ホロノミー

微分幾何学において、滑らかな多様体上の接続のホロノミーとは、閉じたループの周りの平行移動が、移動される幾何学的データを保存できない程度です。ホロノミーは、接続の曲率の一般的な幾何学的帰結です。平坦な接続の場合、関連するホロノミーはモノドロミーの一種であり、本質的にグローバルな概念です。曲がった接続の場合、ホロノミーには重要なローカルおよびグローバルな特徴があります。

多様体上のあらゆる種類の接続は、その平行移動マップを通じて、何らかのホロノミーの概念を生じます。最も一般的なホロノミーの形式は、何らかの対称性を持つ接続に対するものです。重要な例としては、リーマン幾何学におけるレヴィ-チヴィタ接続のホロノミー（リーマンホロノミーと呼ばれる）、ベクトル束内の接続のホロノミー、カルタン接続のホロノミー、主束内の接続のホロノミーなどがあります。これらのいずれの場合も、接続のホロノミーは、リー群、つまりホロノミー群と同一視できます。接続のホロノミーは、アンブローズ-シンガーの定理を介して、接続の曲率と密接に関連しています。

リーマンホロノミーの研究は、多くの重要な発展をもたらした。ホロノミーは、対称空間を 研究し分類するために、エリー・カルタン(1926) によって導入された。ホロノミー群がより一般的な設定でリーマン幾何学を研究するために使用されるようになったのは、ずっと後のことである。1952 年、ジョルジュ・ド・ラームは、ド・ラームの分解定理を証明した。これは、局所ホロノミー群の作用下で接束を既約空間に分割することにより、リーマン多様体をリーマン多様体の直積に分割する原理である。その後、1953 年に、マルセル・ベルガーは、可能性のある既約ホロノミーを分類した。リーマンホロノミーの分解と分類は、物理学と弦理論に応用されている。

E を滑らかな多様体M上のk階 ベクトル束とし、∇ をE上の接続とする。Mのx を基点とする区分的に滑らかなループγ  : [0,1] → Mが与えられると、接続はxにおけるEのファイバー上に平行移動写像P _γ  : E _x → E _xを定義する。この写像は線型かつ可逆であり、一般線型群GL( E _x )の元を定義する。 xを基点とする ∇ のホロノミー群は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{は}}xに基づくループです\}。}$

xを基点とする制限ホロノミー群は、収縮可能なループ γから生じる部分群です。 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )}$

Mが連結であれば、ホロノミー群はGL( k , R )における共役を除いて基点x にのみ依存する。明示的に、 γ がMにおけるxからyへの経路であれば、

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}$

E _xとR ^kの異なる同一視を選択すると、共役部分群も得られます。特に一般的な議論や非公式な議論 (下記など) では、定義が共役まで有効であるという理解のもと、基底点への参照を省略する場合があります。

ホロノミー群の重要な特性には次のものがあります。

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$GL( k , R )の連結リー部分群である。
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$のアイデンティティ要素である${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla ).}$
• 自然な射影 群準同型が 存在する。ここではMの基本群であり、ホモトピー類を剰余類${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),}$${\displaystyle \pi_{1}(M)}$${\displaystyle [\gamma ]}$ ${\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• Mが単連結であれば、${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• ∇ が平坦（つまり曲率がゼロ）であるのは、 が 自明である場合に限ります。${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$

主バンドル上の接続のホロノミーの定義も並行して進めます。Gをリー群、P をパラコンパクトである滑らかな多様体M上の主Gバンドルとします。 ω をP上の接続とします。 M内のxに基づく区分的に滑らかなループγ  : [0,1] → Mとx上のファイバー内の点pを考えると、接続によって一意の水平リフトが定義され、水平リフトの終点 は一般にpではなく、 x上のファイバー内の他の点p · gになります。P上の同値関係~ を、p ~ q がP内の区分的に滑らかな水平パスで接続できる場合にそうであると定義します。 ${\displaystyle {\チルダ {\gamma }}:[0,1]\to P}$${\displaystyle {\チルダ {\gamma }}(0)=p.}$${\displaystyle {\チルダ {\ガンマ }}(1)}$

pを基底とするωのホロノミー群は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$

pを基点とする制限ホロノミー群は、収縮可能なループ γの水平リフトから生じる部分群です。 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

MとPが連結されている場合、ホロノミー群はGにおける共役を除いて基底点 pにのみ依存します。明示的に、q がホロノミーの任意の他の基底点である場合、 q ~ p · gとなる唯一のg ∈ Gが存在し、 gのこの値では、

