}} }$${\displaystyle f(t):=(2\cos(t),\sin(2t))}$
• 帰納法は必ずしも単射浸漬法である必要はない。一例として、で表される「半三次」法がある。^{[19] [20]}${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f(t):=(t^{2},t^{3})}$

微分空間のカテゴリでは、沈み込みはまさに強いエピモーフィズムであり、帰納はまさに強い単射である。沈み込みと帰納の両方である写像は微分同相写像である。^[17]

• パトリック・イグレシアス＝ゼムール：ディフェオロジー（書籍）、数学サーベイとモノグラフ、第185巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、米国[2013]。
• Patrick Iglesias-Zemmour: ディフェオロジー (多くの文書)
• diffeology.net diffeology と関連トピックに関するグローバル ハブ