ルイス・ニーレンバーグ

ルイス・ニーレンバーグ
1975年のニーレンバーグ
生まれる	( 1925-02-28 )1925年2月28日 カナダ、オンタリオ州ハミルトン
死亡	2020年1月26日(2020-01-26)（享年94歳） マンハッタン、ニューヨーク、アメリカ
市民権	カナダとアメリカの
母校	マギル大学(BS、1945) ニューヨーク大学(PhD、1950)
知られている	偏微分方程式 ガリアルド・ニーレンバーグ補間不等式 ガリアルド・ニーレンバーグ・ソボレフ不等式 有界平均振動（ジョン・ニーレンバーグ空間） ニーレンバーグの予想[1]
受賞歴	ボッチャー記念賞(1959) クラフォード賞(1982) スティール賞(1994、2014) アメリカ国家科学賞(1995) チャーン賞(2010) アーベル数学賞 (2015)
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	ニューヨーク大学
論文	与えられた線要素を持つ閉じた凸面の決定 (1949)
博士課程の指導教員	ジェームズ・ストーカー
博士課程の学生	ウォルター・クレイグ ピーター・B・ギルキー ジャイロ・ゲデス・デ・フィゲイレド セルジュ・クライナーマン ヤンヤン・リー チャンショウ・リン ウェイミン・ニ マーティン・シェクター ガブリエラ・タランテッロ
注記
クーラント数学研究所

ルイス・ニーレンバーグ（1925年2月28日 - 2020年1月26日）は、カナダ系アメリカ人の数学者であり、 20世紀で最も優れた数学者の一人と考えられています。 ^{[2] [3]}

彼の研究のほぼ全ては偏微分方程式の分野におけるものである。彼の貢献の多くは、2階放物型偏微分方程式の強い最大値原理や複素幾何学におけるニューランダー・ニーレンベルグの定理など、現在ではこの分野の基礎となっている。彼は幾何解析の分野における基礎的人物とみなされており、彼の研究の多くは複素解析と微分幾何学の研究に密接に関連している。^[4]

ニーレンバーグはオンタリオ州ハミルトンでウクライナ系ユダヤ人移民の家庭に生まれた。バロン・ビング高等学校、マギル大学に進学し、1945年に数学と物理学の理学士号を取得した。カナダ国立研究会議での夏季アルバイトを通じて、アーネスト・クーラントの妻サラ・ポールと知り合った。彼女は、クーラントの父で著名な数学者リチャード・クーラントに、ニーレンバーグが理論物理学を学ぶにはどこに出願すべきかアドバイスを求めた。話し合いの結果、ニーレンバーグはニューヨーク大学クーラント数学研究所の大学院に入学するよう招かれた。1949年、ジェームズ・ストーカーの指導のもと、数学の博士号を取得した。博士論文では、1916年以来よく知られた未解決問題であった微分幾何学の「ワイル問題」を解決した。

博士号取得後、彼はクーラント研究所の教授となり、生涯をそこで過ごした。45人の博士課程の学生の指導教官を務め、多数の共著者と150本以上の論文を発表し、その中にはアンリ・ベレスティッキ、ハイム・ブレジス、ルイス・カファレッリ、ヤンヤン・リーなどとの注目すべき共同研究も含まれている。彼は87歳まで数学の研究を続けた。2020年1月26日、ニーレンバーグは94歳で亡くなった。^{[5] [6] [7]}

ニーレンバーグの業績は広く認められ、以下の賞や栄誉を獲得しました。

• ボッチャー記念賞（1959年）^[8]
• アメリカ芸術科学アカデミー会員に選出（1965年）^[9]
• 米国科学アカデミー会員に選出（1969年）^[10]
• クラフォード賞（1982年）^[11]
• ジェフリー・ウィリアムズ賞（1987年）^[12]
• アメリカ哲学協会会員に選出（1987年）^[13]
• スティール生涯功労賞（1994年）^[14]
• アメリカ科学賞（1995年）^[15]
• チャーンメダル（2010年）^[16]
• スティール賞（2014年）をルイス・カファレッリ、ロバート・コーンとともに受賞。ナビエ・ストークス方程式に関する論文^{[CKN82]に対して受賞。}
• アーベル賞（2015年）^[17]

