エリオット・H・リーブ

リープは、特に可解系に関する統計力学における数々の画期的な成果で有名です。彼の数多くの研究は、Selecta 「統計力学」^{[ 1 ]}および「凝縮系物理学と厳密に可解なモデル」^{[ 2 ]}、そしてダニエル・マティスとの共著^{[ 25 ]}にまとめられています。これらの研究は、（とりわけ）イジング型モデル、強磁性および強誘電性のモデル、2次元氷の6頂点モデルの厳密解、1次元デルタボーズガス（現在はリープ・リニガーモデルと呼ばれている）、およびハバードモデルを扱っています。

リープは、ダニエル・マティス、セオドア・シュルツとともに、1964年に2次元イジングモデル（ラース・オンサーガーによる伝達行列のジョルダン・ウィグナー変換を用いた厳密解の新たな導出を含む）を、1961年には明示的に解ける1次元スピン1/2モデルであるXYモデルを解いた。1968年には、ファ・ユエ・ウーとともに、1次元ハバードモデルの厳密解を与えた。

1971年、リープとネヴィル・テンパーリーは、特定の伝達行列を構築するためにテンパーリー・リープ代数を導入した。この代数は、結び目理論、ブレイド群、量子群、フォン・ノイマン代数の部分因子とも関連がある。

リープは1972年にデレク・W・ロビンソンと共に、局所的な相互作用を持つ非相対論的スピン系における情報伝播速度の上限を導出した。これらはリープ＝ロビンソン限界として知られるようになり、例えば熱力学的極限における誤差限界や量子コンピューティングにおいて重要な役割を果たしている。また、スピン系における相関の指数関数的減衰を証明したり、高次元スピン系における基底状態上のギャップに関する主張（一般化されたリープ＝シュルツ＝マティス定理）を行うためにも利用できる。

1972年、リープとメアリー・ベス・ルスカイは量子エントロピーの強い劣加法性を証明した。これは量子情報理論の基礎となる定理である。これは量子情報理論におけるデータ処理不等式として知られるものと密接に関連している。リープとルスカイによる強い劣加法性の証明は、リープがウィグナー・ヤナセ・ダイソン予想を含む演算子不等式に関するいくつかの重要な予想を解決した以前の論文に基づいている。^{[ 26 ]}

1997年から1999年にかけて、リープはヤコブ・イングヴァソンと共に、熱力学第二法則におけるエントロピーの増加と断熱到達可能性について厳密な扱いを行った。^{[ 27 ]}

1975年、リープとウォルター・ティリングは、 1967年のフリーマン・ダイソンとアンドリュー・レナードの証明よりも短く概念的な物質の安定性の証明を発見した。彼らの議論はスペクトル理論における新しい不等式に基づいており、これはリープ＝ティリングの不等式として知られるようになった。後者は、古典的または量子化された電磁場と相互作用する（擬似）相対論的フェルミオンなどの大きなフェルミオン系の研究における標準的なツールとなっている。数学的な側面では、リープ＝ティリングの不等式はシュレーディンガー演算子のスペクトル理論にも大きな関心を生み出した。^{[ 28 ]}この実りある研究プログラムは、彼のSelecta 「物質の安定性：原子から星まで」^{[ 3 ]}や、ロバート・セイリンガーとの共著「量子力学における物質の安定性」^{[ 29 ]}で読むことができる多くの重要な結果につながった。 

リープは、物質の安定性に関するダイソン・レナードの定理に基づき、ジョエル・レボウィッツとともに1973年に量子物質の熱力学的関数の存在を初めて証明した。彼はハイデ・ナルンホーファーとともに、密度汎関数理論におけるほとんどの汎関数の基礎となっている、均質電子ガスとも呼ばれるジェリウムについても同様の証明を行った。

1970年代、リープはバリー・サイモンと共に、多体シュレーディンガー方程式のいくつかの非線形近似、特にハートリー・フォック理論とトーマス・フェルミ原子モデルを研究した。彼らは、後者が大きな非相対論的原子のエネルギーの主要項を与えることを初めて厳密に証明した。ラファエル・ベングリアとハイム・ブレジスと共に、彼はトーマス・フェルミモデルのいくつかの変種を研究した。

数理物理学におけるイオン化問題では、特定の核電荷を持つ原子が結合できる電子の数に厳密な上限を求める必要がある。実験的および数値的な証拠は、余剰電子は最大で1個、あるいは2個までしか存在できないことを示唆しているようだ。これを厳密に証明することは未解決問題である。分子に関しても同様の疑問が生じる。リープは、原子核が結合できる電子の数に有名な上限を証明した。さらに、イスラエル・マイケル・シガル、バリー・サイモン、ウォルター・サーリングとともに、余剰電荷が核電荷に比べて漸近的に小さいことを初めて証明した。

