多変数微積分

経路に沿った極限の概念から、同様の方法で多変数連続性の定義を導き出すことができます。つまり、関数に対して次のように言います。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$それ${\displaystyle f}$点において連続である${\displaystyle x_{0}}$、かつその場合に限る

すべての連続関数について$\displaystyle s(t):\mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{n}}$そのため$s(t_0)=x_0$。

極限と同様に、1つの経路に沿って連続している${\displaystyle s(t)}$多変量連続性を意味するものではない。

各引数の連続性が多変数連続性の十分条件ではないことは、次の例からもわかる。^{[ 1 ]： 17-19}例えば、実数値関数の場合${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$2つの実数値パラメータを持つ、${\displaystyle f(x,y)}$、継続性${\displaystyle f}$で${\displaystyle x}$固定の場合${\displaystyle y}$そして継続性${\displaystyle f}$で${\displaystyle y}$固定の場合${\displaystyle x}$継続性を意味するものではない${\displaystyle f}$。

考慮する

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}}$

この関数が定義により境界上および四角形の外側でゼロになることは容易に確認できる。${\displaystyle (0,1)\times (0,1)}$さらに、定数に対して定義された関数${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$そして${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$による

${\displaystyle g_{a}(x)=f(x,a)\quad }$そして${\displaystyle \quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad }$

連続的である。具体的には、

${\displaystyle g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0}$すべてのxとyに対して。したがって、${\displaystyle f(0,0)=0}$さらに、座標軸に沿って、${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=0}$そして${\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=0}$したがって、この関数は両方の引数に関して連続である。

しかし、パラメトリックパスを考えてみましょう${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t}$パラメトリック関数は次のようになります。

したがって、

したがって、この関数は両方の座標において連続であるにもかかわらず、多変数連続関数ではないことは明らかである。

• 一変数微積分における線形性と重ね合わせの原理は、多変数微積分にもそのまま適用されます。
• 構成：もし${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$そして${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}}$両方の点において、多変数連続関数である。${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}}$それぞれ、そして${\displaystyle g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$点においても多変数連続関数である${\displaystyle x_{0}}$。
• 乗算：もし${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$そして${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$どちらもその点において連続関数である。${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$、 それから${\displaystyle fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$連続${\displaystyle x_{0}}$、 そして${\displaystyle f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$も連続している${\displaystyle x_{0}}$ただし、${\displaystyle g(x_{0})\neq 0}$。
• もし${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$点において連続関数である${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$、 それから${\displaystyle |f|}$同じ点において連続性も保たれている。
• もし${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$点近傍において、（必要に応じて適切なノルム空間を用いて）リプシッツ連続である。${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$、 それから${\displaystyle f}$多変量連続${\displaystyle x_{0}}$。

1変数関数の導関数は次のように定義されます。

上述の極限の拡張を用いることで、導関数の定義をスカラー値関数に拡張することができる。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ある道に沿って${\displaystyle s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$:

限界値とは異なり、その値は経路の正確な形状に依存する。${\displaystyle s(t)}$経路に沿った導関数は、経路の接線ベクトルのみに依存することが示せる。${\displaystyle s(t_{0})}$つまり${\displaystyle s'(t_{0})}$ただし、${\displaystyle f}$はリプシッツ連続である${\displaystyle s(t_{0})}$そして、少なくともそのような経路のうちの1つについては限界が存在する。

したがって、方向微分の定義を次のように一般化することができる。スカラー値関数の方向微分${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$単位ベクトルに沿って${\displaystyle {\hat {\mathbf {u}}}}$ある時点で${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$は

または、通常の微分法で表現すると、

これは明確に定義された表現です。${\displaystyle f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}$は、1 つの変数を持つスカラー関数です。${\displaystyle t}$。

方向なしに一意のスカラー微分を定義することは不可能です。例えば、${\displaystyle \nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})}$また、方向微分が特定の方向には存在するが、他の方向には存在しないという場合もある。

偏微分は、導関数の概念を高次元に一般化したものである。多変数関数の偏微分とは、他のすべての変数を一定に保ったまま、ある1つの変数に関して微分することである。 ^{[ 1 ]： 26ff}

偏微分は、関数を座標軸に沿って方向微分したものと考えることができる。

偏微分は、より複雑な導関数の表現を作成するために、興味深い方法で組み合わせることができます。ベクトル解析では、del演算子（${\displaystyle \nabla }$) は、偏微分を用いて勾配、発散、回転の概念を定義するために使用されます。偏微分の行列であるヤコビ行列は、任意の次元の 2 つの空間間の関数の微分を表すために使用できます。したがって、微分は、関数の定義域内の点ごとに直接変化する線形変換として理解できます。

偏微分を含む微分方程式は偏微分方程式（PDE）と呼ばれます。これらの方程式は、一般的に、1つの変数に関する微分のみを含む通常の微分方程式よりも解くのが難しいです。 ^{[ 1 ]： 654ff}

1変数微積分では、微積分学の基本定理が微分と積分の間の関係を確立する。多変数微積分における微分と積分の間の関係は、ベクトル解析の積分定理によって具体化される。^{[ 1 ]： 543ff}

• 勾配定理
• ストークスの定理
• 発散定理
• グリーンの定理。

多変数微積分学のより高度な研究では、これら 4 つの定理は、多様体上の微分形式の積分に適用される、より一般的な定理である一般化ストークスの定理の具体的な形態であることがわかります。^{[ 2 ]}