ニーレンバーグは、シュムエル・アグモン、アヴロン・ダグリスとの共同研究で特に知られている。彼らは、それまで2階の楕円偏微分方程式について理解されていたシャウダー理論を、楕円系の一般的な設定に拡張した。バシリス・ギダス、ウェイミン・ニーとともに、彼は最大原理の革新的な利用法によって、微分方程式の多くの解の対称性を証明した。BMO関数空間の研究は、 1961年にニーレンバーグとフリッツ・ジョンによって始められた。これはもともとジョンによって弾性材料の研究で導入されたが、マルチンゲールと呼ばれる運のゲームにも応用されている。^[18]ルイス・カファレッリ、ロバート・コーンと1982年に彼が行った研究は、数理流体力学の分野におけるナビエ・ストークスの存在と滑らかさへの重要な貢献となった。

その他の業績としては、2次元におけるミンコフスキー問題の解決、ガリアルド・ニーレンバーグの補間不等式、複素幾何学におけるニューランダー・ニーレンバーグの定理、ジョセフ・コーンとの共同による擬微分作用素の開発などがあげられる。

ナビエ・ストークス方程式は、 1800年代初頭に流体力学の物理をモデル化するために開発されました。ジャン・ルレーは、1930年代の独創的な業績で、この方程式の弱解という影響力のある概念を定式化し、その存在を証明しました。^{[19]彼の研究は後に}エバーハルト・ホップによって境界値問題の設定に取り入れられました。^[20]

1970年代にウラジミール・シェッファーの研究で大きな進歩がもたらされた。彼は、ナビエ−ストークス方程式の滑らかな解が特異時間に近づくと、その解は、大まかに言えば、空間内の曲線から離れて特異時間まで連続的に拡張できることを示した。^[21]滑らかさに関するそのような条件付きの仮定をすることなく、彼は時空内の2次元表面から離れて滑らかなルレイ−ホップ解の存在を確立した。^[22]このような結果は「部分的正則性」と呼ばれる。その後すぐに、ルイス・カファレッリ、ロバート・コーン、ニーレンバーグがシェッファーの解析を局所化し、研ぎ澄ました。^[CKN82]シェッファーの解析の重要なツールは、解の局所的な積分制御を提供するエネルギー不等式であった。これはルレイ−ホップ解によって自動的に満たされるわけではないが、シェッファーとカファレッリ−コーン−ニーレンバーグは、そのような不等式を満たす解の存在定理を確立した。このような「先験的」制御を出発点として、Caffarelli−Kohn−Nirenberg は時空内の曲線から離れた滑らかさに関する純粋に局所的な結果を証明することができ、Scheffer の部分的正則性を改善しました。

同様の結果は後にマイケル・ストルーエによって発見され、カファレッリ−コーン−ニーレンバーグの解析の簡略版は後にファン・ホア・リンによって発見された。^{[23] [24]} 2014年、アメリカ数学会はカファレッリ−コーン−ニーレンバーグの論文を研究への重要な貢献に対してスティール賞で表彰し、彼らの研究は「画期的」であり「数学者の世代にインスピレーションの源」を提供したと述べた。ナビエ−ストークス方程式の正則性理論のさらなる解析は、2021年現在、よく知られた未解決問題である。

1930年代に、チャールズ・モーリーは2次元領域上の関数に対する準線型楕円偏微分方程式の基本的な正則性理論を発見した。 ^[25]ニーレンバーグは博士論文の一部として、モーリーの結果を完全に非線型な楕円方程式の設定に拡張した。^[N53a]モーリーとニーレンバーグの研究は2次元性を広範に利用しており、高次元領域での楕円方程式の理解は未解決の問題であった。

モンジュ＝アンペール方程式は、関数のヘッセ行列の行列式を規定する形で、完全に非線形な楕円方程式の標準的な例の1つです。1974年の国際数学者会議での招待講演で、ニーレンバーグは、境界正則性推定と連続法に基づいて、モンジュ−アンペール方程式の境界値問題に関してエウジェニオ・カラビと得られた結果を発表しました。^[26]しかし、彼らはすぐに証明が不完全であることに気づきました。^[26] 1977年、シウ・ユエン・チェンとシン・トン・ヤウは、モンジュ＝アンペール方程式の存在と内部正則性を解決し、特に、関数のヘッセ行列の行列式が滑らかであれば、関数自体も滑らかでなければならないことを示し^{[27]彼らの研究は、}ルジャンドル変換を介したミンコフスキー問題との関係に基づいており、彼らは以前に微分幾何的推定によってこの関係を解決していました。^[28]特に、彼らの研究では境界の正則性を利用しておらず、その結果はそのような疑問を未解決のまま残しました。

