正のエネルギー定理

正のエネルギー定理（正の質量定理とも呼ばれる）は、一般相対性理論と微分幾何学における一連の基礎的な結果を指す。その標準的な形式は、大まかに言えば、孤立系の重力エネルギーは非負であり、系に重力を及ぼす物体がない場合のみゼロになり得ると主張している。これらの主張は、本質的に主に物理的なものだと考えられることが多いが、微分幾何学、偏微分方程式、および幾何学的測度論の手法を使用して証明できる数学的な定理として形式化することができる。

リチャード・ショーンとシン・トン・ヤウは、1979年と1981年に初めて正の質量定理の証明を行った。エドワード・ウィッテンが1982年に別の証明の概要を示し、後に数学者によって厳密に補完された。ウィッテンとヤウは、このテーマに関する研究により、数学における フィールズ賞を受賞した。

シェーン・ヤウ / ウィッテンの正のエネルギー定理の不正確な定式化は、次のとおりです。

漸近的に平坦な初期データセットが与えられた場合、各無限領域のエネルギー運動量をミンコフスキー空間の要素として定義できます。初期データセットが測地的に完全であり、支配的なエネルギー条件を満たす場合、そのような各要素は原点の因果未来になければなりません。任意の無限領域のエネルギー運動量がヌルの場合、初期データセットはミンコフスキー空間に幾何学的に埋め込むことができるという意味で自明です。

これらの用語の意味については、以下で説明します。エネルギー運動量のさまざまな概念と、さまざまな初期データセットのクラスに対して、代替の非同等の定式化が存在します。これらの定式化のすべてが厳密に証明されているわけではなく、上記の定式化が任意の次元の初期データセットに当てはまるかどうかは 、現在未解決の問題です。

ADM 質量の定理の最初の証明は、変分法と極小曲面を使用して 1979年にリチャード・ショーンとシン・トン・ヤウによって提供されました。 エドワード・ウィッテンは、超重力のコンテキストでの正のエネルギー定理に触発され、スピノルの使用に基づいて 1981 年に別の証明を与えました。ボンダイ質量の定理の拡張は、ルドヴィグセンとジェームズ・ビッカーズ、ゲイリー・ホロウィッツとマルコム・ペリー、およびショーンとヤウ によって与えられました。

ゲイリー・ギボンズ、スティーブン・ホーキング、ホロウィッツ、ペリーは、この定理の漸近反ド・ジッター時空とアインシュタイン・マクスウェル理論への拡張を証明した。漸近反ド・ジッター時空の質量は非負であり、反ド・ジッター時空の場合のみゼロとなる。アインシュタイン・マクスウェル理論では、電荷 と磁荷を持つ時空の場合、時空の質量は（ガウス単位で） を満たす。${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}},}$

Majumdar – Papapetrou 極限ブラックホール解の場合も同様です。

初期データセットは、リーマン多様体 ( M、g )とM上の対称 2 テンソル場kで構成されます。初期データセット( M、g、k )は次のようになります。

• kが0のとき時間対称である
• tr ^g k = 0のとき最大となる^[1]
• 支配的なエネルギー条件を満たすのは、

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g},}$

ここでR ^{g は}gのスカラー曲率を表す。^[2]

時間対称な初期データセット( M , g , 0)が支配的なエネルギー条件を満たすのは、gのスカラー曲率が非負である場合のみであることに注意してください。ローレンツ多様体( M , g )は、MのMへの(必然的に空間的な)超曲面埋め込みと、連続した単位法線ベクトル場があり、誘導された計量がgで、与えられた単位法線に関する第 2 の基本形式がkである場合に、初期データセット( M , g , k ) の展開であると言えます。

この定義は、ローレンツ幾何学に由来する。次元n + 1のローレンツ多様体( M , g )と、連結されたn次元多様体Mから自明な法線束を持つMへの空間的浸漬f が与えられた場合、 fに沿った連続単位法線ベクトル場の 2 つの選択肢のいずれかに関して、誘導リーマン計量g = f ^* gとfの第二基本形式kを考えることができる。3 つの( M , g , k )は初期データセットである。ガウス-コダッツィ方程式によれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {G}}(\nu ,\nu )&={\frac {1}{2}}{\Big (}R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} ^{g}k)^{2}{\Big )}\\{\overline {G}}(\nu ,\cdot )&=d(\operatorname {tr} ^{g}k)-\operatorname {div} ^{g}k.\end{aligned}}}$

