ストロミンガー方程式

ヘテロティック弦理論において、ストロミンガー方程式は時空超対称性に必要かつ十分な条件となる方程式の集合である。これは、4次元時空が最大限に対称であることを要求し、内部の6次元多様体にワープ因子を加えることによって導かれる。^[1]

実6次元内部多様体Y上の計量とベクトル束V上のエルミート計量hを考えます。方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \omega}$

1. 4次元時空はミンコフスキー、すなわち です。${\displaystyle g=\eta }$
2. 内部多様体Y は複素数でなければならない、つまり、ニージェンフイステンソルはゼロでなければならない。${\displaystyle N=0}$
3. 複素三次元多様体Y上のエルミート形式 とベクトル束V上のエルミート計量hは、 ${\displaystyle \omega}$
   1. ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}\omega =i{\text{Tr}}F(h)\wedge F(h)-i{\text{Tr}}R^{-}(\omega )\wedge R^{-}(\omega ),}$
   2. ${\displaystyle d^{\dagger }\omega =i(\partial -{\bar {\partial }}){\text{ln}}||\Omega ||,}$
      ここで は のハル曲率2形式、Fはhの曲率、 は正則n形式です。Fは物理学の文献ではヤン・ミルズ場の強度としても知られています。LiとYauは、2番目の条件が共形的にバランスしていること、つまり であることと同等であることを示しました。^[2]${\displaystyle R^{-}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle d(||\Omega ||_{\omega }\omega ^{2})=0}$
4. ヤン・ミルズ場の強度は、
   1. ${\displaystyle \omega ^{a{\bar {b}}}F_{a{\bar {b}}}=0,}$
   2. ${\displaystyle F_{ab}=F_{{\bar {a}}{\bar {b}}}=0.}$

これらの方程式は通常の場の方程式を意味するため、解くべき唯一の方程式となります。

しかし、方程式の解を得るには位相的な障害があります。

1. 多様体の第2チャーン類とゲージ場の第2チャーン類は等しくなければならない。すなわち、${\displaystyle c_{2}(M)=c_{2}(F)}$
2. 正則n形式、 すなわち、およびが存在する必要があります。${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle h^{n,0}=1}$${\displaystyle c_{1}=0}$

Vが接束でがケーラーの場合、および上のカラビ・ヤウ計量を取ることでこれらの方程式の解を得ることができます。 ${\displaystyle T_{Y}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T_{Y}}$

ストロミンガー方程式の解が得られれば、ワープ係数、ディラトン、背景フラックスHは次のように決定される。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \phi}$

1. ${\displaystyle \Delta (y)=\phi (y)+{\text{定数}}}$、
2. ${\displaystyle \phi (y)={\frac {1}{8}}{\text{ln}}||\Omega ||+{\text{定数}}}$、
3. ${\displaystyle H={\frac {i}{2}}({\bar {\partial }}-\partial )\omega .}$

• Cardoso、Curio、Dall'Agata、Lust、Manousselis、Zoupanos、「非ケーラー弦背景とその 5 つのねじれクラス」、hep-th/0211118