ルイス・カファレッリとジョエル・スプラックと共同で、ニーレンバーグはそのような疑問を解決し、境界の正則性を直接確立し、それを使って連続法に基づくモンジュ−アンペール方程式への直接的なアプローチを構築した。^[CNS84]カラビとニーレンバーグは最初の2つの導関数の一様制御をうまく実証していた。連続法の鍵となるのは、2番目の導関数のより強力な一様ヘルダー連続性である。カファレッリ、ニーレンバーグ、スプラックは境界に沿ったこの微妙なバージョンを確立し、^[29]カラビの内部における3番目の導関数の推定値を使うことでそれが十分であることを確立することができた。^[30]ジョセフ・コーンと共同で、彼らは複素モンジュ−アンペール方程式の設定で同様の結果を得た。^[C+85]このような一般的な状況では、エヴァンス−クリロフ理論^[29]はカラビの計算ベースの計算よりも柔軟なツールである。

Caffarelli、Nirenberg、Spruckは、より一般的なクラスの完全非線形楕円偏微分方程式に彼らの方法を拡張することができました。このクラスでは、ヘッセ行列の固有値間の特定の関係が規定されている関数を研究します。^{[CNS85]新しいクラスの方程式の特殊なケースとして、彼らは}特殊ラグランジアンの境界値問題を部分的に解決することができました。

1950 年代のニーレンバーグの最も有名な研究は、「楕円正則性」を扱っています。ニーレンバーグは、アヴロン・ダグリスとともに、1930年代に 2 次楕円方程式の文脈で発見されたシャウダー推定値を、任意の次数の一般的な楕円系に拡張しました。 ^[DN55]シュムエル・アグモンおよびダグリスと共同で、ニーレンバーグは、任意の次数の楕円方程式の境界正則性を証明しました。^[ADN59]彼らは後に、その結​​果を任意の次数の楕円系に拡張しました。^[ADN64]モーリーとともに、ニーレンバーグは、解析係数を持つ楕円系の解はそれ自体が解析的であることを証明し、以前の既知の研究の境界にまで拡張しました。^[MN57]楕円正則性へのこれらの貢献は、現在では情報の「標準パッケージ」の一部と見なされており、多くの教科書で取り上げられています。特にダグリス−ニーレンバーグ推定とアグモン−ダグリス−ニーレンバーグ推定は、楕円型偏微分方程式で最も広く使用されているツールの一つです。^[31]

ニレンバーグはヤンヤン・リーとともに、弾性理論における複合材料に着目して、係数が内部ではヘルダー連続だが境界では不連続となる可能性のある線形楕円系を研究した。その結果、解の勾配はヘルダー連続であり、勾配のL∞推定値は境界からの距離に依存しないことが^判明した。^[LN03]

調和関数の場合、最大値原理は1800 年代に知られており、カール・フリードリヒ・ガウスによって使用されました。^{[32] [33] 1900 年代初頭には、}セルゲイ・ベルンシュタイン、レオン・リヒテンシュタイン、エミール・ピカールによって一般的な 2 階楕円型偏微分方程式への複雑な拡張が見つかりました。1920 年代になって初めて、エバーハルト・ホップによって現代的な単純な証明が見つかりました。^[34]ニーレンバーグは、彼の初期の研究の 1 つで、ホップの証明を 2 階放物型偏微分方程式に適用し、その文脈で強い最大値原理を確立しました。 ^[N53b]以前の研究と同様に、このような結果には、さまざまな一意性定理と比較定理が帰結としてありました。ニーレンバーグの研究は現在、放物型偏微分方程式の分野の基礎の 1 つと見なされており、標準的な教科書にはいたるところで登場します。^{[35] [36] [37] [38] [39] [40]}

1950 年代に、AD アレクサンドロフは、洗練された「移動平面」反射法を導入し、これを最大原理を適用して、標準球面をユークリッド空間の唯一の閉じた超曲面として特徴付ける文脈として使用しました。1971 年に、ジェームズ セリンは、アレクサンドロフの手法を使用して、特定の 2 階楕円偏微分方程式の高度に対称な解は対称領域でサポートされる必要があることを証明しました。ニーレンバーグは、セリンの研究を再定式化して、2 階楕円偏微分方程式の解がその領域と方程式自体の対称性を継承することを証明できることに気付きました。このような結果は自動的には成立せず、特定の問題のどの特別な特徴が関連しているかを識別することは簡単ではありません。たとえば、ラプラシアンとユークリッド空間の回転対称性にもかかわらず、ユークリッド空間 には回転対称にならない調和関数が多数あります。

