列挙幾何学

数学において、列挙幾何学は代数幾何学の一分野であり、主に交差理論を用いて幾何学的な問題の解の数を数えることを目的としている。

数学者たちは、古代ギリシャ人やその後の時代には人気があったこの分野への関心をほとんど失ったが、1900年代半ばには、モチーフホモトピー理論を問題に適用する方法が発見されたことで、最近になって再び注目を集めている。^{[ 1 ]}

アポロニウスの問題は、古代ギリシャで人気があった列挙幾何学問題の初期の例です。^{[ 1 ]}この問題は、与えられた 3 つの円、点、または線に接する円の数と作図を問うものです。^{[ 1 ]}一般に、与えられた 3 つの円の問題には 8 つの解があり、^{[ 1 ]それぞれが 2 3}と見なすことができ、各接条件は円の空間に二次条件を課します。ただし、与えられた円の特別な配置の場合、解の数は 0 (解なし) から 6 までの任意の整数になることもあります。アポロニウスの問題に 7 つの解があるような配置はありません。

列挙幾何学は時間の経過とともに非常に複雑になり、問題もより複雑になりました。たとえば、3次曲面上の直線の数、または5次曲面上の2次曲線の数などです。^{[ 1 ]}

1900年頃までに、数学者たちは複素数上の任意の列挙幾何学問題を解く方法を解明したが、これらの方法は他の数体系には適用できなかった。^{[ 1 ]}当時、整数などの他の数体系上の列挙幾何学問題を研究することで、数体系の基本的な性質が明らかになり、数学の新たな分野が開かれると考える者もいた。^{[ 1 ]}ヒルベルトもそうした考えを持つ一人で、ヒルベルト問題の中に列挙幾何学問題を含めた。^{[ 1 ]}

1900年代半ばまでに、この分野の人気は大幅に低下し、数学者たちはより抽象的なトピックに焦点を当てるようになった。^{[ 1 ]} 1990年代には一時的に関心が再燃した。^{[ 1 ]}

最近、数学者たちは、モチーフホモトピー理論を列挙幾何学の問題に適用する方法を発見しました。 ^{[ 1 ]}これにより、各問題から二次形式を構築することができ、任意の数体系における解に関する情報を導き出すために使用できます。^{[ 1 ]}例えば、複素数では、解の数は項の数に等しく、実数では、符号（正の項の数 - 負の項の数）が解の数の下限を与えます。他の数体系では、より複雑になり、これらの二次形式から情報を導き出すことは活発な研究分野となっています。^{[ 1 ]}

初歩的なものから高度なものまで、以下のような様々なツールがあります。

• 次元カウント
• ベズーの定理
• シューベルト計算、そしてより一般的にはコホモロジーにおける特性クラス
• 交差を数えることとコホモロジーの関係はポアンカレ双対性である。
• 曲線、写像、その他の幾何学的対象のモジュライ空間の研究。時には量子コホモロジー理論を通して行われる。量子コホモロジー、グロモフ・ウィッテン不変量、鏡面対称性の研究は、クレメンス予想において大きな進歩をもたらした。

列挙幾何学は交差理論と非常に密接に関係している。^{[ 2 ]}

最近では、モチーフホモトピー理論も含まれるようになった。^{[ 1 ]}

列挙幾何学は、19 世紀末にヘルマン・シューベルトの手によって目覚ましい発展を遂げた。^{[ 3 ]}彼はシューベルト計算のためにそれを導入したが、シューベルト計算はより広い分野で基本的な幾何学的および位相幾何学的価値を持つことが証明されている。列挙幾何学の具体的なニーズは、1960 年代と 1970 年代にさらに注目されるまで対処されなかった (例えば、スティーブン・クライマンが指摘しているように)。交点数は厳密に定義されていた (アンドレ・ヴェイユが 1942 ～ 1946 年の基礎プログラムの一部として、また^{その後も)が、これは列挙問題の適切な領域を網羅するものでは}なかった。

