シン・トン・ヤウ

シン・トン・ヤウ
生まれる	( 1949-04-04 )1949年4月4日（75歳） 中華民国広東省汕頭市
国籍	中国（1949-1990）、アメリカ（1990年以降）
母校	香港中文大学 カリフォルニア大学バークレー校(博士)
知られている	プラトー問題と極小曲面の解析と幾何学 最大曲面に関するベルンシュタインの問題 ボゴモロフ・宮岡・ヤウの不等式 ドナルドソン・ウーレンベック・ヤウの定理 フランケル予想 正のスカラー曲率の幾何学 偏微分方程式の勾配推定 ミンコフスキー問題 モンジュ・アンペール方程式 大森−ヤウ最大原理 正の質量定理 カラビ予想の解決とカラビ・ヤウ多様体の構築 非埋め込みケースにおけるウィルモア予想の解決 SYZ予想とミラー対称性 トーマス・ヤウ予想
配偶者	郭宇雲
子供たち	マイケル・ヤウ、アイザック・ヤウ
受賞歴	ジョン・J・カーティ賞（1981年） ヴェブレン賞（1981年） フィールズ賞（1982年） クラフォード賞（1994年） アメリカ国家科学賞（1997年） ウルフ賞（2010年） ショー賞（2023年）
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	清華大学 ハーバード大学 カリフォルニア大学サンディエゴ校 スタンフォード大学 ストーニーブルック大学 高等研究所
論文	非正曲率コンパクト多様体の基本群について (1971)
博士課程の指導教員	チェン・シーシン
博士課程の学生	リチャード・ショーン（スタンフォード大学、1977年） ロバート・バートニック（プリンストン大学、1983年） マーク・スターン（プリンストン大学、 1984年） 曹淮東（プリンストン大学、1986年） 天剛（ハーバード大学、1988年） 李俊（スタンフォード大学、1989年） 石万雄（ハーバード大学、1990年） 紀立珍（ノースイースタン大学、1991年） 劉克鋒（ハーバード大学、1993年） 王沛涛（ハーバード大学、1998年） 劉秋朱（ハーバード大学、2002年） ヴァレンティーノ・トサッティ（ハーバード大学、2009年）

ヤウ・シントン（中国語：丘成桐、ピンイン：Qiū Chéngtóng 、1949年4月4日生まれ）は、中国系アメリカ人の数学者。清華大学のヤウ数学科学センター所長であり、ハーバード大学名誉教授である。 2022年までハーバード大学のウィリアム・カスパー・グラウスタイン数学教授を務め、その後清華大学に異動した。^{[1] [2]}

ヤウは1949年に汕頭で生まれ、幼少時にイギリス領香港に移り、1969年に米国に移住した。偏微分方程式、カラビ予想、正のエネルギー定理、モンジュ＝アンペール方程式への貢献が認められ、1982年にフィールズ賞を受賞した。^{[3]ヤウは、現代の}微分幾何学と幾何解析の発展に大きく貢献した人物の一人であると考えられている。ヤウの研究は、凸幾何学、代数幾何学、列挙幾何学、ミラー対称性、一般相対性理論、弦理論などの数学と物理学の分野にも影響を与えており、応用数学、工学、数値解析にも影響を与えている。

ヤウは1949年に中華民国広東省汕頭市で客家人の両親のもとに生まれた。^[YN19]彼の先祖の故郷は中国の膠嶺県である。^[YN19]彼の母親のYeuk Lam Leungは中国の梅県出身であり、彼の父親のChen Ying Chiu (丘鎭英)は中華民国国民党の哲学、歴史、文学、経済学の学者であった。^[YN19]彼は8人兄弟の5番目であった。^[4]

ヤウが生後数か月の時、中国本土が共産党に支配された際、家族はイギリス領香港に移住した。そこでの学校教育は（英語の授業を除いて）両親の母国語である客家語ではなく、すべて広東語だった。 ^[YN19] 1979年、中国本土が改革開放の時代に入った時、華洛庸の招きでようやく再訪することができた。^{[YN19]最初は}元朗に住み、1954年に沙田に移転した。 ^[YN19]財産を全て失ったことで経済的に困窮し、彼が13歳の時、父親と2番目に年上の姉が亡くなった。^[YN19]ヤウは父親の本を読んで理解するようになり、勉強にもより熱心になった。培清中学校を卒業後、1966年から1969年まで香港中文大学で数学を学んだが、早期卒業したため学位は取得しなかった。^[YN19]彼は教科書を弟のスティーブン・シン・トン・ヤウに託し、弟も数学を専攻することにした。

ヤウは1969年秋、カリフォルニア大学バークレー校の数学博士課程に進学した。冬休み中にJournal of Differential Geometryの創刊号を読み、ジョン・ミルナーの幾何学群論に関する論文に深く感銘を受けた。^{[5] [YN19]その後、}プライスマンの定理の一般化を定式化し、次の学期にブレイン・ローソンとともにその考えをさらに発展させた。^{[6]この研究をもとに、翌年1971年に}シーシェン・チェンの指導の下で博士号を取得した。^[7]

ヤウはプリンストン高等研究所に1年間在籍した後、 1972年にストーニーブルック大学に助教授として着任した。1974年、スタンフォード大学で准教授となった。^{[8] 1976年、カリフォルニア大学ロサンゼルス校}（UCLA）で客員教授として働き、バークレー校の大学院生時代からの知り合いである物理学者のユユン・クオと結婚した。^[8] 1979年、高等研究所に戻り、1980年に教授となった。 ^{[8] 1984年、}カリフォルニア大学サンディエゴ校で教授職に就いた。^[9] 1987年、ハーバード大学に移った。^{[8] [10]} 2022年4月、ヤウはハーバード大学を退職した。同大学ではウィリアム・カスパー・グラウスタイン名誉数学教授を務めていた。^[8]同年、清華大学に数学教授として移った。^{[8] [2]}

ヤウの自伝によると、 1978年に英国領事館が彼の米国永住権を理由に香港居住権を剥奪した後、彼は「無国籍」になった。^{[11] [12] 1982年に}フィールズ賞を 受賞したときの地位について、ヤウは「数学のフィールズ賞を受賞したとき、私はどの国のパスポートも持っていなかったので、間違いなく中国人と見なされるべきだと誇りに思います」と述べた。^[13]ヤウは1990年に米国市民権を取得するまで「無国籍」のままだった。^{[11] [14]}

