スペースフォーム

数学において、空間形式は、断面曲率Kが一定の完全な リーマン多様体 Mです。最も基本的な 3 つの例は、ユークリッドn空間、n次元球面、双曲空間ですが、空間形式は必ずしも単純に接続されている必要はありません。

リーマン幾何学のキリング・ホップの定理は、曲 率を持つn次元空間形式の普遍被覆は、双曲空間に等長であり、曲率を持つn次元ユークリッド空間に等長であり、曲率を持つn 次元球面の原点から距離 1 にある点のn次元球面に等長であることを述べています。 ${\displaystyle M^{n}}$${\displaystyle K=-1}$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle K=0}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle K=+1}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle R^{n+1}}$

上のリーマン計量を再スケールすることにより、任意の に対して定曲率の空間を作成できます。同様に、 上のリーマン計量を再スケールすることにより、任意の に対して定曲率の空間を作成できます。したがって、定曲率の空間形式の普遍被覆は に等長です。 ${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle M_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K<0}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle M_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K>0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M_{K}}$

これにより、空間形式を研究する問題は、 が適切に不連続に作用する等長写像の離散群を研究することに帰着します。、の基本群は に同型になることに注意してください。 に対してこのように作用する群は結晶群と呼ばれます。およびに対してこのように作用する群は、それぞれフックス群およびクライン群と呼ばれます。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle M_{K}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi_{1}(M)}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle H^{2}}$${\displaystyle H^{3}}$

• ボレル予想

• ゴールドバーグ、サミュエル I. (1998)、曲率とホモロジー、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-40207-9
• Lee, John M. (1997)、リーマン多様体：曲率入門、Springer