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}$

特に、

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}$

さらに、p ~ qの場合、上記のように、共役まで定義が適切であるという理解のもと、ホロノミー群の基点への参照を省略することもあります。 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).}$

ホロノミー群と制限ホロノミー群の重要な特性には次のものがあります。

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$はGの連結リー部分群である。
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$のアイデンティティ要素である${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$
• 自然な全射群準同型が存在する ${\displaystyle \pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• Mが単連結であれば${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• ω が平坦（つまり曲率がゼロ）であるのは、 が自明である場合に限ります。${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

M を連結なパラコンパクト滑らかな多様体とし、Pを上記のように接続 ω を持つ主Gバンドルとする。 p ∈ Pを主バンドルの任意の点とする。H ( p ) を、水平曲線でpに接続できるP内の点の集合とする。すると、 H ( p ) は、明らかな射影写像とともに、構造群を持つM上の主バンドルであることが示される。この主バンドルは、接続のホロノミーバンドル( p経由)と呼ばれる。接続 ω は、その平行移動写像がH ( p ) を保存するため、 H ( p ) 上の接続に制限される。したがって、 H ( p ) は接続の縮小バンドルである。さらに、 H ( p )のどのサブバンドルも平行移動によって保存されないため、これはそのような縮小の最小値である。^[1]${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

ホロノミー群と同様に、ホロノミーバンドルもアンビエント主バンドルP内で同変変換します。詳細には、q ∈ P がホロノミーの別の選択されたベースポイントである場合、q ~ p gとなる唯一のg ∈ Gが存在します(仮定により、M はパス接続されているため)。したがって、 H ( q ) = H ( p ) gです。結果として、異なるベースポイントの選択に対応するホロノミーバンドル上の誘導接続は互いに互換性があります。つまり、それらの平行移動マップは、まったく同じ要素gによって異なります。

ホロノミーバンドルH ( p ) は の主バンドルであり、したがって制限ホロノミー群(完全ホロノミー群の正規部分群) の作用も許容する。離散群は接続のモノドロミー群と呼ばれ、商バンドルに作用する。はに作用する射影準同型が存在する。この基本群の作用は、基本群のモノドロミー表現である。^[2]${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ),}$${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$${\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}$${\displaystyle \varphi \left(\pi _{1}(M)\right)}$${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

π: P → Mが主バンドルで、 ω がP内の接続である場合、 ω のホロノミーはMの開部分集合上のファイバーに制限できます。実際、U がMの連結開部分集合である場合、 ω はU上のバンドル π ⁻¹ U内の接続を与えるように制限します。このバンドルのホロノミー (または制限ホロノミー) は、 π( p ) ∈ Uである各pに対して(または)で表されます。 ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U)}$${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)}$

U ⊂ V がπ( p )を含む2つの開集合である場合、明らかな包含関係が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$

点pにおける局所ホロノミー群は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} ^{0}(\omega ,U_{k})}$

任意の入れ子になった連結な開集合族U _kに対して、 となります。 ${\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}$

局所ホロノミー群には次の特性があります。

1. これは制限ホロノミー群の連結リー部分群である。${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
2. すべての点p には近傍Vがあり、特に、局所ホロノミー群は点pのみに依存し、それを定義するために使用するシーケンスU _kの選択には依存しません。${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$
3. 局所ホロノミーは、 Pの構造群Gの元による変換に関して同変です。つまり、すべてのg ∈ Gに対して同変です。(特性 1 により、局所ホロノミー群はGの連結リー部分群であるため、随伴は明確に定義されていることに注意してください。)${\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} \left(g^{-1}\right)\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )}$

局所ホロノミー群は、大域オブジェクトとしては適切に動作しません。特に、その次元は一定にならない場合があります。ただし、次の定理が成り立ちます。

局所ホロノミー群の次元が一定であれば、局所ホロノミーと制限ホロノミーは一致する。${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

アンブローズ-シンガー定理 (ウォーレン アンブローズとイサドア M. シンガー(1953)による) は、主バンドル内の接続 のホロノミーと、その接続の曲率形式を関連付けます。この定理を説得力のあるものにするために、アフィン接続(または接バンドル内の接続 - たとえばレヴィ-チヴィタ接続)のよく知られたケースを考えてみましょう。曲率は、無限小の平行四辺形の周りを移動するときに発生します。