科学ジャーナリストのスティーブ・ナディスとともに、ヤウはカラビ・ヤウ多様体と弦理論に関する非技術的な解説、^{[YN10] [15]}ハーバード大学数学科の歴史、^{[NY13]中国における}円形電子陽電子衝突型加速器の建設のケース、^{[NY15] [16] [17]}自伝、^{[YN19] [18]}幾何学と物理学の関係に関する本を執筆した。^[NY24]

ヤウは現代の微分幾何学と幾何解析の発展に大きく貢献した。 1981年にウィリアム・サーストンは次のように述べている。^[19]

一人の数学者の研究が、数年の短期間で研究分野全体の方向性に影響を与えるという光景を目にする機会はめったにありません。幾何学の分野では、過去 10 年間に起きたそのような出来事の最も注目すべき例の 1 つが、シン・トン・ヤウの貢献です。

彼の最も広く称賛されている成果としては、モンジュ＝アンペール方程式の境界値問題の解決（シュウ＝ユエン・チェンと共著） 、一般相対性理論の数学的解析における正の質量定理（リチャード・ショーンと共著）、カラビ予想の解決、極小曲面の位相理論（ウィリアム・ミークスと共著）、ドナルドソン＝ウーレンベック＝ヤウの定理（カレン・ウーレンベックと共著）、偏微分方程式のチェン−ヤウおよびリー−ヤウの勾配推定値（シュウ＝ユエン・チェンおよびピーター・リーと共著）などがある。ヤウの成果の多くは（他の人の成果に加えて）ショーンとの共著の教科書に掲載された。^{[SY94] [SY97]}

研究に加えて、ヤウは主に中国にあるいくつかの数学研究所の創設者兼所長でもある。ジョン・コーツは、中国本土と香港での数学活動のための資金調達におけるヤウの成功に「現代の他のどの数学者も及ばない」とコメントしている。^[6]台湾の国立清華大学で休暇を取っていたとき、ヤウはチャールズ・カオから香港中文大学に数学研究所を設立するよう依頼された。数年間の資金調達活動の後、ヤウは1993年に多分野にわたる数学科学研究所を設立し、共著者であるシウ・ユエン・チェンを副所長に迎えた。1995年、ヤウは中国科学院の新しいモーニングサイド数学センターのためにロニー・チャンとジェラルド・チャンのモーニングサイド・グループから資金を集める際にヨンシャン・ルーを支援した。ヤウ氏はまた、浙江大学^{[20] 、}清華大学[ ^21]、国立台湾大学^[22]、三亜^[23]の数理科学センターにも関わってきた。より最近では、2014年に、ヤウ氏はハーバード大学に数理科学・応用センター（同氏が所長）、グリーンビルディング・都市センター、免疫学研究センターを設立するために資金を調達した。^[24]

ヤウは、李宗道と楊振寧が主催した以前の物理学会議をモデルに、現在3年ごとに開催されている国際中国数学者会議を提案した。第1回会議は1998年12月12日から18日までモーニングサイドセンターで開催された。彼は毎年開催される「Journal of Differential Geometry」および「Current Developments in Mathematics」会議の共同主催者でもある。ヤウはJournal of Differential Geometry、^[25] Asian Journal of Mathematics、^[26] Advances in Theoretical and Mathematical Physics ^[27]の編集長を務めている。2021年現在、彼は70人以上の博士課程の学生を指導してきた。^[7]

香港では、ロニー・チャンの支援を得て、高校生のためのハン・ルン賞を設立した。また、 2004 年 7 月に杭州で開催されたパネルディスカッション「なぜ数学なのか? マスターに聞く!」や、 2004 年 12 月に香港で開催された「数学の驚異」など、高校生や大学生向けの会議を企画、参加している。また、ヤウは、一般向けの数学に関する書籍シリーズ「数学と数学者」の共同創刊者でもある。

2002年と2003年に、グリゴリー・ペレルマンは、サーストン幾何化予想と、特別なケースとして有名なポアンカレ予想を証明したと主張するプレプリントをarXivに投稿しました。彼の研究には多くの新しいアイデアと結果が含まれていましたが、彼の証明には多くの技術的な議論の詳細が欠けていました。 ^[28]その後数年間、数人の数学者が時間を割いてペレルマンの研究の詳細を補い、数学コミュニティに説明を提供しました。^{[29] 2006年8月に}シルビア・ナサールとデビッド・グルーバーがこの状況について書いたニューヨーカーの有名な記事は、ヤウをめぐるいくつかの専門的な論争を世間の注目を集めました。^{[13] [14]}

• アレクサンダー・ギブンタルは、鏡面対称性の分野でよく知られた予想を解決したことで、ボン・リアン、ケフェン・リウ、ヤウが彼の功績を不当に横領したと主張した。リアン・リウ・ヤウの論文がギブンタルの論文より後に発表されたことは議論の余地がないが、彼らは、彼の研究には彼らの出版物で後になって初めて埋められた空白部分があったと主張している。ギブンタルは、彼の最初の研究は完成していたと主張している。ナサールとグルーバーは、匿名の数学者がギブンタルに同意したと引用している。^[30]
• 1980年代、ヤウの同僚であるユムトン・シウは、ヤウの博士課程の学生であるガン・ティエンが彼の研究の一部を盗作したと非難した。当時、ヤウはシウの非難に対してティエンを擁護した。^[YN19] 2000年代、ヤウはシウの主張を広め始め、プリンストン大学と北京大学でティエンが兼任していたことは、大学にもっと積極的に貢献した他の教授や学生と比較して北京大学からの給与が高かったため、非常に非倫理的だと述べた。^{[31] [YN19]} サイエンスマガジンは、ティエンとヤウを中心人物として、中国におけるそのような役職のより広範な現象を報道した。^[32]
• ナサールとグルーバーは、1980年代半ば以降目立った研究を行っていなかったとされるヤウは、かつての教え子である朱希平と曹懐東がサーストン予想とポアンカレ予想を解決したと主張して注目を集めようとしたが、その一部はペレルマンのアイデアに基づいているに過ぎない、と述べている。ナサールとグルーバーは、ヤウが、ヤウの数学センターの代理所長の記者会見で曹と朱に予想解決の功績の30%を与え、ペレルマンには25%（残りはリチャード・ハミルトン）を与えたことに同意したと引用している。数か月後、この状況を報道したNPRのオール・シングス・コンシダードの一部が記者会見の音声録音を調べたところ、ヤウも代理所長もそのような発言をしていないことがわかった。^[33]

