差動構造

数学では、集合M上のn次元微分 構造（または微分可能構造）は、 M をn次元微分多様体 にします。これは、多様体上で微分計算を可能にする追加の構造を持つ位相多様体です。M がすでに位相多様体である場合、新しい位相は既存の位相と同一である必要があります。

自然数nと負でない整数または無限大である可能性のあるkに対して、 n次元C ^k微分構造^{[1]が C k} -アトラスを使用して定義されます。 C ^k -アトラスは、Mの部分集合(その和集合はM全体) と の開部分集合との間のチャートと呼ばれる全単射の集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi _{i}:M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

これらはC ^k互換である（以下に定義される意味で）：

各チャートは、多様体のサブセットを の開サブセットとして表示することを可能にしますが、この有用性は、それらのドメインが重なり合うときにチャートがどの程度一致するかに依存します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

次の 2 つのグラフを考えてみましょう。

${\displaystyle \varphi _{i}:W_{i}\rightarrow U_{i},}$

${\displaystyle \varphi _{j}:W_{j}\rightarrow U_{j}.}$

それらの領域の交差点は

${\displaystyle W_{ij}=W_{i}\cap W_{j}}$

2つのグラフの下の画像は

${\displaystyle U_{ij}=\varphi _{i}\left(W_{ij}\right),}$

${\displaystyle U_{ji}=\varphi _{j}\left(W_{ij}\right).}$

2 つのチャート間の遷移マップは、共有ドメイン上の画像間で変換されます。

${\displaystyle \varphi _{ij}:U_{ij}\rightarrow U_{ji}}$

${\displaystyle \varphi _{ij}(x)=\varphi _{j}\left(\varphi _{i}^{-1}\left(x\right)\right).}$

2つのチャートがC ^k互換であるのは、 ${\displaystyle \varphi _{i},\,\varphi _{j}}$

${\displaystyle U_{ij},\,U_{ji}}$

オープンであり、遷移マップ

${\displaystyle \varphi _{ij},\,\varphi _{ji}}$

は、 k次数の連続偏導関数を持ちます。k  = 0 の場合、遷移マップが連続していることのみが要求されるため、C ⁰アトラスは単に位相多様体を定義する別の方法です。k = ∞ の場合、すべての次数の導関数が連続している必要があります。多様体全体をカバーするC ^k互換チャート のファミリは、C ^k微分多様体を定義するC ^kアトラスです。 2 つのアトラスは、それらのチャートのセットの和集合がC ^{kアトラスを形成する場合、} C ^k同値です。 特に、位相多様体を定義する C 0 アトラスと C ⁰互換^であるC k アトラスは、^位相多様体上のC ^k微分構造を決定すると言われています。このようなアトラスのC ^k同値類は、多様体の異なるC ^k微分構造です。 それぞれの異なる微分構造は、同値類内のすべてのアトラスの和集合である一意の極大アトラスによって決定されます。

言語を簡略化するために、正確さを失わずに、与えられた集合上の最大C ^k −アトラスをC ^k −多様体と呼ぶこともできます。この最大アトラスは、トポロジーと基礎集合の両方を一意に決定します。後者はすべてのチャートのドメインの和集合であり、前者はこれらすべてのドメインの集合を基礎としています。

任意の整数k > 0 と任意のn −次元C ^k −多様体に対して、最大アトラスはHassler Whitneyによる定理により、同じ基礎集合上のC ^{∞ −アトラスを含みます。また、} n > 0 の場合は、任意の最大C ^k −アトラスにいくつかの異なる最大C ^∞ −アトラスが含まれますが、これらの異なるC ^∞ −アトラスの任意のペアに対して、 2 つを識別するC ^∞ −微分同相写像が存在することも示されています。したがって、微分構造、つまりC ^k −多様体内のC ^∞ − 構造を許容する任意の位相多様体上の滑らかな構造のクラスは 1 つしかありません (ペアワイズ滑らかな微分同相写像を法として)。少し大まかに言えば、滑らかな構造は (本質的に) 一意であると言えます。k = 0 の場合は異なります。つまり、 C ¹ −構造を許さない位相多様体が存在するということであり、これはKervaire (1960) ^{[2]によって証明され、後に}Donaldsonの定理の文脈で説明された（ヒルベルトの第5問題と比較）。

有向多様体上の滑らかな構造は、通常、方向保存の滑らかな同相写像を法として数えられます。すると、方向反転微分同相写像が存在するかどうかという疑問が生じます。次元が 4 未満の位相多様体には、「本質的に唯一の」滑らかな構造が存在します。次元が 4 を超えるコンパクト多様体の場合、「滑らかな型」、つまり、対になって滑らかな微分同相な滑らかな構造の同値類が有限数存在します。n ≠ 4 の R n の場合、これらの^型の数は 1 つですが、n = 4 の場合は、このような型の数が無数に存在します。これらは、エキゾチックR ⁴と呼ばれます。

次の表は、次元mが 1 から 20 までの値の場合の、位相m −球面S ^mの滑らかなタイプの数をリストします。滑らかな、つまりC ^∞ −微分構造を持ち、通常の球面と滑らかに微分同相ではない球面は、エキゾチック球面として知られています。

位相 4 次元球面S ⁴に滑らかな型がいくつあるかは、少なくとも 1 つあるということ以外、現在のところわかっていません。滑らかな型の数は 1 つ、有限数、または無限数である可能性があります。滑らかな型が 1 つだけあるという主張は、滑らかな ポアンカレ予想として知られています(一般化されたポアンカレ予想を参照)。ほとんどの数学者は、この予想は誤りである、つまりS ⁴には 1 つ以上の滑らかな型があると考えています。この問題は、位相 4 次元円板 (または 4 次元球) の滑らかな型が複数存在することに関係しています。

上で述べたように、4 次元未満では、各位相多様体に対して微分構造は 1 つしかありません。これは、1 次元と 2 次元についてはTibor Radóによって、 3 次元についてはEdwin E. Moiseによって証明されました。 ^[3] Robion KirbyとLaurent C. Siebenmann は、妨害理論を使用して、4 次元を超えるコンパクト位相多様体のPL 構造の数は有限であることを示すことができました。 ^[4] John Milnor、Michel Kervaire、およびMorris Hirsch は、コンパクト PL 多様体上の滑らかな構造の数が有限であり、同じ次元の球面上の微分構造の数と一致することを証明しました (Asselmeyer-Maluga、Brans の第 7 章を​​参照) 。これらの結果を組み合わせると、4 次元以外のコンパクト位相多様体上の滑らかな構造の数は有限です。

次元 4はより複雑です。コンパクト多様体の場合、結果は、2 番目のベッティ数 b _{2で測定される多様体の複雑さに依存します。}単連結4 次元多様体でベッティ数b ₂  > 18が大きい場合、結び目またはリンクに沿った手術を使用して新しい微分構造を作成できます。この手順を使用すると、可算無限個の微分構造を作成できます。ただし、他の微分構造の構築がわからないような単純な空間の場合でさえもです。コンパクトでない 4 次元多様体の場合、可算でない数の微分構造を持つ 例が多数あります。${\displaystyle S^{4},{\mathbb {C} }P^{2},...}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{4},S^{3}\times {\mathbb {R} },M^{4}\smallsetminus \{*\},...}$

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