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リチャード・ショーン | |
|---|---|
 2015年のショーン | |
| 生まれる | 1950年10月23日 フォートリカバリー、オハイオ州、米国[15] |
| 国籍 | アメリカ人 |
| 母校 | デイトン大学(理学士) スタンフォード大学(博士) |
| 知られている | |
| 配偶者 | ドリス・フィッシャー・コルブリー |
| 受賞歴 |
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| 科学者としてのキャリア | |
| フィールド | 数学 |
| 機関 | クーラント研究所、ニューヨーク大学 、スタンフォード大学 カリフォルニア大学アーバイン校 カリフォルニア大学サンディエゴ校 |
| 論文 | いくつかの幾何変分問題に対する存在定理と正則性定理 |
| 博士課程の指導教員 | |
| 博士課程の学生 | |
リチャード・メルビン・ショーン（1950年10月23日生まれ）は、微分幾何学と幾何解析の研究で知られるアメリカの数学者。1984年の山辺問題の解決と調和写像に関する研究で最もよく知られている。
幼少期と教育
ショーンは1950年10月23日、オハイオ州セライナに生まれました。1968年、フォートリカバリー高校を卒業しました。デイトン大学で数学の学士号を取得しました。その後、1977年にスタンフォード大学で博士号を取得しました。
キャリア
クーラント研究所、ニューヨーク大学、カリフォルニア大学バークレー校、カリフォルニア大学サンディエゴ校で教鞭を執った後、 1987年から2014年までスタンフォード大学の教授を務め、1992年からは人文科学および自然科学のバス教授を務めた。 [16]現在はカリフォルニア大学アーバイン校の特別教授および優秀教育委員長を務めている。[17]姓は「シェーン」と発音される。
シェーンは1972年にNSF大学院研究フェローシップ、 1979年にスローン研究フェローシップを受賞しました。 [1]シェーンは1983年のマッカーサーフェローです。[2]彼は国際数学者会議（ICM）に3回招待され、そのうち2回は基調講演者として講演しました。[18] 1983年にはワルシャワのICMで招待講演者、1986年にはバークレーのICMで基調講演者、2010年にはハイデラバードのICMで基調講演者を務めました。山辺問題に関する研究により、 1989年にボッチャー記念賞を受賞しました。[4]
1988年にアメリカ芸術科学アカデミー、1991年に米国科学アカデミーに選出され、 1995年にアメリカ科学振興協会フェローとなり、 1996年にグッゲンハイムフェローを受賞した。 [3] [5] [6] 2012年にアメリカ数学会フェローに なった。[7]スタンフォード大学から2014-15年度生涯教育功績賞を授与された。[8] 2015年、アメリカ数学会副会長に選出された。[19] 2015年にウォーリック大学から名誉理学博士を授与された。 [20] 2017年にはチャールズ・フェファーマンと共にウルフ数学賞を受賞した。[21]同年、ハインツ・ホップ賞、カザン連邦大学のロバチェフスキー賞および賞、ロルフ・ショック賞を受賞した。[22] [23] [24]
彼には、ヒューバート・ブレイ、ホセ・F・エスコバル、アイラナ・フレイザー、チカコ・メセ、ウィリアム・ミニコッツィ、アンドレ・ネベスを含む44人以上の博士課程の学生がいる。[25]
ショーンは、大域微分幾何学における解析的手法の使用を研究し、極小曲面と調和写像の正則性理論に数々の基本的な貢献をしました。
調和マップ
1976年、ショーンとシン・トゥン・ヤウは、ヤウの以前のリウヴィルの定理を使用して、ジェームズ・イールズとジョセフ・サンプソンによって以前に発見された剛性現象を非コンパクトな設定に拡張しました。[26] [27]彼らは、調和写像のボッホナー恒等式と極小超曲面の面積公式の第二変分との特定の相互作用を特定することにより、同じ結論につながる領域上のいくつかの新しい条件も特定しました。これらの剛性定理は、リチャード・ハミルトンによるディリクレ境界値問題の解決の単純な系として、非コンパクト領域上の調和写像の存在定理によって補完されます。[28]その結果、特定の非コンパクト多様体は非負のリッチ曲率の完全な測定基準を許容しないなど、いくつかの驚くべき幾何学的結果が見つかりました。
1980年代の2つの論文で、シェーンとカレン・ウーレンベックはエネルギー最小化調和写像の正則性理論に基礎的な貢献をした。彼らが開発した単調性公式を多用した手法は、幾何学的解析の分野で大きな影響力を持ち、他の多くの問題にも応用されてきた。彼らの基本的な結論には、調和写像の集合に対するコンパクト性定理と、対応する特異集合のサイズの制御が含まれる。レオン・サイモンは、そのような結果を応用して、エネルギー最小化調和写像の小規模幾何学の明確な図を得た。[29]