ヤウは、ナサールとグルーバーの記事は名誉毀損的で、いくつかの虚偽があり、論争について自分の立場を表明する機会を与えられなかったと主張した。彼は、職業的損害を主張して同誌を訴えることも考えたが、そのような行動で何が達成されるのか十分に明らかではないと判断したという。^[YN19]彼は広報ウェブサイトを立ち上げ、ニューヨーカーの記事に反応する数人の数学者、その中には彼自身と記事に引用された他の2人が含まれていた。^[34]

ヤウは自伝の中で、2006年にカオとチューが「ポアンカレ予想の証明について初めて完全かつ詳細な説明をした」といった発言は、もっと慎重に表現すべきだったと述べている。カオとチューの研究はペレルマンの研究について初めてかつ最も厳密に詳細な説明であるとヤウは信じているが、2人が「ペレルマンの研究を決して上回ってはいない」と明確にすべきだったと述べている。^[YN19]また、ヤウは（2019年現在）ペレルマンの証明の最後の部分は数学界によってもっとよく理解されるべきであり、それに応じて気付かれていない誤りが残っている可能性があるという見解を維持している。

ヤウは、微分幾何学とそれが数学や科学の他の分野に現れることを中心に、数多くの主要な研究貢献をしてきました。研究に加えて、ヤウは、よく知られた古い予想と新しい提案や問題の両方を含む、微分幾何学における影響力のある未解決問題集をまとめました。1980年代のヤウの最も広く引用されている問題リストのうち2つは、2014年時点での進捗状況の注釈を付けて更新されています。^[35]特によく知られているのは、極小超曲面の存在に関する予想と極小超曲面のスペクトル幾何学に関する予想です。

1978年、ヤウは複素モンジュ＝アンペール方程式を研究することで、1954年にエウジェニオ・カラビが提起したカラビ予想を解決した。 ^[Y78a]特別なケースとして、これは第1チャーン類が非正である任意の閉じたケーラー多様体上にケーラー＝アインシュタイン計量が存在することを示した。ヤウの方法は、準線型楕円偏微分方程式と実モンジュ＝アンペール方程式のために開発されたカラビ、ユルゲン・モーザー、アレクセイ・ポゴレロフの以前の研究を、複素モンジュ＝アンペール方程式の設定に適用したものである。^{[36] [37] [38] [39]}

• 微分幾何学において、ヤウの定理は特殊ホロノミーの閉多様体の一般存在を証明する上で重要である。アンブローズ・シンガー定理によれば、リッチ平坦な単連結な閉ケーラー多様体は、そのホロノミー群が特殊ユニタリ群に含まれる必要がある。^{[40]他の特殊ホロノミー群を持つコンパクトリーマン多様体の例は、}ドミニク・ジョイスとピーター・クロンハイマーによって見つかっているが、他の群の場合、カラビ予想に類似した一般存在の結果の提案はうまく特定されていない。^[37]
• 代数幾何学では、カラビが提唱した正準計量の存在により、特性類の等しく正準な代表を微分形式によって与えることができる。ヤウは、そのような文脈ではカラビ予想が矛盾を生じることを示してカラビ予想を反証しようとした最初の努力により、予想自体に驚くべき系を導くことができた。^[Y77]特に、カラビ予想は、曲面のチャーン数に関する宮岡-ヤウ不等式、および複素射影平面の複素構造と2次元複素単位球の商のホモトーピー的特徴付けを意味する。^{[36] [40]}
• カラビ予想の特殊なケースは、第一チャーン類がゼロである任意のケーラー多様体上には、ゼロのリッチ曲率のケーラー計量が存在するはずである。 ^[36]弦理論では、1985年にフィリップ・カンデラス、ゲイリー・ホロウィッツ、アンドリュー・ストロミンガー、エドワード・ウィッテンによって、これらのカラビ・ヤウ多様体は、その特殊なホロノミーにより、超弦の適切な配置空間であることが発見された。このため、ヤウによるカラビ予想の解決は、現代の弦理論において根本的に重要であると考えられている。^{[41] [42] [43]}

非コンパクトな設定におけるカラビ予想の理解はそれほど明確ではない。ガン・ティアンとヤウは、ヤウの複素モンジュ−アンペール方程式の解析を非コンパクトな設定に拡張し、そこではカットオフ関数と対応する積分推定値の使用は、無限大付近の特定の制御された幾何学の条件付き仮定を必要とした。^[TY90]これにより、問題は、そのような漸近的性質を持つケーラー計量の存在の問題に帰着し、彼らは特定の滑らかな準射影複素多様体に対してそのような計量を得た。彼らは後に、軌道特異点を許容するように研究を拡張した。^[TY91]ブライアン・グリーン、アルフレッド・シェイパー、およびカムルン・ヴァファとともに、ヤウは、リッチ曲率がほぼゼロである特定の射影正則写像の正則点の集合上のケーラー計量の仮説を導入した。 ^[G+90]彼らはティアン−ヤウの存在定理を適用して、まさにリッチ平坦なケーラー計量を構成することができた。グリーン−シェイパー−ヴァファ−ヤウ仮説とその自然な一般化は、現在では半平坦計量として知られており、ケーラー幾何学の問題のいくつかの解析において重要になっている。^{[44] [45]}

ヤウが元博士課程の学生リチャード・ショーンと共同で得た正のエネルギー定理は、物理的な言葉で説明することができます。

アインシュタインの一般相対性理論では、孤立した物理系の重力エネルギーは非負である。

しかし、これは微分幾何学と幾何学解析の正確な定理であり、物理系は、ある一般化されたスカラー曲率の非負性を持つリーマン多様体によってモデル化される。したがって、ショーンとヤウのアプローチは、それ自体が興味深い、正のスカラー曲率を持つリーマン多様体の研究に端を発している。ショーンとヤウの解析の出発点は、 3次元リーマン多様体の安定極小超曲面の面積の第二変分公式にガウス・コダッツィ方程式を挿入する単純だが斬新な方法を特定したことである。ガウス・ボネ定理は、周囲の多様体が正のスカラー曲率を持つ場合、そのような表面の可能な位相を強く制限する。^{[SY79a] [46] [47]}

