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微分幾何学という数学の分野において、極大曲面はローレンツ多様体のある種の部分多様体である。正確には、ローレンツ多様体( M , g )が与えられたとき、極大曲面は平均曲率がゼロであるMの空間的部分多様体である。[1]このように、ローレンツ幾何学における極大曲面はリーマン幾何学における極小曲面と直接類似している。2 つの設定の用語の違いは、極大曲面の小領域は面積関数の局所最大化子であるのに対し、極小曲面の小領域は面積関数の局所最小化子であるという事実に関係している。[2]
1976 年、シュウ・ユエン・チェンとシン・トン・ヤウは、適切に埋め込まれたミンコフスキー空間の最大超曲面に関する「バーンスタイン問題」を解決し、そのような超曲面はどれも平面であることを示した。これは、ヤウが 1982 年にフィールズ賞を受賞した研究の一部である。バーンスタイン問題は、もともと1970 年にエウジェニオ・カラビによって提起され、彼はその結果のいくつかの特殊なケースを証明した。簡単な例から、ミンコフスキー空間には、平均曲率がゼロで空間的ではない超曲面が多数存在することがわかる。[3]
芥川一夫は、チェンとヤウの手法を拡張して、ド・ジッター空間などの正の定曲率のローレンツ多様体における定平均曲率の空間的超曲面の場合を考察した。ルイス・アリアス、アルフォンソ・ロメロ、ミゲル・サンチェスは、ミンコフスキー空間を区間を持つ閉 リーマン多様体の歪んだ積に置き換えて、チェンとヤウの結果のバージョンを証明した。
偏微分方程式の問題として、ロバート・バートニックとレオン・サイモンはミンコフスキー空間における極大曲面の境界値問題を研究した。バートニックによる漸近平坦ローレンツ多様体における極大超曲面の一般的な存在は、デメトリオス・クリストドゥロウとセルジュ・クライナーマンによるアインシュタイン場の方程式の下でのミンコフスキー空間の非線形安定性の有名な証明において重要である。彼らは一般時空の最大スライスを使用しており、同じアプローチは数値相対論で一般的である。[4]
参考文献
脚注
- ^ Beem、Ehrlich、Easley、セクション 6.3
- ^ ショケ・ブリュア、745ページ
- ^ 小林（1983）、第5節
- ^ グルグロン、第10章2節
書籍
- John K. Beem、Paul E. Ehrlich、Kevin L. Easley。グローバル ロレンツ幾何学。第 2版。純粋および応用数学のモノグラフと教科書、202。Marcel Dekker、Inc.、ニューヨーク、1996 年。xiv+635 ページ。ISBN 0-8247-9324-2
- イヴォンヌ・ショケ＝ブリュア。一般相対性理論とアインシュタイン方程式。オックスフォード数学モノグラフ。オックスフォード大学出版局、オックスフォード、2009年。xxvi+785ページ。ISBN 978-0-19-923072-3
- デメトリオス・クリストドゥロウとセルジュ・クライナーマン。ミンコフスキー空間の大域的非線形安定性。プリンストン数学シリーズ、41。プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー、1993年。x+514 pp. ISBN 0-691-08777-6
- エリック・グルグロン。一般相対論における 3 + 1 形式論。数値相対論の基礎。物理学講義ノート、846。シュプリンガー、ハイデルベルク、2012 年。xviii+294 ページ。ISBN 978-3-642-24524-4
記事
- 芥川一夫.ド・ジッター空間における平均曲率が一定である空間的超曲面について. Math. Z. 196 (1987), no. 1, 13–19. doi :10.1007/BF01179263
- Luis J. Alías、Alfonso Romero、Miguel Sánchez。一般化ロバートソン・ウォーカー時空における平均曲率が一定である完全な空間的超曲面の一意性。一般相対性重力 27 (1995)、第 1 号、71 ～ 84 ページ。doi : 10.1007 /BF02105675
- Robert Bartnik と Leon Simon。規定された境界値と平均曲率を持つ空間的超曲面。
コミュニケーション数学物理学87（1982）、第1号、131-152。doi ：10.1007/ bf01211061 - Eugenio Calabi.いくつかの非線形方程式に対するバーンスタイン問題の例。Proc . Sympos. Pure Math., Vol. XV (1970), pp. 223–230。Global Analysis. Amer. Math. Soc., Providence, RI doi :10.1090/pspum/015
- Shiu Yuen Cheng と Shing Tung Yau。ローレンツ-ミンコフスキー空間における最大空間的超曲面。Ann . of Math. (2) 104 (1976)、第 3 号、407-419。doi :10.2307/1970963
- 小林修. 3次元ミンコフスキー空間L 3の最大曲面.東京数学会誌6 (1983), 第2号, 297–309. doi :10.3836/tjm/1270213872