その後、ミハイル・グロモフは、調和写像の理論を拡張してリーマン多様体ではなく計量空間の値を許可すると、古典的なイールス−サンプソンの剛性定理の類似物が格子の新しい剛性定理を与えるなど、多くの重要な応用が可能になるという洞察を得ました。そのような理論の徹底した分析的詳細はシェーンによって解明されました。調和写像のこの新しいコンテキストのさらなる基礎は、シェーンとニコラス・コレヴァールによって築かれました。
極小曲面、正のスカラー曲率、正の質量定理
1979年、ショーンと彼の元博士課程の指導教官であるシン・トン・ヤウは、正のスカラー曲率の研究に非常に影響力のある貢献を数多く行った。ガウス方程式、面積の第二変分の公式、ガウス-ボネの定理の初歩的だが斬新な組み合わせにより、ショーンとヤウは、正のスカラー曲率の3次元多様体におけるいくつかのタイプの安定極小曲面の存在を排除することができた。この結果を、そのような曲面の存在を確立する解析的に深い定理と対比させることにより、彼らは、どの多様体が正のスカラー曲率の計量を許容できるかについての制約を達成することができた。その後、ショーンとドリス・フィッシャー＝コルブリーは、安定性演算子とそのスペクトル特性の分析を用いて、3次元多様体における安定極小曲面のより広範な研究を行った。
安定極小超曲面の存在に基づく帰納的議論により、彼らは結果を高次元に拡張することができた。さらに解析的手法により、正のスカラー曲率の計量を許容する多様体への位相的手術の適用が容易になり、そのような多様体のクラスが位相的に豊かであることが示された。ミカエル・グロモフとH・ブレイン・ローソンは、他の方法で同様の結果を得て、位相的帰結のより深い分析も行った。[30] [31]
ショーエンとヤウは、その手法を非コンパクト多様体へ拡張することで、一般相対論における正の質量定理の重要なリーマンの場合を解決することができた。これは、正のスカラー曲率を持つ非コンパクト多様体の無限大近傍での幾何学的挙動に関する記述と見ることができる。彼らの最初の結果と同様に、この議論は矛盾に基づいている。極小超曲面の代わりに調和スピノルの理論を使用する、より建設的な議論は、後にエドワード・ウィッテンによって発見された。[32] [33] [34]
ショーン、ヤウ、レオン・サイモンは、シモンの公式と面積の第二変分の公式の単純な組み合わせを特定し、これが低次元の安定極小超曲面の重要な曲率推定値をもたらすことを明らかにした。1983年、ショーンは等温座標の存在を利用して、2次元曲面の特殊なケースで同様の推定値を得た。ショーンとサイモンは、次元制限はないものの、わずかに弱い推定値を得た。ショーン−サイモン推定値の基本的な結果には、安定極小超曲面のコンパクト性定理や「特異集合」のサイズの制御が含まれる。特に、ショーン−サイモン推定値は、多くの用途が見出された アルムグレン−ピッツの最小最大理論の重要なツールである。
特異集合が存在する可能性は、ショーンとヤウの帰納的議論が容易に実行できる次元を制限します。一方、ウィッテンはスピノルを本質的に使用しているため、その結果は位相的に特殊なケースに限定されます。したがって、高次元での正の質量定理の一般的なケースは、ショーンとヤウの 1979 年の研究で大きな未解決問題として残されました。1988 年に、彼らはワイルテンソルがゼロである特殊なケースで任意の次元で問題を解決しました。これは共形幾何学で重要なことです。2017 年に、彼らは一般的なケースを主張するプレプリントをリリースし、その中で極小超曲面の特異集合を直接扱いました。
山辺問題と共形幾何学
1960年、山辺英彦は、リーマン計量の共形クラスに「山辺汎関数」を導入し、臨界点は一定のスカラー曲率を持つことを実証した。[35]彼は臨界点が存在しなければならないことを証明する方向に部分的に進歩し、それはニール・トゥルーディンガーとティエリー・オーバンによってさらに進められた。[36] [37]オーバンの研究は、特に高次元の場合、またはワイルテンソルがゼロでない点が存在する場合を解決した。1984年、ショーンはオーバンの研究で未解決だったケースを解決し、その決定的な点は、計量をラプラス-ベルトラミ演算子のグリーン関数で再スケールした。これにより、結果として得られた計量にショーンとヤウの正の質量定理を適用できるようになり、元の計量に関する重要な漸近情報が得られました。山辺、トルーディンガー、オーバン、シェーンの研究は、あらゆる共形類に一定のスカラー曲率の計量が存在すると主張する 山辺問題の解決を構成します。
1989年、ショーンは他の幾何解析的問題のために開発されたカレン・ウーレンベックのバブリング解析を、一定のスカラー曲率の設定に適応させることにも成功した。 [38] [39]山辺汎関数の臨界点の一意性、およびより一般的にはすべての臨界点の集合のコンパクト性は、1991年にショーンによって初めて研究された微妙な問題である。より完全な結果は、後にサイモン・ブレンドル、マーカス・クリー、フェルナンド・コダ・マルケス、およびショーンによって得られた。