ショーエンとヤウはこの観察結果を利用して、様々な制御された特性を持つ安定な極小超曲面の新しい構成を発見した。^[SY79a]彼らの存在結果のいくつかは、ジョナサン・サックスとカレン・ウーレンベックの同様の結果と同時に、異なる手法を用いて開発された。彼らの基本的な結果は、規定された位相的振る舞いを持つ極小浸漬の存在に関するものである。ガウス・ボネ定理を用いた計算の結果として、彼らは、位相的に区別される特定の3次元多様体は、非負のスカラー曲率のリーマン計量を持つことができないと結論付けることができた。^{[48] [49]}

その後、ショーンとヤウは、一般相対論におけるリーマン漸近平坦な初期データセットの設定に研究を適応させた。彼らは、質量が負であることでプラトー問題を利用して測地線完備な安定した極小面を構築できることを証明した。ガウス・ボネ定理を用いた彼らの計算の非コンパクトな類似体は、質量が負であることに論理的な矛盾をもたらす。このようにして、彼らはリーマン初期データセットの特殊なケースで正の質量定理を証明することができた。^{[SY79c] [50]}

ショーンとヤウは、ポンスー・ジャンが提案した偏微分方程式を研究することで、これを正の質量定理の完全なローレンツ定式化に拡張した。彼らは、ジャン方程式の解がブラックホールの見かけの地平線から離れた場所に存在し、その場所では解が無限に発散する可能性があることを証明した。 ^[SY81]ローレンツ初期データセットの幾何学をジャン方程式のそのような解のグラフの幾何学に関連付け、後者をリーマン初期データセットとして解釈することで、ショーンとヤウは完全な正のエネルギー定理を証明した。^[50]さらに、ジャン方程式の分析をリバースエンジニアリングすることで、一般相対性理論における十分なエネルギーの集中には見かけの地平線が伴わなければならないことを確立することができた。^[SY83]

ガウス・ボネの定理を使用しているため、これらの結果はもともと 3 次元リーマン多様体と 4 次元ローレンツ多様体の場合に限定されていました。Schoen と Yau は、正のスカラー曲率を持つリーマン多様体の極小超曲面上に正のスカラー曲率のリーマン計量を構築することで、次元に関する帰納法を確立しました。^[SY79b] Frederick AlmgrenとHerbert Federerによる幾何学的測度論によって構築されたこのような極小超曲面は、一般に大きな次元では滑らかではないため、これらの方法は 8 次元未満のリーマン多様体にのみ直接適用されます。次元の制限なしに、Schoen と Yau は局所的に共形平坦な多様体のクラスで正の質量定理を証明しました。^{[SY88] [36]} 2017年に、ショーンとヤウはこれらの困難を解決し、次元制限のない帰納法を証明し、任意の次元でのリーマン正質量定理を検証したと主張するプレプリントを発表しました。

ゲルハルト・ヒュイスケンとヤウは、厳密に正の質量を持つリーマン多様体の漸近領域についてさらに研究を行った。ヒュイスケンは、それ以前にユークリッド空間の超曲面の体積保存平均曲率流の研究を開始していた。^{[51]ヒュイスケンとヤウは、彼の研究をリーマンの設定に適応させ、流の長時間存在定理と収束定理を証明した。その結果、彼らは正の質量を持つ多様体の漸近領域が}一定平均曲率の面によって葉状化されるという新しい幾何学的特徴を確立した。^[HY96]

伝統的に、最大値原理の手法はコンパクト空間にのみ直接適用され、その場合最大値が存在することが保証される。1967 年、大森秀樹は、断面曲率が下方に有界である非コンパクトリーマン多様体に適用される新しい最大値原理を発見した。近似最大値が存在することは自明である。大森はさらに、勾配と 2 次導関数の値が適切に制御される場合に近似最大値が存在することを証明した。ヤウは、大森の結果を部分的に拡張して、リッチ曲率の下限値のみを必要とするようにした。この結果は、大森−ヤウ最大値原理として知られている。^{[Y75b]このような一般性は、}ボクナー公式にリッチ曲率が出現するため有用であり、ボクナー公式 では、代数操作でも下限値が一般的に使用される。原理自体の非常に簡単な証明に加えて、Shiu-Yuen ChengとYauは、Omori−Yauの最大値原理におけるRicci曲率仮定が、特定の制御可能な形状を持つカットオフ関数の存在の仮定に置き換えられることを示した。^{[CY75] [36] [52] [53] [54]}

ヤウはオオモリ−ヤウ原理を直接適用して、複素解析の古典的なシュワルツ−ピック補題を一般化することができた。ラース・アルフォースらは、この補題をリーマン面の設定に一般化していた。彼の方法により、ヤウは、 （リッチ曲率の下限を持つ）完全なケーラー多様体から、負の数で上界が定められた正則二分曲率を持つエルミート多様体への写像の設定を考えることができた。 ^{[Y78b] [40] [54]}

チェンとヤウは、チャールズ・フェファーマンが開発した仮説の下で、非コンパクトなケーラー多様体上のケーラー・アインシュタイン計量を見つけるために、オモリ−ヤウ原理の変種を広範に使用した。連続性の方法に含まれる推定は、チェンとヤウが負のスカラー曲率を持つケーラー・アインシュタイン計量のみを考慮したため、ヤウの以前のカラビ予想に関する研究ほど難しくなかった。フェファーマンの以前の研究が重要になった、より微妙な問題は、測地線の完全性に関するものである。特に、チェンとヤウは、複素ユークリッド空間の任意の有界で滑らかな厳密に擬凸な部分集合上で、負のスカラー曲率の完全なケーラー・アインシュタイン計量を見つけることができた。^{[CY80]これらは、}双曲空間のポアンカレ球モデルの複素幾何学的類似物と考えることができる。^{[40] [55]}

ヤウが最初にオオモリ−ヤウ最大原理を応用したのは、いくつかの2階楕円偏微分方程式の勾配推定を確立するためだった。^[Y75b]ラプラシアンと関数および勾配値に関連するさまざまな条件を満たす、完全で滑らかなリーマン多様体上の関数が与えられたとき、ヤウは最大原理をさまざまな複雑な合成式に適用して勾配の大きさを制御した。関連する代数操作は複雑であるが、ヤウの証明の概念形式は驚くほど単純である。^{[56] [52]}

