フランケル予想

フランケル予想は、微分幾何学と代数幾何学の数学の分野において、 1961年にセオドア・フランケルによって提起された問題である。この予想は、1979年に森重文、およびユム・トン・シウとシン・トン・ヤウによって解決された。

森とシウとヤウの両者によって証明されたように、微分幾何学的定式化では、閉じた ケーラー多様体が正の二分曲率を持つ場合、複素射影空間と双正則同相でなければならないという結果が得られています。このように、これはリーマン幾何学の球面定理の類似物と見なすことができます。リーマン定理は（弱い形式で）閉じた単連結リーマン多様体が正の曲率演算子を持つ場合、球面と微分同相でなければならないと述べています。この定式化は、モク・ガイミンによって次のステートメントに 拡張されました。

( M , g ) を非負の正則二分曲率の閉じたケーラー多様体とする。すると、Mの普遍被覆は、その自然計量とともに、階数が 1 より大きいいくつかの既約な閉じたエルミート対称空間と、それぞれが非負の正則二分曲率のケーラー計量を持ついくつかの複素射影空間の積との複素ユークリッド空間の計量積に双正則等長になる。

代数幾何学的定式化では、モリによって証明されたがシウとヤウによって証明されていないように、結果は、M が代数的に閉じた体k上で定義され、十分な接束を持つ、既約かつ非特異な射影多様体である場合、 M はk上で定義された射影空間に同型でなければならないと述べています。このバージョンは、ロビン・ハーツホーンにちなんでハーツホーン予想として知られています。

• セオドア・フランケル。正の曲率を持つ多様体。パシフィック・ジャーナル・数学。11 (1961)、165–174。doi :10.2140/ pjm.1961.11.165
• ロビン・ハーツホーン。代数多様体の豊富な部分多様体。C. Musili との共同執筆ノート。数学講義ノート、第 156 巻 (1970 年)。Springer-Verlag、ベルリン-ニューヨーク。xiv+256 pp. doi :10.1007/BFb0067839
• 小林昭七、落合卓四郎。複素射影空間と超二次曲面の特徴づけ。京都大学数学誌 13 (1973), 31–47. doi :10.1215/kjm/1250523432
• Ngaiming Mok.非負正則二分曲率のコンパクトケーラー多様体の均一化定理。J . Differential Geom. 27 (1988), no. 2, 179–214. doi :10.4310/jdg/1214441778
• 森 重文.十分な接線束を持つ射影多様体.数学年報 (2) 110 (1979), no. 3, 593–606. doi :10.2307/1971241
• Yum Tong Siu と Shing Tung Yau。正の二分曲率を持つコンパクトなケーラー多様体。発明数学59（1980）、第2号、189-204。doi ：10.1007/ BF01390043