詳細には、 σ: [0, 1] × [0, 1] → M が変数xとyのペアでパラメータ化されたM内の面である場合、ベクトルV はσ の境界の周りを移動できます。最初は ( x , 0 ) に沿って移動し、次に (1, y ) に沿って移動し、続いて ( x , 1) に沿って負の方向に移動してから、(0, y ) で原点に戻ります。これはホロノミー ループの特殊なケースです。ベクトルVには、σ の境界の揚力に対応するホロノミー グループ要素が作用します。平行四辺形が 0 に縮小され、より小さな平行四辺形の境界を [0, x ] × [0, y ]で通過するときに、曲率が明示的に入ります。これは、平行移動マップのx = y = 0での導関数を取ることに相当します。

${\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}$

ここでR は曲率テンソルである。^[3]つまり、大まかに言えば、曲率は閉ループ（無限小平行四辺形）上の無限小ホロノミーを与える。より正式には、曲率はホロノミー群の恒等関数におけるホロノミー作用の微分である。言い換えれば、R ( X , Y ) はリー代数の要素である。${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

一般に、構造群Gを持つP上の主バンドルP → Mの接続のホロノミーを考える。g をGのリー代数とすると、接続の曲率形式はP上のg値 2 形式 Ωとなる。アンブローズ・シンガーの定理は次のように述べている: ^[4]

のリー代数は、qが水平曲線 ( q ~ p ) によってpに接続できるすべての点にわたって範囲を持ち、XとY がqにおける水平接線ベクトルであるとき、形式のgのすべての元によって張られます。${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

あるいは、この定理はホロノミーバンドルの観点から言い換えることができる。^[5]

のリー代数は、q ∈ H ( p )の形式の元によって張られるgの部分空間であり、 XとY はqにおける水平ベクトルです。${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

リーマン多様体( M , g )のホロノミーは、Mへの接バンドル上のレヴィ-チヴィタ接続のホロノミー群です。「一般的な」n次元リーマン多様体はO( n )ホロノミーを持ち、向き付け可能な場合はSO( n ) を持ちます。ホロノミー群が O( n ) または SO( n )の適切な部分群である多様体は特別な特性を持ちます。

リーマンホロノミーに関する最も初期の基本的結果の1つは、ボレルとリヒネロヴィッチの定理（1952）であり、制限ホロノミー群はO( n )の閉じたリー部分群であると主張している。特に、それはコンパクトである。

x ∈ M を任意の点とします。すると、ホロノミー群 Hol( M )は接空間 T _x Mに作用します。この作用は、群の表現として既約であるか、または T _x Mを直交部分空間 T _x M = T′ _x M ⊕ T″ _x Mに分割し、各部分空間が Hol( M )の作用に対して不変であるという意味において既約であるかのいずれかです。後者の場合、M は既約であると言われます。

Mが可約多様体であると仮定する。点xが変化することを許容すると、各点での接空間の縮小によって形成されるバンドル T′ Mと T″ M は、フロベニウスの意味で積分可能な滑らかな超関数である。これらの超関数の積分多様体は、完全に測地線の部分多様体である。したがって、M は局所的には直積M′ × M″である。このプロセスを接空間の完全な縮小が達成されるまで続けると、（局所）ド・ラーム同型が成立する。^[6]

Mを単連結リーマン多様体^[7]とし、T M = T ⁽⁰⁾ M ⊕ T ⁽¹⁾ M ⊕ ⋯ ⊕ T ^{( k )} Mをホロノミー群の作用による接線束の完全縮約とする。T ⁽⁰⁾ Mがホロノミー群で不変なベクトル（つまり、ホロノミー表現が自明なベクトル）からなると仮定する。すると、局所的にMは積に等長となる 。

${\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}$

ここで、V _0はユークリッド空間の開集合であり、各V _i^{はT ( i )} Mの整多様体である。さらに、Hol( M )は各M _iのホロノミー群の直積として、点を通るT ^{( i )}の最大整多様体に分解される。

さらに、Mが測地完全であると仮定すると、定理は大域的に成立し、各M _iは測地完全多様体となる。^[8]

1955 年に、M. Berger は、既約 (局所的には積空間ではない) かつ非対称 (局所的にはリーマン対称空間ではない)である単連結リーマン多様体の可能なホロノミー群の完全な分類を与えました。Bergerのリストは次のとおりです。

ホロノミーSp( n )·Sp(1)を持つ多様体は1965年にエドモンド・ボナンとヴィヴィアン・ヨー・クラインズによって同時に研究され、平行4形式が構築された。

ホロノミーG _{2またはスピン(7)を持つ多様体は、1966年に}エドモンド・ボナンによって初めて導入され、彼はすべての平行形式を構成し、それらの多様体がリッチ平坦であることを示した。