ヤウの新しい勾配推定は、任意の経路に沿って積分して、古典的なハルナック不等式の形の不等式を復元し、2つの異なる入力点で微分方程式の解の値を直接比較できるため、「微分ハルナック不等式」と呼ばれるようになりました。リーマン多様体上の距離関数に関するカラビの研究を利用して、ヤウとシウユエン・チェンは、オモリ−ヤウ最大原理の証明を簡素化するために同じ方法を使用して、ヤウの勾配推定の強力な局所化を示しました。^[CY75]ヤウとチェン−ヤウの元の結果はより一般的なシナリオをカバーしていますが、そのような推定はリーマン多様体上の調和関数の特定のケースで広く引用されています。^{[56] [52]}

1986年、ヤウとピーター・リーは同じ方法を使ってリーマン多様体上の放物型偏微分方程式を研究した。 ^{[LY86] [52]} リチャード・ハミルトンは、特定の幾何学的設定における彼らの結果を行列不等式に一般化した。リー−ヤウ不等式とハミルトン−リー−ヤウ不等式の類似物はリッチフロー理論において非常に重要であり、ハミルトンは特定のリッチフローの曲率演算子に対する行列微分ハルナック不等式を証明し、グリゴリー・ペレルマンはリッチフローと結合した逆熱方程式の解に対する微分ハルナック不等式を証明した。^{[57] [56]}

Cheng と Yau は、微分ハルナック推定値を使用して、特定の幾何学的条件下では、完全リーマン空間または擬リーマン空間の閉じた部分多様体はそれ自体が完全であることを示すことができました。たとえば、Mが位相的に閉じていて平均曲率が一定であるミンコフスキー空間の空間的超面である場合、M上の誘導されたリーマン計量は完全であることを示しました。^[CY76a]同様に、M が位相的に閉じているアフィン空間のアフィン超球面である場合、M上の誘導されたアフィン計量は完全であることを示しました。^[CY86]このような結果は、与えられた点までの (2 乗) 距離関数の微分ハルナック不等式を導出し、本質的に定義されたパスに沿って積分することで達成されます。

1985 年、サイモン・ドナルドソンは、複素次元 2 の非特異射影多様体上で、正則ベクトル束がエルミート ヤン-ミルズ接続を持つ場合と、その束が安定である場合に限ります。ヤウとカレン・ウーレンベックの結果は、ドナルドソンの結果を一般化し、任意の次元のコンパクトなケーラー多様体を許容しました。^[UY86]ウーレンベック-ヤウ法は楕円型偏微分方程式に依存していましたが、ドナルドソンの方法は放物型偏微分方程式を使用しており、イールズとサンプソンの調和写像に関する画期的な研究とほぼ並行しています。ドナルドソンとウーレンベック-ヤウの結果は、その後他の著者によって拡張されました。ウーレンベックとヤウの記事は、正則ベクトル束の安定性がエルミート ヤン-ミルズ接続の構築に使用される解析的手法に関連できることを明確に示している点で重要です。本質的なメカニズムは、エルミート接続の近似列が必要なヤン・ミルズ接続に収束しない場合、それらを再スケールして、チャーン・ヴェイユ理論によって不安定化することが検証できる部分層に収束させることができるというものである。^{[38] [58]}

カラビ＝ヤウの定理と同様に、ドナルドソン＝ウーレンベック＝ヤウの定理も理論物理学では興味深い。^[42]超対称性の適切な一般化のために、アンドリュー・ストロミンガーは、エルミートヤン＝ミルズ条件をストロミンガーシステムの一部として含めた。これは、カラビ−ヤウ条件を非ケーラー多様体に拡張する提案である。^[41]ジシャン・フーとヤウは、特定の3次元複素多様体上のストロミンガーシステムの解法の仮説を導入し、問題を複素モンジュ−アンペール方程式に還元してこれを解いた。^[FY08]

ヤウによるカラビ予想の解決は、非正値第一チャーン類のコンパクト複素多様体上のケーラー計量をケーラー・アインシュタイン計量に変形する方法という問題に、かなり完全な解答を与えていた。^[Y78a]二木明人は、複素多様体が正値第一チャーン類を持つ場合にこれらの結果を直接拡張する上で、正則ベクトル場の存在が障害となる可能性があることを示した。^[40]カラビの提案は、正則第一チャーン類を持ち、正則ベクトル場を持たないコンパクトケーラー多様体にはケーラー・アインシュタイン計量が存在することを示唆した。^[Y82b] 1980年代に、ヤウらはこの基準では十分ではないことを理解するようになった。ドナルドソン−ウーレンベック−ヤウの定理に触発されて、ヤウは、ケーラー・アインシュタイン計量の存在は、多様体自体の正則ベクトル場ではなく、射影埋め込みに沿った正則ベクトル場を研究するというアイデアで、幾何学的不変量理論の意味で複素多様体の安定性に結び付けられるに違いないと提唱した。 ^[Y93][Y14a]その後のガン・ティアンとサイモン・ドナルドソンの研究によりこの予想は洗練され、ケーラー・アインシュタイン計量とK安定性を関連付けるヤウ・ティアン・ドナルドソン予想として知られるようになった。2019年、シウシオン・チェン、ドナルドソン、ソン・サンは、この予想の解決によりオズワルド・ヴェブレン賞を受賞した。^[59]

1982年、LiとYauは、埋め込みがない場合のウィルモア予想を解決しました。 ^[LY82]より正確には、彼らは、埋め込みに失敗する3次元球面への閉じた曲面の任意の滑らかな埋め込みが与えられた場合、ウィルモアエネルギーは8π未満に制限されることを確立しました。これは、2次元トーラスS ¹ × S ¹の別の滑らかな埋め込みの場合、ウィルモアエネルギーは2π ²未満に制限されるという、2012年のFernando MarquesとAndré Nevesの結果によって補完されています。^{[60]これらの結果は、1965年に}Thomas Willmoreによって最初に定式化された完全なウィルモア予想を構成します。彼らの仮定と結論は非常に似ていますが、Li−YauとMarques−Nevesの方法論は異なります。それでも、どちらも構造的に類似したミニマックススキームに依存しています。マルケスとネベスは、幾何学的測度理論から得た面積汎関数のアルムグレン・ピッツの最小最大理論を斬新に利用した。リーとヤウのアプローチは、ディリクレエネルギーに基づく最小最大量である新しい「共形不変量」に依存していた。彼らの論文の主な研究は、共形不変量を他の幾何学的量と関連付けることに費やされている。