微分可能球面定理
1980年代に、リチャード・ハミルトンはリッチフローを導入し、2次元および3次元空間で最も顕著な収束結果を多数証明した。[40] [41]彼と他の研究者は高次元で部分的な結果を見つけたが、複雑なリーマン曲率テンソル の理解の難しさにより進歩は妨げられた。[42] サイモン・ブレンドルとショーンは、マリオ・ミカレフとジョン・ムーアの「等方曲率」の正値はどの次元でもリッチフローによって保存されることを証明することができ、この事実はフイ・グエンによって独立に証明された。[43] [44]ブレンドルとショーンは、さらに、彼らの正値条件を断面曲率と曲率演算子の正値に関連付けることができ、これにより、当時最新のクリストフ・ベームとブルクハルト・ウィルキングの代数的アイデアを利用して、リッチフローの新しい収束定理を得ることができた。[45]彼らの収束定理の特別なケースは、微分可能球面定理を単純な系として持ち、これは過去50年間、 正の断面曲率の研究においてよく知られた予想であった。
主な出版物
- Schoen, R.; Simon, L .; Yau, ST (1975). 「極小超曲面の曲率推定」. Acta Mathematica . 134 (3–4): 275–288. doi : 10.1007/BF02392104 . MR 0423263. Zbl 0323.53039.
- Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1976). 「調和写像と、非負のリッチ曲率を持つ安定な超曲面と多様体の位相」Commentarii Mathematici Helvetici . 51 (3): 333–341. doi :10.1007/BF02568161. MR 0438388. S2CID 120845708. Zbl 0361.53040.
- Schoen, R.; Yau, Shing Tung (1979). 「非圧縮極小面の存在と非負スカラー曲率を持つ 3 次元多様体の位相」Annals of Mathematics . 第 2 シリーズ. 110 (1): 127–142. doi :10.2307/1971247. JSTOR 1971247. MR 0541332. S2CID 118216230. Zbl 0431.53051.
- Schoen, R.; Yau, ST (1979). 「正のスカラー曲率を持つ多様体の構造について」. Manuscripta Mathematica . 28 (1–3): 159–183. doi :10.1007/BF01647970. MR 0535700. S2CID 121008386. Zbl 0423.53032.
- ショーン、リチャード;ヤウ、シン・トン(1979)。「一般相対論における正の質量予想の証明について」。Communications in Mathematical Physics。65 ( 1 ) : 45–76。Bibcode :1979CMaPh..65 ... 45S。doi :10.1007/BF01940959。MR 0526976。S2CID 54217085。Zbl 0405.53045 。
- Fischer-Colbrie, Doris ; Schoen, Richard (1980). 「非負スカラー曲率の 3 次元多様体における完全安定極小面の構造」. Communications on Pure and Applied Mathematics . 33 (2): 199–211. CiteSeerX 10.1.1.1081.96 . doi :10.1002/cpa.3160330206. MR 0562550. Zbl 0439.53060.
- ショーン、リチャード;サイモン、レオン(1981)。「安定した極小超曲面の正則性」。純粋および応用数学に関する通信。34 (6): 741–797。doi :10.1002/ cpa.3160340603。MR 0634285。S2CID 124924186。Zbl 0497.49034 。
- Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1981). 「正の質量定理の証明 II」. Communications in Mathematical Physics . 79 (2): 231–260. Bibcode :1981CMaPh..79..231S. doi :10.1007/BF01942062. MR 0612249. S2CID 59473203. Zbl 0494.53028.