Bergerの元のリストには、SO(16)のサブグループとしてSpin(9)の可能性も含まれていました。このようなホロノミーを持つリーマン多様体は、後にD. AlekseevskiとBrown-Grayによって独立に、必然的に局所対称、つまりケイリー平面F _{4 /Spin(9)に対して局所的に等長、または局所的に平坦であることが示されました。以下を参照してください。) 現在では、これらすべての可能性はリーマン多様体のホロノミー群として発生することがわかっています。最後の}2つの例外的なケースは、見つけるのが最も困難でした。G 2多様体とSpin(7) 多様体を参照してください。

Sp( n ) ⊂ SU(2 n ) ⊂ U(2 n ) ⊂ SO(4 n ) であることに注意し、すべてのハイパーケーラー多様体はカラビ・ヤウ多様体であり、すべてのカラビ・ヤウ多様体はケーラー多様体であり、すべてのケーラー多様体は有向可能である。

上記の奇妙なリストは、シモンズによるバーガーの定理の証明によって説明されました。バーガーの定理の単純で幾何学的な証明は、2005 年にカルロス E. オルモスによって与えられました。まず、リーマン多様体が局所対称空間でなく、縮小ホロノミーが接空間に既約に作用する場合、それは単位球面に推移的に作用することを示します。球面に推移的に作用するリー群は既知であり、上記のリストに加えて、R ¹⁶に作用する群 Spin(9)とR ^{4 m}に作用する群T · Sp( m )の 2 つの追加の場合で構成されます。最後に、これら 2 つの追加の場合の最初のケースは、局所対称空間 (ケーリー射影平面に局所的に同型) のホロノミー群としてのみ発生し、2 番目のケースはホロノミー群としてはまったく発生しないことを確認します。

バーガーの元の分類には、非正定値擬リーマン計量非局所対称ホロノミーも含まれていました。そのリストは、署名( p、q )のSO( p、q )、署名(2p、2q)のU(p、q)とSU(p、q)、署名( 4p 、4q )のSp ( p 、 q )とSp(p、q ) · Sp ( 1 )、署名( n、n )のSO( n、C )、署名( 2n、2n )のSO( n、H )、署名(4、3)の分割_{G2 、署名(7、7)のG2} ( C )、署名(4、4)のSpin(4、3)、署名(7、7)のSpin(7、C )、署名(8、8)のSpin(5、4)、そして最後に署名(16、16)のSpin(9、 C )で構成されていた。分割され複素化されたSpin(9)は上記のように必然的に局所対称であり、リストに載るべきではなかった。複素化されたホロノミーSO( n , C )、G2 ₍ C )、およびSpin(7, C )は、実解析リーマン多様体を複素化することで実現できる。最後のケース、つまりSO( n , H )に含まれるホロノミーを持つ多様体は、R.McLeanによって局所的に平坦であることが示された。^[9]

リーマン対称空間は、同次空間 G / Hに局所的に等長であり、Hに同型の局所ホロノミーを持ちます。これらも完全に分類されています。

最後に、バーガーの論文では、捩れのないアフィン接続のみを持つ多様体の可能なホロノミー群をリストしています。これについては以下で説明します。

特殊ホロノミーを持つ多様体は、平行スピノル、つまり共変微分がゼロのスピノル場の存在によって特徴付けられる。 ^[10] 特に、以下の事実が成り立つ。

• Hol(ω) ⊂ U (n) であるのは、M が共変定数 (または平行) 射影純粋スピノル場を許容する場合に限ります。
• M がスピン多様体である場合、M が少なくとも 2 つの線形独立な平行な純粋スピノル場を許容する場合に限り、 Hol(ω) ⊂ SU (n) が成り立ちます。実際、平行な純粋スピノル場は、構造群のSU ( n )への標準的な縮小を決定します。
• Mが 7 次元スピン多様体である場合、ホロノミーが G _{2に含まれる場合のみ、} M は非自明な平行スピノル場を持ちます。
• Mが8次元スピン多様体である場合、ホロノミーがスピン(7)に含まれる場合のみ、 Mは非自明な平行スピノル場を持ちます。

ユニタリーホロノミーと特殊ユニタリーホロノミーはツイスター理論^[11]との関連で研究されることが多く、またほぼ複素構造^[10]の研究でも研究される。

特殊ホロノミーを持つリーマン多様体は弦理論の コンパクト化において重要な役割を果たします。 ^[12] これは特殊ホロノミー多様体が共変定数（平行）スピノルを許容し、したがって元の超対称性の一部を保存するためです。最も重要なのは、SU(2)またはSU(3)ホロノミーを持つカラビ・ヤウ多様体上のコンパクト化です。G ₂多様体上のコンパクト化も重要です。