ウィリアム・ミークスとヤウは、ジェシー・ダグラスとチャールズ・モーリーの以前の研究で未解決だった点を再検討し、3次元多様体の極小曲面に関するいくつかの基礎的な結果を示した。^{[MY82] [46]}これらの基礎に続いて、ミークス、レオン・サイモン、ヤウは、ホモロジー類内で面積を最小化する3次元リーマン多様体の曲面に関するいくつかの基本的な結果を示した。^[MSY82]彼らは、多くの印象的な応用を与えることができた。例えば、彼らは、Mが、2次元球面の滑らかな埋め込みをすべて単位球の滑らかな埋め込みに拡張できるような有向3次元多様体である場合、 Mの任意の被覆空間についても同じことが当てはまることを示した。興味深いことに、同じ年に出版されたミークス・サイモン・ヤウの論文とハミルトンのリッチフローの基礎論文には、まったく異なる方法で得られた共通の結果があります。それは、正のリッチ曲率を持つ任意の単連結コンパクト3次元リーマン多様体は、3次元球面と微分同相であるということです。

部分多様体の幾何学では、外的幾何学と内的幾何学の両方が重要です。これらは、内的リーマン計量と第二基本形式に反映されています。多くの幾何学者は、これらのデータを何らかの形の不変性に制限することで生じる現象を考慮してきました。これには、極小曲面、一定の平均曲率、および計量が一定のスカラー曲率を持つ部分多様体の問題が特殊なケースとして含まれます。

• こうした疑問の典型例はベルンシュタインの問題であり、1960年代のジェームズ・シモンズ、エンリコ・ボンビエリ、エンニオ・デ・ジョルジ、エンリコ・ジュスティの有名な研究で完全に解決された。彼らの研究は、ユークリッド空間上のグラフである極小超曲面は低次元では平面でなければならず、高次元には反例があると主張している。^[61]平面性の証明の重要な点は、低次元ユークリッド空間の円錐状および非平面の安定した極小超曲面が存在しないことである。これはリチャード・ショーン、レオン・シモン、ヤウによって簡単な証明が与えられた。^[SSY75]シモンの不等式と面積の2変分の公式を組み合わせる彼らの手法は、その後文献で何度も使用されている。^{[46] [62]}
• 標準的なバーンスタイン問題における「閾値」次元現象を考慮すると、ローレンツ類似物には次元制限がないことは、シュー・ユエン・チェンとヤウによるやや意外な事実である。つまり、ユークリッド空間上のグラフであり、平均曲率がゼロである多次元ミンコフスキー空間の任意の空間的超曲面は、平面でなければならない。^[CY76a]彼らの証明は、以前に微分ハルナック推定値を証明するために使用した最大原理手法を利用している。^{[CY75]その後、彼らは同様の手法を使用して、}アフィン幾何学における完全な放物型または楕円型アフィン超球面の分類の新しい証明を与えた。^[CY86]
• ヤウは初期の論文の一つで、平均曲率一定条件の高次元への拡張を検討した。この条件は、平均曲率が法線束の切断面と平行であること、または平均曲率の長さが一定であることのいずれかとして解釈できる。前者の解釈では、リーマン空間形式における2次元曲面の場合を完全に特徴付け、（より弱い）2番目の解釈では部分的な結果を得た。^{[Y74]彼の結果のいくつかは、}バン・イェン・チェンによって独立に発見された。^[63]
• フィリップ・ハートマンとルイス・ニーレンバーグによるユークリッド空間の本質的に平坦な超曲面に関する以前の研究を拡張して、チェンとヤウは一定のスカラー曲率を持つ空間形式の超曲面を考慮した。^[64]彼らの分析の重要なツールは、ワイル等長埋め込み問題の解決に使用されたヘルマン・ワイルの微分恒等式の拡張であった。^[CY77b]

部分多様体の剛性問題の設定以外では、ヤウはユルゲン・モーザーのカチョッポリ不等式を証明する方法を応用し、それによって完全リーマン多様体上の関数に対する新しい剛性結果を証明することができた。彼の特に有名な結果は、サブハーモニック関数は定数でない限り、正でかつL ^p積分可能になることはできない、というものである。 ^{[Y76] [52] [65]}同様に、完全ケーラー多様体上では、正則関数は定数でない限りL ^{p積分可能になることはできない。 [Y76]}

古典的微分幾何学におけるミンコフスキー問題は、ガウス曲率を規定する問題として見ることができる。1950年代に、ルイス・ニーレンバーグとアレクセイ・ポゴレロフは、2次元領域におけるモンジュ・アンペール方程式の最近の進歩を利用して、2次元表面の問題を解いた。1970年代まで、モンジュ・アンペール方程式の高次元での理解はまだ不足していた。1976年に、シウ・ユエン・チェンとヤウは、モンジュ・アンペール方程式の理論の代わりに完全な幾何学的推定値を利用して、連続の方法を介して一般次元におけるミンコフスキー問題を解いた。^{[CY76b] [66]}

ミンコフスキー問題の解決の結果、チェンとヤウはモンジュ＝アンペール方程式の理解を進展させることができた。^[CY77a]重要な観察は、モンジュ＝アンペール方程式の解のルジャンドル変換のグラフのガウス曲率が、モンジュ＝アンペール方程式の「右辺」に依存する簡単な式で規定されるということである。その結果、彼らはモンジュ＝アンペール方程式のディリクレ問題の一般的な可解性を証明することができた。これは当時、2次元領域を除いて大きな未解決問題であった。^[66]

チェンとヤウの論文は、1971年にポゴレロフが発表したアイデアを踏襲したものだったが、彼の公開された論文（チェンとヤウの研究当時）には重要な詳細がいくつか欠けていた。^[67]ポゴレロフは、元のアイデアのより詳細なバージョンも発表しており、問題の解決はチェン＝ヤウとポゴレロフの両者によるものとされている。^{[68] [66]}チェン＝ヤウとポゴレロフのアプローチは、モンジュ＝アンペール方程式に関する文献ではあまり見られなくなった。他の著者、特にルイス・カファレッリ、ニーレンバーグ、ジョエル・スプラックが、より強力な結果をもたらし、ミンコフスキー問題を補助的に使用する必要のない直接的な手法を開発したためである。^[68]