ここで、Gはアインシュタインテンソル Ric ^g - ⁠1/2⁠ gとνのR ^g g は、 kを定義するために使用されるfに沿った連続した単位法線ベクトル場を表します。したがって、上記の支配的なエネルギー条件は、このローレンツの文脈では、 G ( ν , ⋅) をfに沿ったベクトル場として見た場合、時間的またはヌルであり、 νと同じ方向に向いているという主張と同一です。 ^[3]

文献には、「漸近的に平坦」という概念がいくつかあり、それらは互いに同等ではありません。通常、これは重み付きヘルダー空間または重み付きソボレフ空間の観点から定義されます。

しかし、事実上すべてのアプローチに共通する特徴がいくつかあります。境界がある場合もない場合もある初期データセット( M、g、k )を考えます。nでその次元を表します。 Mのコンパクトな部分集合Kが存在し、補集合M − Kの各連結成分がユークリッド空間ℝ ⁿ内の閉球の補集合に微分同相であることが要求されます。このような連結成分はMの端と呼ばれます。

( M , g , 0)を支配的なエネルギー条件を満たす時間対称な初期データセットとします。 ( M , g )は方向付けられた 3 次元の滑らかな境界付きリーマン多様体であり、各境界コンポーネントは正の平均曲率を持つものとします。これには 1 つの端があり、次の意味で漸近的にシュワルツシルトであるとします。

K がMの開いたプレコンパクト部分集合で、微分同相写像Φ : ℝ ³ − B ₁ (0) → M − Kが存在するものとし、対称2次元テンソル

${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}-{\frac {m}{2|x|}}\delta _{ij}}$

ℝ ³ − B ₁ (0) 上の任意のi、j、p、qに対して、関数およびがすべて有界となるような関数です。${\displaystyle |x|^{2}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$

シェーンとヤウの定理は、m は非負でなければならないと主張します。さらに、関数と が任意の に対して有界である場合、Mの境界が空で( M , g )が標準リーマン計量でℝ ³に等長でない限り、 m は正でなければなりません。 ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q,r,s,t,}$

hに関する条件は、xが大きい場合、 hとその導関数のいくつかが小さいことを主張していることに注意してください。 h は、座標Φのgとシュワルツシルト計量のt = 定数スライスの標準表現との間の欠陥を測定しているため、これらの条件は「漸近的にシュワルツシルト」という用語の量化です。 これは、純粋に数学的な意味では、「漸近的に平坦」の強い形式として解釈でき、計量の展開の| x | ⁻¹部分の係数は、一般的な対称 2 テンソルではなく、ユークリッド計量の定数倍であると宣言されます。

また、上で述べたように、ショーンとヤウの定理は、実際には（外見に反して）「多重端」の場合の強力な形式であることにも注意してください。( M、g )が多重端を持つ完全なリーマン多様体である場合、他のすべての端に正の平均曲率球がある限り、上記の結果は任意の単一の端に適用されます。たとえば、各端が上記の意味で漸近的に平坦である場合、これは保証されます。境界として大きな座標球を選択し、各端の対応する残りを削除して、単一の端を持つ境界付きリーマン多様体を得ることができます。

( M , g , k )を支配的なエネルギー条件を満たす初期データセットとします。 ( M , g )は方向付けられた 3 次元の滑らかな完全リーマン多様体 (境界なし) であるとします。この多様体に有限個の端があり、それぞれの端が次の意味で漸近的に平坦であるとします。

が有限個の連結成分を持つような開いたプレコンパクト部分集合であり、それぞれに対して対称 2 テンソルが次の条件を満たす ような微分同相写像が存在するとします。${\displaystyle K\subset M}$${\displaystyle M\smallsetminus K}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \Phi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$そして、すべての${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q.}$

また、

• ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$そして、任意の${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$そしてどんな${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x)}$${\displaystyle p,q,i,j}$
• ${\displaystyle |x|^{3}((\Phi _{i}^{\ast }k)_{11}(x)+(\Phi ^{\ast }k)_{22}(x)+(\Phi _{i}^{\ast }k)_{33}(x))}$制限されています。

結論としては、それぞれのADMエネルギーは次のように定義される。 ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

は非負である。さらに、

• ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x)}$そして、任意の${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q,r,s,}$