次元数え上げとベズーの定理を単純に適用すると、次の例が示すように誤った結果が得られます。こうした問題に対処するため、代数幾何学者は曖昧な「補正係数」を導入しましたが、それが厳密に正当化されたのは数十年後のことでした。

例えば、射影平面上の与えられた5つの直線に接する円錐曲線の数を数えてみましょう。^{[ 5 ]}円錐曲線は、その6つの係数を同次座標とすると、次元5の射影空間を構成します。また、5つの点が円錐曲線を決定します。これは、点が一般的に直線上に配置されている場合、与えられた点を通過することが線形条件を課すためです。同様に、与えられた直線Lへの接線（接線とは重複度2の交点）は1つの二次条件であり、P5における二次曲面を決定します。しかし、このようなすべての二次曲面からなる線形因子系は、基底軌跡を持たないわけではありません。実際、このような各二次曲面は、円錐曲線をパラメータ化するヴェロネーゼ曲面を含んで^います。

( aX + bY + cZ ) ² = 0

「二重線」と呼ばれる。これは、二重線が平面上のすべての線と交差するからである。射影平面上の線は交差するが、二重線は二重になっているため、重複度が2となる。したがって、直線に接する非退化円錐曲線と同じ交差条件（重複度2の交差）を満たす。

一般的なベズーの定理によれば、5次元空間における5つの一般的な二次曲面は32 = 25点で交わります^。しかし、ここで関係する二次曲面は一般的な位置にはありません。32から31を差し引いてヴェロネーゼに帰属させることで、（幾何学的な観点から）正しい答え、つまり1が得られます。このように「退化」したケースに交点を帰属させるプロセスは、幾何学における「ごまかし係数」の典型的な導入です。

ヒルベルトの15番目の問題は、これらの介入の明らかに恣意的な性質を克服することであった。この側面は、シューベルト計算そのものの根本的な問題を超えている。

1984年、H.クレメンスは5次3次元多様体上の有理曲線の数を数える研究を行った。${\displaystyle X\subset P^{4}}$そして、以下の推測に至った。

させて${\displaystyle X\subset P^{4}}$一般的な五重三重構造である。${\displaystyle d}$正の整数であれば、次数が の有理曲線は有限個しか存在しない。${\displaystyle d}$の上${\displaystyle X}$。

この推測は、次のケースで解決されました。$d ≤ 9$しかし、より高い${\displaystyle d}$。

1991年に、五次三重多様体上の鏡面対称性に関する論文^{[ 6 ]が発表された。}${\displaystyle P^{4}}$弦理論の観点からは、次数 d の有理曲線の数を与える。${\displaystyle X}$すべての人々のために${\displaystyle d>0}$これまで、代数幾何学者はこれらの数値を計算できたのは${\displaystyle d\leq 5}$。

代数幾何学における列挙の歴史的に重要な例としては、以下のようなものがある。

• 2 空間内で4つの一般的な線と交わる線の数
• 8 3つの一般的な円に接する円の数（アポロニウスの問題）。
• 27 滑らかな立方体表面上の線の数（サーモンとケイリー）
• 2875 一般的な5次三重線上の線の数
• 3264一般位置にある5 つの平面円錐曲線に接する円錐曲線の数(シャール)
• 609250 一般的な5次三重曲線上の円錐曲線の数
• 4407296 8つの一般的な二次曲面に接する円錐曲線の数Fulton (1984 、p. 193)
• 666841088 3次元空間における一般位置にある9つの与えられた二次曲面に接する二次曲面の数（シューベルト 1879 、p.106）（フルトン 1984 、p.193）
• 5819539783680 3次元空間の一般位置にある12個の与えられた二次曲面に接するねじれた三次曲線の数（シューベルト 1879 、p.184）（S.クライマン、SA ストロム、S. ザンボ1987 ） 

• Bashelor, Andrew; Ksir, Amy; Traves, Will (2008). "円錐曲線の列挙的代数幾何学" . Amer. Math. Monthly . 115 (8): 701– 7. doi : 10.1080/00029890.2008.11920584 . JSTOR 27642583 . 2023-12-01 のオリジナルからアーカイブ済み。2015-01-30 に取得。