共次元

数学において、余次元はベクトル空間の部分空間、多様体の部分多様体、および代数多様体の適切な部分集合に適用される基本的な幾何学的概念です。

アフィン代数多様体および射影代数多様体の場合、余次元は定義イデアルの高さに等しくなります。このため、イデアルの高さは余次元と呼ばれることがよくあります。

二重の概念は相対的な次元です。

余次元は相対的な概念です。余次元は、あるオブジェクト内の別のオブジェクトに対してのみ定義されます。「ベクトル空間の余次元 (孤立)」は存在せず、ベクトルサブ空間の余次元のみ存在します。

W が有限次元ベクトル空間Vの線型部分空間である場合、VにおけるWの余次元は次元間の差である: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V)-\dim(W).}$

これはWの次元の補完であり、 Wの次元と合わせて周囲空間 Vの次元になります。

${\displaystyle \dim(W)+\operatorname {codim} (W)=\dim(V).}$

同様に、N がMの部分多様体または部分多様体である場合、 MにおけるNの余次元は

${\displaystyle \operatorname {codim} (N)=\dim(M)-\dim(N).}$

部分多様体の次元が接線バンドルの次元(部分多様体上で移動できる次元の数) であるのと同様に、余次元は通常バンドルの次元(部分多様体 から移動できる次元の数) です。

より一般的には、W が（無限次元の場合もある）ベクトル空間Vの線型部分空間である場合、 VにおけるWの余次元は商空間V / Wの次元（無限次元の場合もある）であり、より抽象的には包含の余核として知られている。有限次元ベクトル空間の場合、これは前の定義と一致する。

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),}$

カーネルの次元としての相対次元と双対になります。

無限次元空間の有限余次元部分空間は、位相ベクトル空間の研究に役立つことが多い。

余次元の基本的な性質は交差との関係にあります 。W 1 が余次元k 1 を持ち、W 2 が余次元k 2 を持つ場合、_Uが余_次元jと_の交差_である場合、次の式が得られます。

最大( k ₁、k ₂ ) ≤ j ≤ k ₁ + k ₂。

実際、jはこの範囲内の任意の整数値を取ることができます。この記述は次元に関する変換よりも明快です。なぜなら、右辺は余次元の合計だからです。言葉で言えば

余次元は（最大で） を追加します。

部分空間または部分多様体が横断的に交差する場合（一般的には）、余次元は正確に加算されます。

この記述は、特に交差理論においては次元カウントと呼ばれます。

双対空間の観点から見ると、次元が追加される理由は明らかです。部分空間は、特定の数の線形関数がゼロになることで定義できます。線形関数が線形独立であるとすると、その数が余次元になります。したがって、 U は、W _iを定義する線形関数の集合の和をとることで定義されることがわかります。この和によって、ある程度の線形依存性が生じる可能性があります。jの可能な値がその依存性を表し、右辺の合計は依存性がない場合です。部分空間を切り出すために必要な関数の数に関する余次元のこの定義は、周囲空間と部分空間の両方が無限次元である状況にまで拡張されます。

あらゆる種類の交差理論の基本となる言い方をすると、特定の数の制約の結合を取っていることになります。注意すべき現象が 2 つあります。

1. 2 つの制約セットは独立していない可能性があります。
2. 2 つの制約セットは互換性がない可能性があります。

最初の原則は、制約を数える原則としてよく表現されます。調整するパラメータがN個あり(つまり、自由度がN個)、制約を満たすためにパラメータを「消費」する必要がある場合、ソリューションセットの余次元は制約の数以下になります。予測される余次元、つまり独立した制約の数がN を超える場合、ソリューションが見つかるとは考えられません(線形代数の場合、常に自明なヌル ベクトルソリューションが存在するため、無視されます)。

2 番目は、平行線のモデルにおける幾何学の問題です。これは、線形代数の方法によって線形問題について議論できるものであり、複素数体上の射影空間における非線形問題についても議論できます。

余次元は幾何学的位相幾何学においても明確な意味を持つ。多様体上では、余次元 1 は部分多様体による位相的切断の次元であり、余次元 2 は分岐と結び目理論の次元である。実際、次元 5 以上で始まる高次元多様体の理論は、余次元 3 で始まるとも言える。余次元が高いほど結び目の現象が回避されるからである。手術理論では中間次元まで作業する必要があるため、次元 5 に入ると中間次元の余次元は 2 より大きくなり、結び目が回避される。

この皮肉は空虚なものではありません。余次元 2 の埋め込みの研究は結び目理論であり、困難ですが、余次元 3 以上の埋め込みの研究は高次元幾何学的位相幾何学のツールに適しており、したがってかなり簡単です。

• 微分幾何学と位相幾何学の用語集

• 「余次元」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ローマン、スティーブン（2008）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、Springer、ISBN 978-0-387-72828-5