リープはヤコブ・イングヴァソンと共に、希薄ボーズガスの基底状態エネルギーの公式の厳密な証明を与えた。その後、ロバート・セイリンガーとヤコブ・イングヴァソンと共に、多体量子力学から始めて、トラップ内の希薄ボソンの基底状態エネルギーに関するグロス・ピタエフスキー方程式を研究した。[ ^{30 ]リープ}はジョセフ・コンロンとホルン・ツェル・ヤウ、そしてヤン・フィリップ・ソロヴェイと共に、${\displaystyle N^{7/5}}$ボソンに関する法則は、ボゴリューボフのペアリング理論を初めて厳密に正当化するものである。

量子化学において、リープは1983年に凸解析の手法を用いて密度汎関数理論の最初の厳密な定式化を行ったことで有名である。普遍的なリープ汎関数は、混合状態の場合、与えられた密度プロファイルを持つクーロン系の最低エネルギーを与える。1980年、彼はスティーブン・オックスフォードと共に、固定密度における可能な限り低い古典的クーロンエネルギーの推定値を与えるリープ・オックスフォード不等式^{[ 31 ]}を証明し、後にPBEやSCANなどの汎関数の較正に使用された。さらに最近では、マチュー・レヴィンとロバート・セイリンガーと共に、ゆっくりと変化する密度に対する局所密度近似の最初の厳密な正当化を与えた^{[ 32 ] 。}

1970年代、リープは変分法と偏微分方程式の数学分野に進出し、そこで基礎的な貢献をした。重要なテーマの一つは、関数解析のいくつかの不等式における最適な定数の探索であり、彼はそれを用いて非線形量子システムを厳密に研究した。この方向での彼の成果は、Selecta 「不等式」にまとめられている。^{[ 4 ]}彼が厳密な定数を決定した不等式の中には、ヤングの不等式とハーディ・リトルウッド・ソボレフの不等式があり、これについては後述する。彼はまた、現在では解析学の標準と考えられているツール、例えば再配置不等式や、ほとんど至るところで収束する関数列に対するファトゥの補題の欠落項を提供するブレジス・リープの補題などを開発した。

リープは、ヘルム・ブラスカンプとホアキン・ルッティンガーと共に、1974年にリース再配置不等式の一般化を証明し、すべての関数を対称減少再配置に置き換えると、特定の多重線形積分が増加することを述べた。フレデリック・アルムグレンと共に、彼は再配置の連続性特性を明らかにした。再配置は、いくつかの非線形モデルの解の存在を証明するためによく用いられる。

リープは2つの論文（1976年にヘルム・ブラスカンプと共著、1990年に単独発表）において、例えばヘルダーの不等式、畳み込みに関するヤングの不等式、ルーミス・ホイットニーの不等式などを一般化した一連の不等式の妥当性と最適定数を決定した。これは現在、ブラスカンプ・リープの不等式として知られている。その趣旨は、最適定数はすべての関数がガウス関数である場合に決定されるというものである。ブラスカンプ・リープの不等式は、例えば調和解析において応用や拡張が見出されている。

リープは、1983年に、再配置不等式とコンパクト性法を用いて、ハーディ・リトルウッド・ソボレフ不等式とソボレフ不等式の最適化関数の存在を証明した。また、いくつかのケースでは最適な定数を決定し、問題の共形不変性を発見して利用し、立体射影を介して、共形的に等価だが球面上でより扱いやすい問題と関連付けた。後にルパート・フランクと共に、再配置不要の新しい証明が提供され、ハイゼンベルク群の場合を扱うことが可能になった。^{[ 33 ]}

1977年の論文で、リープは、自己重力を持つ物体や分極可能な媒質（ポーラロン）中を移動する電子を記述できる、シュレーディンガー・ニュートン方程式とも呼ばれるチョカード・ペカール方程式の基底状態の一意性（対称性を除いて）も証明した^{[ 34 ]} 。1997年には、ローレンス・トーマスとともに、量子場理論のモデル（フレーリッヒ・ハミルトニアン）からチョカード・ペカール方程式の変分導出を行った。これは、モンロー・ドンスカーとスリニヴァサ・ヴァラダンが確率的経路積分法を用いて以前に解決していた。

1976年にヘルム・ブラスカンプと共同で行った別の研究において、リープはプレコパ＝ラインドラーの不等式を、 2つの正関数の他のタイプの凸結合に拡張した。彼は本質的加法の概念を導入することで、この不等式とブルン＝ミンコフスキーの不等式を強化した。

リープはまた、フレデリック・アルムグレン、ハイム・ブレジス、ジャン＝ミシェル・コロンらと共同で、調和写像に関する影響力のある論文を執筆した。特に、アルグレンとリープは、エネルギーを最小化する調和写像の特異点の数の上限を証明した。