シュワルツの補題

数学において、シュワルツの補題（シュワルツのひきがね、英: Schwarz lemma ）は、開単位円板からそれ自身への正則関数に関する複素解析の結果である。この補題は、リーマン写像定理などのより深い定理の証明に役立つため、あまり知られていない。しかし、これは正則関数の厳密性を捉えた最も単純な結果の 1 つである。

を原点を中心とする複素平面上の開単位円とし、をおよび上の正則写像とします。 ${\displaystyle \mathbf {D} =\{z:|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:\mathbf {D} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$${\displaystyle \mathbf {D} }$

すると、すべての に対して、 および となります。 ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$

さらに、非ゼロまたはに対して が成り立つ場合、となるものに対して が成り立つ。^[1]${\displaystyle |f(z)|=|z|}$${\displaystyle z}$${\displaystyle |f'(0)|=1}$${\displaystyle f(z)=az}$${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |a|=1}$

証明は関数に対する 最大モジュラス原理の直接的な適用である。

${\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}\,&{\mbox{if }}z\neq 0\\f'(0)&{\mbox{if }}z=0,\end{cases}}}$

これは、原点を含む の全体にわたって正則である（は原点で微分可能であり、 はゼロを固定するため）。ここで、 が 原点を中心とする半径 の閉円板を表す場合、最大モジュラス原理は、 に対して、任意の が与えられたとき、の境界上にが存在し、 ${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{r}=\{z:|z|\leq r\}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r<1}$${\displaystyle z\in D_{r}}$${\displaystyle z_{r}}$${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle |g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.}$

私たちが得るにつれて。 ${\displaystyle r\rightarrow 1}$${\displaystyle |g(z)|\leq 1}$

さらに、非ゼロの、またはに対して であると仮定します。すると、のある点において となります。したがって、最大係数原理により、は となる定数に等しくなります。したがって、となります。 ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$${\displaystyle z\in D}$${\displaystyle |f'(0)|=1}$${\displaystyle |g(z)|=1}$${\displaystyle D}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|=1}$${\displaystyle f(z)=az}$

シュワルツの補題の変形であるシュワルツ・ピック定理（ゲオルク・ピックにちなんで）は、単位円板の解析的自己同型、すなわち 単位円板からそれ自身への 全単射の正則写像を特徴付ける。

を正則とします。すると、すべての に対して、 ${\displaystyle f:\mathbf {D} \to \mathbf {D} }$${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

そして、すべての、 ${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}$

表現

${\displaystyle d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

は、ポアンカレ計量、すなわち次元 2 の双曲幾何学におけるポアンカレ円板モデルの計量における点 の距離です。シュワルツ・ピックの定理は、本質的には、単位円板からそれ自身への正則写像がポアンカレ計量における点 の距離を減少させることを述べています。上記の 2 つの不等式のいずれかで等式がずっと成り立つ場合 (これは、正則写像がポアンカレ計量における距離を保存すると言っているのと同等です)、 は単位円板の解析的自己同型でなければならず、単位円板をそれ自身に写像する メビウス変換によって与えられます。${\displaystyle z_{1}}$${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle f}$

上半平面 については、同様のことが言えます。 ${\displaystyle \mathbf {H} }$

を正則とします。すると、すべての に対して、 ${\displaystyle f:\mathbf {H} \to \mathbf {H} }$${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}.}$

これは、上で述べたシュワルツ・ピック定理から簡単に導かれる帰結です。ケイリー変換は 上半平面を単位円板 に等角写像することを覚えておけばよいのです。すると、写像はから への正則写像となります。この写像にシュワルツ・ピック定理を適用し、最後に の公式を使用して結果を簡略化すると、目的の結果が得られます。また、すべての に対して、 ${\displaystyle W(z)=(z-i)/(z+i)}$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle W\circ f\circ W^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle z\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{{\text{Im}}(f(z))}}\leq {\frac {1}{{\text{Im}}(z)}}.}$

どちらかの式に等式が成り立つ場合、は実係数のメビウス変換でなければならない。つまり、等式が成り立つ場合、 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

およびと。 ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$${\displaystyle ad-bc>0}$

シュワルツ・ピック定理の証明は、シュワルツの補題と、次の形式の メビウス変換が成り立つという事実から導かれる。

${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z_{0}}}z-1}},\qquad |z_{0}|<1,}$

単位円をそれ自身に写像する。メビウス変換を固定して定義する ${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle M(z)={\frac {z_{1}-z}{1-{\overline {z_{1}}}z}},\qquad \varphi (z)={\frac {f(z_{1})-z}{1-{\overline {f(z_{1})}}z}}.}$

であり、メビウス変換は可逆なので、合成はに写像され、単位円はそれ自身に写像される。したがって、シュワルツの補題を適用することができる。 ${\displaystyle M(z_{1})=0}$${\displaystyle \varphi (f(M^{-1}(z)))}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left|\varphi \left(f(M^{-1}(z))\right)\right|=\left|{\frac {f(z_{1})-f(M^{-1}(z))}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(M^{-1}(z))}}\right|\leq |z|.}$

ここで（ユニットディスク内にまだある）を呼び出すと、望ましい結論が得られる。 ${\displaystyle z_{2}=M^{-1}(z)}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|.}$

定理の2番目の部分を証明するために、左辺を差分商に並べ替えて、に近づけます。 ${\displaystyle z_{2}}$${\displaystyle z_{1}}$

シュワルツ・アルフォース・ピックの定理は、双曲多様体に対して類似の定理を提供します。

ド・ブランジュの定理（以前はビーベルバッハ予想と呼ばれていました）は、補題の重要な拡張であり、が単射である場合、つまり一価である場合ににおけるの高次導関数に制限を与えます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$

Koebe 1/4 定理は、単価の場合に関連する推定値を提供します。 ${\displaystyle f}$

• ネヴァンリンナ – ピック補間

• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002)、Springer-Verlag、ニューヨーク。ISBN 3-540-43299 -X (セクション 2.3 を参照) 
• S. ディニーン (1989)。シュワルツの補題。オックスフォード。ISBN 0-19-853571-6。

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