アフィン球面は、モンジュ・アンペール方程式の解によって自然に記述されるため、偏微分方程式に基づいていないユークリッド球面の理解よりも、アフィン球面の完全な理解ははるかに複雑です。放物面の場合、アフィン球面は、コンラート・イェルゲンス、エウジェニオ・カラビ、ポゴレロフの連続した研究によって放物面として完全に分類されました。楕円アフィン球面は、カラビによって楕円体として識別されました。双曲アフィン球面は、より複雑な現象を示します。チェンとヤウは、それらが凸円錐に漸近的であること、および逆に、すべての（一様）凸円錐がそのようにして何らかの双曲アフィン球面に対応することを証明しました。^[CY86]彼らはまた、カラビとイェルゲンス・カラビ・ポゴレロフの以前の分類の新しい証明を提供することができました。^{[66] [69]}

カラビ・ヤウ多様体は、リッチ平坦なコンパクトなケーラー多様体である。ヤウによるカラビ予想の検証の特別なケースとして、そのような多様体が存在することが知られている。^[Y78a]ミラー対称性は、1980年代後半に理論物理学者によって開発された提案であり、複素次元3のカラビ−ヤウ多様体は、オイラー数やホッジ数などの特定の特性を共有するペアにグループ化できると仮定している。この予想に基づいて、物理学者のフィリップ・キャンデラス、クセニア・デ・ラ・オッサ、ポール・グリーン、リンダ・パークスは、 4次元複素射影空間の一般的な5次超曲面にある任意の固定次数の有理曲線の数をエンコードする列挙幾何学の公式を提案した。ボン・リアン、ケフェン・リウ、ヤウは、この公式が成り立つことを厳密に証明した。^[LLY97] 1年前にアレクサンダー・ギブンタルが鏡像公式の証明を発表していた。リアン、リウ、ヤウによると、彼の証明の詳細は彼ら自身の出版後に初めてうまく補完された。^[30]ギブンタルの証明とリアン・リウ・ヤウの証明は一部重複しているが、問題に対する異なるアプローチであり、それぞれ教科書で解説されている。^{[70] [71]}

Givental と Lian−Liu−Yau の研究は、3 次元の Calabi−Yau 多様体をどのように対にできるかという、より基本的なミラー対称性予想によってなされた予測を裏付けている。しかし、彼らの研究は論理的には予想自体に依存しておらず、したがってその妥当性に直接関係するものではない。Andrew StromingerおよびEric Zaslowとともに、Yau はミラー対称性がどのように体系的に理解され、正しいと証明されるかについての幾何学的描像を提案した。^[SYZ96]彼らのアイデアは、複素次元が 3 の Calabi−Yau 多様体は、Calabi−Yau 構造の基礎となる 6 次元リーマン多様体の特定の種類の 3 次元極小部分多様体である特殊なラグランジアントーラスによって葉状構造にされるはずであるというものである。ミラー多様体は、この予想構造の観点から、二重の葉状構造を持つという特徴を持つことになる。ストロミンガー−ヤウ−ザスロー（SYZ）予想は、1996年以来、さまざまな形で修正され、発展してきました。この予想が示す概念図は、ミラー対称性の研究に大きな影響を与え、現在、さまざまな側面に関する研究が活発に行われています。これは、マキシム・コンツェビッチによる代替ホモロジーミラー対称性予想とは対照的です。SYZ予想の観点は、カラビ・ヤウ空間における幾何学的現象に関するものですが、コンツェビッチの予想は、問題を抽象化して、純粋に代数的な構造と圏論を扱っています。^{[37] [44] [70] [71]}

ブレイン・ローソンと共著したヤウの初期の論文の一つでは、非正曲率の閉リーマン多様体の位相に関するいくつかの基本的な結果が見出された。 ^[LY72]彼らの平坦トーラス定理は、平坦で完全に測地線に浸されたトーラスの存在を基本群の代数の観点から特徴付ける。分割定理は、最大限非可換な直積としての基本群の分割は、多様体自体の等長分割を意味すると述べている。同様の結果は、デトレフ・グロモルとジョセフ・ウルフによって同時に得られている。^{[72] [73]彼らの結果は}、非正曲率の距離空間上の等長群作用のより広い文脈に拡張されている。^[74]

ジェフ・チーガーとヤウは、リーマン多様体上の熱核を研究した。彼らは、測地球が一定の平均曲率を持つリーマン計量の特殊なケースを確立し、それが熱核の放射状対称性によって特徴付けられることを証明した。^[CY81]回転対称計量に特化して、彼らは指数写像を使用して、熱核を一般リーマン多様体上の測地球に移植した。対称「モデル」空間は多様体自体のリッチ曲率を過小評価するという仮定の下で、彼らは直接計算を行い、結果として得られる関数が熱方程式の部分解であることを示す。その結果、彼らは、リッチ曲率の下限値の観点から、一般リーマン多様体上の熱核のより低い推定値を得た。^{[75] [76]}非負のリッチ曲率の特殊なケースでは、ピーター・リーとヤウは勾配推定値を使用してチーガー−ヤウ推定値を増幅し改善することができた。^{[LY86] [52]}

カラビが独立に得たヤウのよく知られた結果は、非負のリッチ曲率を持つ任意の非コンパクトリーマン多様体は、少なくとも線形率で体積が増加する必要があることを示している。^{[Y76] [52]関数論の代わりに}ビショップ-グロモフ不等式を使用する2番目の証明は、後にチーガー、ミカエル・グロモフ、マイケル・テイラーによって発見された。

境界の有無にかかわらず滑らかなコンパクトなリーマン多様体が与えられた場合、スペクトル幾何学はラプラス・ベルトラミ作用素の固有値を調べる。多様体が境界を持つ場合には、通常はディリクレ条件またはノイマン条件のいずれかの境界条件と結びつく。ポール・ヤンとヤウは、閉じた2次元多様体の場合、最初の固有値は多様体の種数と体積のみに依存する明示的な式によって上方に制限されることを示した。 ^{[YY80] [46]以前、ヤウは}ジェフ・チーガーのチーガー定数の解析を修正し、幾何学的データの観点から最初の固有値を下から推定できるようにした。^{[Y75a] [77]}

1910年代、ヘルマン・ワイルは、平面の滑らかで有界な開集合上のディリクレ境界条件の場合、固有値はその領域に含まれる面積によって完全に決定される漸近的な振る舞いをすることを示した。彼の結果はワイルの法則として知られている。1960年、ジョージ・ポリアは、ワイルの法則は実際には個々の固有値を制御するものであり、それらの漸近分布を制御するものではないと予想した。リーとヤウはポリアの予想の弱められたバージョンを証明し、ワイルの法則の式によって固有値の平均を制御することを達成した。 ^{[LY83] [78]}