この問題に関するニーレンバーグの最初の結果は、バシリス・ギダスおよびウェイミン・ニとの共同研究で得られました。彼らは、アレクサンドロフとセリンの手法の正確な形を開発し、完全に非線形の楕円型および放物型方程式にも適用できました。^{[GNN79]その後の研究では、彼らは}ホップの補題の非有界領域に適用できるバージョンを開発し、そのような領域上の方程式の場合の研究を改善しました。^{[GNN81]彼らの主な応用は回転対称性を扱っています。このような結果により、幾何学的または物理的に興味のある多くの場合、偏微分方程式ではなく}常微分方程式を研究するだけで十分です。

その後、ニーレンバーグは、アンリ・ベレスティッキとともに、アレクサンドロフ−バケルマン−プッチ推定値^{[29] を}使用してギダス−ニ−ニーレンバーグの方法を改良および修正し、領域の正則性を仮定する必要性を大幅に削減しました。^[BN91a]スリニヴァサ・バラダンとの重要な結果において、ベレスティッキとニーレンバーグは、正則性を仮定しない領域の研究を続けました。線型作用素の場合、最大原理の妥当性を、第 1 固有値の正値および第 1 固有関数の存在に関連づけました。^[BNV94]ルイス・カファレッリとともに、ベレスティッキとニーレンバーグは、円筒領域上の関数の対称性にその結果を適用しました。^{[BCN96]特に、彼らは、後に}オヴィディウ・サヴィンの博士論文で完全に解決された、エンニオ・デ・ジョルジの並進対称性に関するよく知られた予想の部分的な解決を得ました。^{[BCN97b] [41] [42]彼らはさらに、}マリア・エステバンとピエール・ルイ・リオンズの以前の研究を拡張して、一般的な無限領域における定性的な現象を得るために彼らの方法を適用した。^[BCN97a]

ニーレンバーグとエミリオ・ガリアルドは、ソボレフ空間の基本不等式を独立に証明しました。これは現在ではガリアルド・ニーレンバーグ・ソボレフ不等式およびガリアルド・ニーレンバーグ補間不等式として知られています。^[N59]これらは偏微分方程式の文献のいたるところで使用されているため、これを拡張してさまざまな状況に適応させることは大きな関心事でした。ニーレンバーグ自身は後に補間不等式に現れる可能性のある指数を明らかにしました。^[N66]ルイス・カファレッリとロバート・コーンとともに、ニーレンバーグは特定の重み付きノルムに対応する不等式を確立しました。^[CKN84]カファレッリ、コーン、ニーレンバーグのノルムは後にフロリン・カトリーナと王志強による著名な研究でより詳細に調査されました。^[43]

フリッツ・ジョンが弾性理論に有界平均振動（BMO）関数空間を導入した直後、彼とニーレンバーグは空間のさらなる研究を行い、特に「ジョン−ニーレンバーグ不等式」を証明した。これは、BMO関数が平均値から離れている集合のサイズを制約する。^[JN61]カルデロン−ジグムント分解の応用である彼らの研究は、標準的な数学文献の一部となった。その解説は、確率、^[44]複素解析、^[45]調和解析、^[46]フーリエ解析、^[47]偏微分方程式の標準的な教科書に掲載されている。^{[29]他の応用の中でも、特に}ユルゲン・モーザーのハルナック不等式とその後の研究の基礎となっている。^{[48] [49] [29]}

ジョン−ニーレンバーグ不等式とBMO理論のより一般的な基礎は、リーマン多様体間の写像の文脈でニーレンバーグとハイム・ブレジスによって解明されました。^[BN95]他の結果の中でも、彼らは、BMOノルムが近い滑らかな写像は同じ位相次数を持ち、したがってその次数は平均消失振動（VMO）の写像に対して意味のある形で定義できることを確立しました。

位相ベクトル空間の設定において、Ky Fanはゲーム理論に応用されるミニマックス定理を開発した。^{[50] [51]} Haïm BrezisおよびGuido Stampacchiaとともに、NirenbergはFanの理論とStampacchiaによるLax-Milgram定理の一般化の両方を拡張した結果を導いた。^{[BNS72] [52]彼らの研究は}変分不等式の主題に応用されている。^[53]

