ディリクレ問題

数学において、ディリクレ問題とは、与えられた領域の内部で特定の偏微分方程式(PDE) を解き、その領域の境界で所定の値をとる関数を求める問題である。 ^{[ 1 ]}

ディリクレ問題は多くの偏微分方程式に対して解くことができるが、元々はラプラス方程式に対して提起された問題である。その場合、問題は次のように定式化できる。

領域の境界上のあらゆる場所で値をとる関数fが与えられた$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$一意の連続関数は存在するか${\displaystyle u}$内部で2回連続微分可能で境界で連続であるような${\displaystyle u}$内部は調和しており、${\displaystyle u=f}$境界線上に？

この条件はディリクレ境界条件と呼ばれます。主な課題は解の存在を証明することであり、一意性は最大値原理を用いて証明できます。

ディリクレ問題は、1828年に出版されたジョージ・グリーンの著書『電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関するエッセイ』で、一般的な境界条件を持つ一般的な領域におけるこの問題を研究したことに遡ります。 ^{[ 2 ]}彼はこの問題を、現在グリーン関数と呼ばれるものを構築する問題に還元し、グリーン関数は任意の領域に存在すると主張しました。彼の方法は今日の基準からすると厳密ではありませんでしたが、そのアイデアはその後の発展に大きな影響を与えました。

ディリクレ問題の研究における次の段階は、カール・フリードリヒ・ガウス、ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）、そして問題の名の由来となったペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレによって進められました。ポアソン核を用いた問題の解法（少なくとも球の場合）は、ディリクレ自身も知っていたようです（1850年にプロイセン科学アカデミーに提出された論文から判断すると）。ケルビン卿とディリクレは、「ディリクレのエネルギー」の最小化に基づく変分法によって問題の解法を提案しました。

ハンス・フロイデンタール（『科学者伝記辞典』第11巻 ）によれば、ベルンハルト・リーマンは、ディリクレの原理と呼ばれる方法に基づいてこの変分問題を解いた最初の数学者であった。唯一の解の存在は「物理的議論」によって非常に説得力がある。すなわち、境界上の電荷分布は、静電気の法則により、電位を解として決定するはずである。しかし、カール・ワイエルシュトラスはリーマンの議論に欠陥を発見し、厳密な存在証明は、変分法の直接法を用いたダフィット・ヒルベルトによって1900年に初めて発見された。解の存在は、境界の滑らかさと与えられたデータに微妙に依存することが判明した。

ドメインの場合${\displaystyle D}$十分に滑らかな境界を持つ${\displaystyle \partial D}$ディリクレ問題の一般解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds,}$

どこ${\displaystyle G(x,y)}$は偏微分方程式のグリーン関数であり、

$\displaystyle {\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}}$

は、グリーン関数を内向きの単位法線ベクトルに沿って微分したものである。${\displaystyle {\widehat {n}}}$境界上で積分を実行する。${\displaystyle ds}$. 機能${\displaystyle \nu (s)}$これは、第2種フレドホルム積分方程式の唯一の解によって与えられる。

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds.}$

上記の積分で使用するグリーン関数は、境界上でゼロになる関数である。

${\displaystyle G(x,s)=0}$

のために${\displaystyle s\in \partial D}$そして${\displaystyle x\in D}$このようなグリーン関数は通常、自由場グリーン関数と微分方程式の調和解の和で表されます。

いくつかの単純なケースでは、ディリクレ問題は明示的に解くことができます。たとえば、R ²の単位円盤に対するディリクレ問題の解は、ポアソン積分公式によって与えられます。^{[ 3 ]}

もし${\displaystyle f}$境界上で連続関数である${\displaystyle \partial D}$オープンユニットディスクの${\displaystyle D}$すると、ディリクレ問題の解は次のようになる。${\displaystyle u(z)}$によって与えられた

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-|z|^{2}}{|1-ze^{-i\psi }|^{2}}}\,d\psi &{\text{if }}z\in D,\\f(z)&{\text{if }}z\in \partial D.\end{cases}}}$

解決策${\displaystyle u}$閉じた単位ディスク上で連続している${\displaystyle {\bar {D}}}$そしてハーモニックに${\displaystyle D.}$

被積分関数はポアソン核として知られており、この解は2次元のグリーン関数から導かれる。

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log |zx|+\gamma (z,x),}$

どこ$\displaystyle \gamma (z,x)$調和的である（${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$）そして、${\displaystyle G(z,x)=0}$のために${\displaystyle x\in \partial D}$。

有界領域の場合、ディリクレ問題は、劣調和関数の最大値原理に基づくペロン法を用いて解くことができます。この方法は多くの教科書で説明されています。^{[ 4 ]}境界が滑らかな場合、解の滑らかさを記述するには適していません。ソボレフ空間を介した別の古典的なヒルベルト空間アプローチでは、そのような情報が得られます。^{[ 5 ]}

平面領域に対するソボレフ空間を用いたディリクレ問題の解法は、リーマン写像定理の滑らかなバージョンを証明するために使用できる。ベル（1992）は、セゲーとベルグマンの再生核に基づいて滑らかなリーマン写像定理を確立するための異なるアプローチを概説し、それを用いてディリクレ問題を解いた。ポテンシャル理論の古典的な方法により、ディリクレ問題は積分作用素に関して直接解くことができ、これにはコンパクト作用素とフレドホルム作用素の標準理論が適用可能である。同じ方法はノイマン問題にも同様に有効である。^{[ 6 ]}

ディリクレ問題は、楕円型偏微分方程式やポテンシャル理論、特にラプラス方程式に典型的に見られる問題である。その他の例としては、重調和方程式や弾性理論における関連方程式などが挙げられる。

これらは、境界で与えられた情報によって定義される偏微分方程式問題のいくつかの種類のクラスのうちの1つであり、ノイマン問題やコーシー問題などが含まれます。

壁の間に張られた弦の一端が固定され、もう一端が一定速度で動く場合の波動方程式に関するディリクレ問題、すなわち空間と時間のデカルト積の三角形領域におけるダランベール方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,}$

${\displaystyle u(0,t)=0,}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0.}$

代入によって簡単に確認できるとおり、最初の条件を満たす解は次のとおりである。

${\displaystyle u(x,t)=f(tx)-f(x+t).}$

さらに、私たちは

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.}$

代入

${\displaystyle \tau =(\lambda +1)t,}$

自己相似性の条件が得られる

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau ),}$

どこ

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.}$

例えば、合成関数によって満たされる。

${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

と

${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i},}$

したがって一般的に

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],}$

どこ${\displaystyle g}$周期を持つ周期関数${\displaystyle \log(\gamma )}$:

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau ),}$

そして一般解が得られます

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(tx)]-g[\log(x+t)].}$

• ルベーグ脊椎

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