カラビ予想

仮に${\displaystyle M}$はケーラー形式を持つ複雑なコンパクト多様体である。${\displaystyle \omega }$.${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-補題、同じド・ラームコホモロジー類に属する他のケーラー形式は、次の形式である。

${\displaystyle \omega +dd'\varphi }$

滑らかな関数の場合${\displaystyle \varphi }$の上${\displaystyle M}$定数を加えることを除いて一意である。したがって、カラビ予想は次の問題と同等である。

させて${\displaystyle F=e^{f}}$正の滑らかな関数である${\displaystyle M}$平均値が1の場合、滑らかな実関数が存在する。${\displaystyle \varphi }$; と

${\displaystyle (\omega +dd'\varphi )^{m}=e^{f}\omega ^{m}}$

そして${\displaystyle \varphi }$; 定数を加えることを除いて一意です。

これは、単一関数に対する複素モンジュ・アンペール型の方程式である。${\displaystyle \varphi }$これは、最高次の項が非線形であるため、特に解くのが難しい偏微分方程式です。${\displaystyle f=0}$、 として${\displaystyle \varphi =0}$は解です。連続性法の考え方は、すべての に対して解けることを示すことです。${\displaystyle f}$集合を示すことによって${\displaystyle f}$解決可能な集合は、オープンかつクローズドである。${\displaystyle f}$解ける集合は空集合ではなく、すべての集合は${\displaystyle f}$接続されている場合、これはすべての場合において解決できることを示しています${\displaystyle f}$。

滑らかな関数から滑らかな関数への写像は、${\displaystyle \varphi }$に${\displaystyle F}$定義される

${\displaystyle F=(\omega +dd'\varphi )^{m}/\omega ^{m}}$

は単射でも全射でもありません。定数を加えると単射にならないのは、${\displaystyle \varphi }$変更しない${\displaystyle F}$、全射ではないのは、${\displaystyle F}$は正でなければならず、平均値は 1 でなければなりません。したがって、関数に限定されたマップを考えます。${\displaystyle \varphi }$平均値が 0 になるように正規化されたものについて、この写像が正の集合への同型写像であるかどうかを尋ねます。${\displaystyle F=e^{f}}$平均値が1である。カラビとヤウは、これが同型写像であることを証明した。その証明は、以下に説明するいくつかのステップで行われる。

解が一意であることを証明するには、次のことを示す必要があります。

${\displaystyle (\omega +dd'\varphi _{1})^{m}=(\omega +dd'\varphi _{2})^{m}}$

すると、φ ₁と φ ₂は定数だけ異なる (したがって、両方とも平均値が 0 になるように正規化されている場合は同じでなければならない)。カラビは、平均値が

${\displaystyle |d(\varphi _{1}-\varphi _{2})|^{2}}$

は、最大で 0 となる式で与えられます。明らかに 0 以上なので、0 でなければなりません。

$\displaystyle d(\varphi _{1}-\varphi _{2})=0}$

これにより、φ ₁と φ ₂は定数だけ異なることになる。

可能なFの集合が(平均値 1 の滑らかな関数の集合において) 開集合であることを証明するには、あるFに対して方程式を解くことができれば、十分に近いすべてのFに対してそれを解くことができることを示す必要があります。Calabi は、バナッハ空間の陰関数定理を使用してこれを証明しました。これを適用するには、上記の微分作用素の線形化が可逆であることを示すことが主な手順です。

これは証明の中で最も難しい部分であり、ヤウが担当した部分です。Fが可能な関数 φ の像の閉包にあると仮定します。これは、対応する関数 F ₁、 F _{2 、... が}Fに収束するような関数φ ₁、φ ₂ 、... の列が存在することを意味し、問題は、φ の何らかの部分列が解 φ に収束することを示すことです。これを行うために、ヤウは関数 φ _iとその高階導関数について、log( f _i ) の高階導関数を用いて事前の境界をいくつか見つけます。これらの境界を見つけるには、それぞれが前の推定値をわずかに改善する一連の厳しい推定が必要です。ヤウが得た境界は、関数 φ _{i が}すべて適切なバナッハ空間のコンパクトな部分集合に含まれることを示すのに十分であり、収束する部分列を見つけることが可能です。この部分列は像がFである関数 φ に収束し、可能な像の集合F が閉集合であることを示します。