- ショーン、リチャード;ウーレンベック、カレン(1982)。「調和写像の正則性理論」。 微分幾何学ジャーナル。17 (2): 307–335。doi : 10.4310/ jdg / 1214436923。MR 0664498。Zbl 0521.58021 。 (正誤表: doi :10.4310/jdg/1214437667)
- ショーン、リチャード (1983)。「3 次元多様体における安定極小面の推定」。ボンビエリ、エンリコ(編)。極小部分多様体に関するセミナー。数学研究年報。第 103 巻。プリンストン、ニュージャージー州:プリンストン大学出版局。pp. 111–126。doi : 10.1515 / 9781400881437-006。ISBN 0-691-08324-X。MR 0795231。S2CID 118467538。Zbl 0532.53042 。
- ショーン、リチャード;ウーレンベック、カレン(1983)。 「調和写像の境界規則性とディリクレ問題」。微分幾何学ジャーナル。18 (2): 253–268。doi : 10.4310/ jdg / 1214437663。MR 0710054。Zbl 0547.58020 。
- ショーン、リチャード (1984)。「リーマン計量の定スカラー曲率への等角変形」。微分幾何学ジャーナル。20 (2): 479–495。doi : 10.4310 / jdg / 1214439291。MR 0788292。Zbl 0576.53028 。
- Schoen, Richard M. (1984)。「調和写像問題の解析的側面」。Chern , SS (編) 著。非線形偏微分方程式に関するセミナー。1983 年 5 月 9 日、カリフォルニア州バークレーの数理科学研究所で開催されたセミナー。数理科学研究所出版物。第 2 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。pp . 321–358。doi : 10.1007 / 978-1-4612-1110-5_17。ISBN 0-387-96079-1。MR 0765241。S2CID 118833790。Zbl 0551.58011 。
- Schoen, R.; Yau, S.-T. (1988). 「共形平坦多様体、クライン群、スカラー曲率」. Inventiones Mathematicae . 92 (1): 47–71. Bibcode :1988InMat..92...47S. doi :10.1007/BF01393992. MR 0931204. S2CID 59029712. Zbl 0658.53038.
- Schoen, Richard M. (1989)。「リーマン計量と関連トピックの全スカラー曲率関数の変分理論」。Giaquinta , M. (編)。変分法のトピック。モンテカティーニ テルメで 1987 年 7 月 20 ～ 28日に開催された第 2 回 CIME セッション。数学の講義ノート。第 1365 巻。ベルリン: Springer。pp . 120 ～ 154。CiteSeerX 10.1.1.599.8478。doi : 10.1007 / BFb0089180。ISBN 3-540-50727-2. MR 0994021. Zbl 0702.49038.
- ショーン、リチャード M. (1991)。「共形クラスにおける定数スカラー曲率計量の数について」。ローソン、ブレイン、テネンブラット、ケティ(編)。微分幾何学。マンフレド・ド・カルモ記念シンポジウム。ピットマン純粋および応用数学のモノグラフとサーベイ。第 52 巻。ハーロウ:ロングマン サイエンティフィック アンド テクニカル。311 ～ 320 ページ。ISBN 0-582-05590-3. MR 1173050. Zbl 0733.53021.
- ミハイル・グロモフ;リチャード・シェーン (1992)。 「特異空間への調和マッピングとランク 1 のグループの格子の p 進超剛体」。出版物 Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques。76：165-246。土井：10.1007/bf02699433。MR 1215595。S2CID 118023776。Zbl 0896.58024 。
- Korevaar, Nicholas J.; Schoen, Richard M. (1993). 「ソボレフ空間と距離空間ターゲットの調和写像」. Communications in Analysis and Geometry . 1 (3–4): 561–659. doi : 10.4310/CAG.1993.v1.n4.a4 . MR 1266480. Zbl 0862.58004.
- Brendle, Simon ; Schoen, Richard (2009). 「1/4 に狭められた曲率を持つ多様体は空間形式である」. Journal of the American Mathematical Society . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode :2009JAMS...22..287B. doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 . MR 2449060. Zbl 1251.53021.
教科書
- Schoen, R.; Yau, S.-T. (1994).微分幾何学に関する講義. 幾何学と位相幾何学に関する会議議事録と講義ノート. 第 1 巻. 講義ノートは Wei Yue Ding、Kung Ching Chang、Jia Qing Zhong、Yi Chao Xu が作成。中国語からの翻訳は Ding と SY Cheng。中国語からの序文は Kaising Tso が翻訳。ケンブリッジ、マサチューセッツ州: International Press。ISBN 1-57146-012-8. MR 1333601. Zbl 0830.53001.
- Schoen, R.; Yau, ST (1997).調和写像に関する講義. 幾何学と位相幾何学に関する会議議事録と講義ノート. 第 2 巻. ケンブリッジ、マサチューセッツ州: International Press. ISBN 1-57146-002-0. MR 1474501. Zbl 0886.53004.
参照
参考文献
- ^ ab 「フェローデータベース | アルフレッド・P・スローン財団」sloan.org。
- ^ ab "Richard M. Schoen". www.macfound.org .
- ^ ab 「リチャード・メルビン・ショーン」。アメリカ芸術科学アカデミー。
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外部リンク
- 個人ウェブサイト
- オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「リチャード ショーン」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
- 数学系譜プロジェクトのリチャード・ショーン
- ソルマニ、クリスティーナ (2018 年 8 月)。「リチャード・ショーンの数学」(PDF)。アメリカ数学会誌。65 (11): 1349–1376。doi : 10.1090 / noti1749。