あるに対してという仮定は、n = 1であること、Mがℝ ³に微分同相であること、ミンコフスキー空間ℝ ^3,1が初期データセット( M、g、k )の展開であることを意味します。 ${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})=0}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$

を有向3次元滑らかな完全リーマン多様体（境界なし）とする。を滑らかな対称2次元テンソルとし、 ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g}.}$

が有限個の連結成分を持つような開いたプレコンパクト部分集合であり、それぞれに対して対称 2 テンソルが次の条件を満たす ような微分同相写像が存在するとします。${\displaystyle K\subset M}$${\displaystyle M\smallsetminus K}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n}$${\displaystyle \Phi _{\alpha }:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$${\displaystyle h_{ij}=(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$そして、すべての${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q.}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x)}$そして、すべての${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x),}$${\displaystyle i,j,p.}$

それぞれについて、ADMエネルギーと線形運動量を次のように定義する。 ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{\alpha })={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

${\displaystyle {\text{P}}(M_{\alpha })_{p}={\frac {1}{8\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{q=1}^{3}{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{pq}-{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{11}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{22}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{33}{\big )}\delta _{pq}{\big )}{\frac {x^{q}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x).}$

それぞれについて、これをミンコフスキー空間のベクトルとして考えます。ウィッテンの結論は、それぞれについて、それは必然的に未来を指す非空間的ベクトルであるというものです。このベクトルが任意のについてゼロである場合、は に微分同相であり、初期データ セットの最大グローバル双曲展開は曲率がゼロです。 ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$${\displaystyle ({\text{P}}(M_{\alpha })_{1},{\text{P}}(M_{\alpha })_{2},{\text{P}}(M_{\alpha })_{3},{\text{E}}(M_{\alpha }))}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$${\displaystyle (M,g,k)}$

上述の説明によれば、ウィッテンの結論はショーンとヤウの結論よりも強力である。しかし、ショーンとヤウによる3番目の論文^[4]は、1981年の結果はウィッテンの結果を含意し、任意のに対してとが有界であるという追加の仮定のみを保持していることを示している。また、ショーンとヤウの1981年の結果は1979年の結果に依存しており、これは背理法によって証明されているため、1981年の結果の拡張も背理法によるものであることにも注意する必要がある。対照的に、ウィッテンの証明は論理的に直接的であり、ADMエネルギーを非負の量として直接示している。さらに、この場合のウィッテンの証明は、多様体がスピン構造を許容するという位相的条件の下で、大した労力をかけずに高次元多様体に拡張できる。^[5]ショーンとヤウの1979年の結果と証明は、8未満の任意の次元の場合に拡張できる。^[6]最近では、SchoenとYau（1981）の方法を用いたWittenの結果が同じ文脈に拡張されました。^[7]要約すると、SchoenとYauの方法に従うと、正のエネルギー定理は8次元未満で証明されましたが、Wittenの方法に従うと、スピン多様体の設定に制限はありますが、任意の次元で証明されました。 ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0}$

2017 年 4 月現在、Schoen と Yau は、次元や位相の制限なしに、特殊なケースにおける一般的な高次元のケースを証明するプレプリントを公開しています。ただし、まだ (2020 年 5 月現在) 学術雑誌に掲載されていません。 ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0,}$

• 1984年、シェーンは正の質量定理を自身の研究に利用し、山辺問題を完成させた。
• 正の質量定理は、ヒューバート・ブレイによるリーマン・ペンローズ不等式の証明に使用されました。

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• ウィッテン、エドワード (1981)。「正のエネルギー定理の新しい証明」。Communications in Mathematical Physics。80 ( 3): 381–402。Bibcode :1981CMaPh..80..381W。doi : 10.1007 / bf01208277。ISSN 0010-3616。S2CID  1035111  。
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• Horowitz, Gary T.; Perry, Malcolm J. (1982-02-08). 「重力エネルギーは負にはならない」. Physical Review Letters . 48 (6): 371–374. Bibcode :1982PhRvL..48..371H. doi :10.1103/physrevlett.48.371. ISSN  0031-9007.
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教科書

• ショケ・ブリュア、イヴォンヌ。一般相対性理論とアインシュタイン方程式。オックスフォード数学モノグラフ。オックスフォード大学出版局、オックスフォード、2009年。xxvi+785頁。ISBN 978-0-19-923072-3 
• ウォルド、ロバート M.一般相対性理論。シカゴ大学出版局、シカゴ、イリノイ州、1984年。xiii+491 pp. ISBN 0-226-87032-4