ディリクレエネルギーを適用することにより、特定の波動方程式の解を関数の臨界点として認識することが標準的である。ブレジスおよびジャン＝ミシェル・コロンとともに、ニーレンバーグは、その臨界点が波動方程式の解を構成するために直接使用できる新しい関数を発見した。^[BCN80]彼らは新しい関数に峠定理を適用することができ、それによって特定の波動方程式の周期解の存在を確立し、ポール・ラビノウィッツの結果を拡張した。^[54]彼らの研究の一部には、標準的な峠定理とパレ・スメール条件の小さな拡張が含まれており、これらは教科書の標準となっている。^{[55] [ 56] [ 57]} 1991年、ブレジスとニーレンバーグは、エケランドの変分原理を峠定理の拡張に適用し、パレ・スメール条件を必要とせずにほぼ臨界点を見つけることができることを示しました。^{[BN91b] [57]}

ブレジスとニーレンバーグの臨界点理論への基本的な貢献は、局所最小化を扱ったものである。^[BN93]原理的には、関数空間の選択は非常に重要であり、関数は、より広いクラスのソボレフ関数の中で最小化することなく、滑らかな関数の中で最小化することができる。ブレジスとトシオ・カトによる以前の正則性の結果を利用して、ブレジスとニーレンバーグは、特定のクラスのディリクレ型関数に対してそのような現象を排除した。^[58]彼らの研究は、後にヘスス・ガルシア・アゾレロ、フアン・マンフレディ、イレネオ・ペラルによって拡張された。^[59]

ニーレンバーグの最も引用されている論文の一つで、彼とブレジスは、ティエリー・オーバンの山辺問題の研究の一部に倣って、ユークリッド空間上の山辺型方程式のディリクレ問題を研究した。^[BN83]ニーレンバーグは、ベレスティッキとイタロ・カプッツォ＝ドルチェッタとともに、山辺型の超線型方程式を研究し、様々な存在と非存在の結果を与えた。^[BCN94]

アグモンとニーレンバーグはバナッハ空間における常微分方程式の広範な研究を行い、漸近的表現と解の無限大での挙動を次のように関連付けた。

${\displaystyle {\frac {du}{dt}}+Au=0}$

演算子Aのスペクトル特性への応用としては、比較的一般的な放物型問題や楕円型放物型問題の研究が挙げられる。^[AN63]

ブレジスとニーレンバーグは、ヒルベルト空間間の不可逆変換の非線形摂動の摂動理論の研究を行った。その応用には、いくつかの半線形波動方程式の周期解の存在結果が含まれる。^{[BN78a] [BN78b]}

ジョン・ナッシュの等長埋め込み問題に関する研究では、重要なステップは小さな摂動の結果であり、これは暗黙関数定理を非常に彷彿とさせる。彼の証明では、ニュートン法（無限小形式）と平滑化演算子の新しい組み合わせが使用された。^{[60]ニーレンバーグは、ナッシュのアイデアを体系的かつ抽象的な枠組みにまとめた多くの数学者の一人で、}ナッシュ＝モーザー定理と呼ばれている。ニーレンバーグの定式化は特に単純で、ほとんどのナッシュ＝モーザー反復法の解析の基礎となる基本的な解析的アイデアを分離している。^[N72]同様の枠組みの中で、彼はバナッハ空間族における常微分方程式の可解性に関する定理の特殊なケースとして、コーシー＝コワレフスキー定理の抽象形式を証明した。^{[N72]彼の研究は後に西田隆明によって簡略化され、}ボルツマン方程式の解析に使用された。^{[61] [62]}

^{ニーレンバーグの博士論文は、完全に非線形な楕円方程式に関する研究[N53a]}を利用して、微分幾何学の分野におけるワイル問題とミンコフスキー問題の解決法を示した。^{[N53c]前者は、2 次元球面上の正に曲がった}リーマン計量の3 次元ユークリッド空間への等長埋め込みの存在を求めるものであり、後者は、ガウス写像がガウス曲率を規定する3 次元ユークリッド空間内の閉曲面を求めるものである。鍵となるのは、曲面理論の「ダルブー方程式」がモンジュ−アンペール型であるため、ニーレンバーグの正則性理論が連続法で役立つという点である。その後すぐに確立されたジョン・ナッシュの有名な等長埋め込み定理は、高正則埋め込みと低余次元を同時に扱うワイル問題とは明らかに関係がない。^{[63] [60]ニーレンバーグのミンコフスキー問題に関する研究は、}アレクセイ・ポゴレロフによってリーマン設定に拡張されました。高次元では、ミンコフスキー問題は、シュー・ユエン・チェンとシン・トン・ヤウによって解決されました。^[28]ミンコフスキー問題に対する他のアプローチは、カファレッリ、ニーレンバーグ、スプリュックの非線形楕円方程式の理論への基本的な貢献から発展しました。^[CNS85]