1980年に、LiとYauは、ラプラス-ベルトラミ固有値に対するいくつかの新しい不等式を特定しましたが、それらはすべて、5年前にYauとCheng-Yauによって開拓された最大値原理と微分ハルナック推定値に基づいていました。^[LY80]幾何学的データに基づく下限値に関する彼らの結果は特によく知られており、^{[79] [56] [52]}条件付きの仮定を必要としない最初のものでした。^[80]同じ頃、Mikhael Gromovは等周法によって同様の不等式を得ましたが、彼の結果はLiとYauのものよりも弱いものでした。^{[75] Yauは、} Isadore Singer、Bun Wong、Shing-Toung Yauと共同で、Li-Yauの方法論を使用して、最初の2つの固有関数の商の勾配推定を確立しました。^{[S+85]ハルナック不等式を見つけるために勾配推定値を積分したヤウと同様に、彼らは勾配推定値を積分して}、最初の2つの固有値の差である基本ギャップを制御することができました。シンガー・ウォン・ヤウ・ヤウの研究は、さまざまな著者による一連の研究のきっかけとなり、基本ギャップに関する新しい推定値が発見され、改善されました。^[81]

1982年、ヤウは上記のポリア予想を含むスペクトル幾何学における興味深い問題を14個特定した。^[Y82b]ヤウの特定の予想である、対応する固有値の値による固有関数のレベル集合のサイズの制御は、アレクサンダー・ログノフとエフゲニア・マリンニコワによって解決され、2人はその研究により2017年のクレイ研究賞を受賞した。 ^[82]

Xianfeng Gu と Yau は、2 次元多様体 (離散メッシュとして表現) 間の等角写像の数値計算、特に均一化定理によって予測される均一化写像の計算を検討しました。種数 0 の曲面の場合、写像が共形となるのは調和写像の場合のみであり、Gu と Yau は離散化ディリクレエネルギーを直接最小化することで共形写像を計算することができます。^[GY02]種数が高い場合、均一化写像は、閉じた調和 1 形式のホッジ理論から決定される勾配から計算されます。^[GY02]したがって、主な作業は、古典理論の数値的に有効な離散化を特定することです。彼らのアプローチは、境界を持つ一般的な曲面を扱うのに十分な柔軟性があります。^{[GY03] [83]}トニー・チャン、ポール・トンプソン、ヤリン・ワンとともに、グーとヤウは、医療画像診断における重要な課題である2つの脳表面のマッチング問題に研究を応用した。最も関連性の高い種数ゼロのケースでは、等角写像はメビウス群の作用までしか明確に定義されない。中心溝などの脳のランドマークの不一致を測定するディリクレ型エネルギーをさらに最適化することで、彼らはそのような神経学的特徴によって明確に定義されたマッピングを得た。^[G+04]

グラフ理論の分野では、ファン・チュンとヤウはリーマン幾何学の概念と結果の類似物を広範囲に展開した。微分ハルナック不等式、ソボレフ不等式、熱核解析に関するこれらの結果は、ロナルド・グラハムとアレクサンダー・グリゴリアンとの共同研究で部分的に発見されたもので、後に彼女の有名な著書「スペクトルグラフ理論」の最​​後の数章として教科書の形で執筆された。^[84]その後、彼らはグラフに対して定義されたグリーン関数を導入した。これはグラフラプラシアンの擬似逆関数に相当する。 ^{[CY00]彼らの研究は、}ランダムウォークのヒット時間の研究や関連するトピックに当然応用できる。^{[85] [86]}

彼らの研究結果に対する一般的なグラフ理論的文脈を見つけるために、Chung と Yau はグラフのリッチ平坦性の概念を導入した。 ^[84]距離空間上のマルコフ連鎖を扱う、より柔軟なリッチ曲率の概念は、後に Yann Ollivier によって導入された。Yong Lin、Linyuan Lu、および Yau は、たとえばErdős–Rényi ランダムグラフのリッチ曲率を考慮して、Ollivier の定義の基本理論の一部をグラフ理論の特殊な文脈で展開した。^[LLY11] Lin と Yau は、Dominique Bakryと Michel Émeryによって以前に導入された曲率–次元不等式も検討し、それと Ollivier の曲率を Chung–Yau のリッチ平坦性の概念に関連付けた。^[LY10]彼らはさらに、局所有限グラフの場合のバクリ・エメリー曲率とオリヴィエ曲率の一般的な下限を証明することに成功した。^[87]

ヤウ氏は、湖南師範大学、北京大学、南開大学、清華大学など、中国の多くの大学から名誉教授の称号を授与されている。また、ハーバード大学、香港中文大学、ウォータールー大学など、多くの海外大学から名誉学位を授与されている。中国、インド、ロシアの国立科学アカデミーの外国人会員でもある。

受賞歴：

• 1975年～1976年、スローンフェロー。
• 1981年、オズワルド・ヴェブレン幾何学賞受賞。
• 1981年、米国科学アカデミージョン・J・カーティ科学進歩賞受賞。^[88]
• 1982年、偏微分方程式、代数幾何学におけるカラビ予想、一般相対性理論における正の質量予想、実および複素モンジュ・アンペール方程式への貢献によりフィールズ賞を受賞。
• 1982年、アメリカ芸術科学アカデミー会員に選出
• 1982年、グッゲンハイムフェローシップ受賞。
• 1984年～1985年、マッカーサーフェロー。
• 1991年、フンボルト研究賞、アレクサンダー・フォン・フンボルト財団、ドイツ。
• 1993年、米国科学アカデミー会員に選出
• 1994年、クラフォード賞^[89 ]
• 1997年、アメリカ合衆国 国家科学賞受賞。
• 2003年、科学技術の進歩と研究者の育成の面で中国に多大な貢献をしたとして、中国国際科学技術協力賞を受賞。
• 2010年、ウルフ数学賞、「幾何学解析と数理物理学における業績」に対して受賞。^[90]
• 2018年、マルセル・グロスマン賞、「一般相対性理論における全質量の正値性の証明と準局所質量の概念の完成、カラビ予想の証明、ブラックホール物理学の研究における継続的な刺激的な役割」に対して受賞。^[91]
• 2023年、ショー数学賞。^[92]

研究論文。Yau は 500 を超える論文を執筆しています。最も引用されている論文のうち、以下が上記で調査されたものです。

調査論文および全集の刊行物。

教科書と技術論文。

人気の本。