解析学を中心としない数少ない論文の一つで、ニーレンバーグとフィリップ・ハートマンは、ユークリッド空間の円筒を、本質的に平坦な唯一の完全超曲面であると特徴付けた。^{[HN59]これは、}平坦多様体の超曲面としての等長埋め込みに関する疑問の解決とも見ることができる。このような疑問と自然な一般化は、後にチェン、ヤウ、ハロルド・ローゼンバーグらによって取り上げられた。^{[64] [65]}

ニーレンバーグと彼の博士課程の学生オーガスト・ニューランダーは、シーシェン・チャーンとアンドレ・ヴェイユからニーレンバーグに投げかけられた質問に答えて、現在ニューランダー＝ニーレンバーグの定理として知られるものを証明した。これは、ほぼ複素構造が正則座標アトラスから生じる正確な代数条件を提供するものである。 ^[NN57]ニューランダー＝ニーレンバーグの定理は現在、複素幾何学における基礎的な結果と考えられているが、結果自体は証明よりもはるかによく知られている。証明は偏微分方程式の高度な手法に依存しているため、入門書では通常取り上げられない。ニーレンバーグとジョセフ・コーンは、コーンの以前の研究に続いて、擬凸領域上の∂-ノイマン問題を研究し、正則性理論と∂演算子の準楕円推定値の存在との関係を示した。^[KN65b]

古典的なポアンカレ円板モデルは、単位球に双曲空間の計量を割り当てます。Nirenberg とCharles Loewner は、ユークリッド空間の有界開部分集合に完全なリーマン計量を自然に割り当てるより一般的な方法を研究しました。^[LN74]幾何学的な計算により、特定の半線型山辺型方程式の解を使用して、一定のスカラー曲率の計量を定義することができ、解が境界近くで無限大に発散する場合に計量が完全であることが示されています。Loewner と Nirenberg は、特定の領域でそのような解の存在を確立しました。同様に、彼らは、境界で連続的にゼロに延びる任意の負の解に対して、ヘッセ行列を介して完全なリーマン計量を定義できるという特性を持つ特定のモンジュ−アンペール方程式を研究しました。これらの計量は射影不変性という特別な特性を持っているため、ある領域から別の領域への射影変換は、対応する計量の等長変換になります。

ジョセフ・コーンとニーレンバーグは擬微分作用素の概念を導入した。^[KN65a]ニーレンバーグとフランソワ・トレヴスは、2次の解けない線型偏微分方程式の有名なレビーの例を調査し、偏微分作用素と擬微分作用素の両方の文脈で、それが解ける条件を発見した。^{[NT63] [NT70]}彼らが導入した解析係数による局所可解条件は、レビー方程式の擬微分条件を解決したR. ビールス、C. フェファーマン、RD モイヤー、ラース・ヘルマンダー、ニルス・デンカーなどの研究者の焦点となった。これにより、線型偏微分方程式の局所可解性への扉が開かれた。

• ルイス・ニーレンバーグのホームページ
• サイモンズ財団、科学は生きている：ルイス・ニーレンバーグ
• アリン・ジャクソン。ルイス・ニーレンバーグとのインタビュー。Notices Amer. Math. Soc. 49 (2002)、第4号、441-449ページ。
• ヤンヤン・リー。ルイス・ニーレンバーグの著作。国際数学者会議の議事録。第 1 巻、127-137 ページ、ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー、ニューデリー、2010 年。
• サイモン・ドナルドソン。ルイス・ニーレンバーグの研究について。Notices Amer. Math. Soc. 58 (2011)、第3号、469-472ページ。
• トリスタン・リヴィエール。「未知の探求：ルイ・ニーレンバーグの偏微分方程式に関する研究」Notices Amer. Math. Soc. 63 (2016)、第2号、120-125ページ。
• ニーレンバーグの古典的なアイデアの最近の応用。Christina Sormani による報告。Notices Amer. Math. Soc. 63 (2016)、第 2 号、126–134 ページ。
• Martin Raussen と Christian Skau。Louis Nirenberg とのインタビュー。Notices Amer. Math. Soc. 63 (2016)、第 2 号、135–140 ページ。
• （ロバート・V・コーンとヤンヤン・リーがコーディネート）ルイス・ニーレンバーグ（1925–2020）。Notices Amer. Math. Soc. 68（2021）、第6号、959–979。