リーマン多様体のホロノミーを計算することは、機械学習、特に多様体学習の文脈でデータ多様体の構造を学習する方法として提案されてきました。ホロノミー群にはデータ多様体のグローバル構造に関する情報が含まれているため、データ多様体がサブ多様体の積に分解される方法を識別するために使用できます。ホロノミーは有限サンプリング効果のために正確に計算することはできませんが、ベクトル拡散マップに似たスペクトルグラフ理論のアイデアを使用して数値近似を構築することは可能です。結果として得られるアルゴリズム、幾何学的多様体成分推定器 ( GeoManCEr ) は、現実世界のデータに適用できる de Rham 分解の数値近似を提供します。^[13]

アフィン ホロノミー群は、捩れのないアフィン接続のホロノミーとして生じる群です。リーマン ホロノミー群または擬リーマン ホロノミー群ではない群は、非計量ホロノミー群とも呼ばれます。アフィン ホロノミー群にはド ラーム分解定理は適用されないため、完全な分類は不可能です。ただし、既約アフィン ホロノミーを分類することは自然なことです。

リーマン ホロノミー群の分類の途中で、バーガーは、局所対称でない捩れのないアフィン接続のホロノミー群のリー代数が満たさなければならない 2 つの基準を開発した。1 つはバーガーの第 1 基準として知られ、曲率がホロノミー代数を生成するというアンブローズ-シンガーの定理の結果である。もう 1 つはバーガーの第2基準 として知られ、接続が局所対称であってはならないという要件から来ている。バーガーは、既約に動作し、これら 2 つの基準を満たす群のリストを提示した。これは、既約アフィン ホロノミーの可能性のリストとして解釈できる。

Berger のリストは後に不完全であることが示されました。R . Bryant (1991) と Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer (1996) によってさらなる例が見つかりました。これらはエキゾチック ホロノミーと呼ばれることもあります。例の探索は最終的に Merkulov と Schwachhöfer (1999) による既約アフィン ホロノミーの完全な分類につながり、Bryant (2000) は彼らのリストにあるすべてのグループがアフィン ホロノミー グループとして現れることを示しました。

メルクロフ・シュヴァッハホファー分類は、リスト上の群と特定の対称空間、すなわちエルミート対称空間と四元数ケーラー対称空間との関係によって大幅に明確化されました。この関係は、シュヴァッハホファー (2001) によって実証されているように、複素アフィンホロノミーの場合に特に明確です。

V を有限次元複素ベクトル空間とし、H ⊂ Aut( V ) を既約半単純複素連結リー部分群とし、K ⊂ Hを最大コンパクト部分群とする。

1. G /(U(1) · K )の形の既約エルミート対称空間が存在する場合、HとC *· Hは両方とも非対称既約アフィンホロノミー群であり、ここでVはKの接線表現である。
2. G /(Sp(1) · K )の形の既約な四元数-ケーラー対称空間がある場合、 H は非対称な既約なアフィンホロノミー群であり、dim V = 4の場合にはC * · Hも同様です。ここで、Sp(1) · Kの複素化接線表現はC ² ⊗ Vであり、H はV上で複素シンプレクティック形式を保存します。

これら 2 つの族は、以下を除くすべての非対称既約複素アフィン ホロノミー グループを生成します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{2n}\right)\\G_{2}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{7}\right)\\\mathrm {Spin} (7,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}$

エルミート対称空間の分類を使用すると、最初のファミリーは次の複素アフィンホロノミー群を与えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (m,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{m}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{16}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot E_{6}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{27}\right)\end{aligned}}}$

ここで、Z _{C は}自明であるか、またはグループC * です。

四元数-ケーラー対称空間の分類を使用すると、2 番目のファミリは次の複素シンプレクティック ホロノミー グループを与えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\(Z_{\mathbf {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbf {C} ^{2}\right)\\\mathrm {Sp} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda _{0}^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{14}\right)\\\mathrm {SL} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\\\mathrm {Spin} (12,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{32}\right)\\E_{7}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{56}\right)\\\end{aligned}}}$

(2 行目では、n = 2 でない限り、 Z _{C は}自明でなければなりません。)

これらのリストから、リーマンホロノミー群が球面上で推移的に作用するというシモンズの結果の類似点が観察される。すなわち、複素ホロノミー表現はすべて概同次ベクトル空間である。この事実の概念的証明は知られていない。

既約な実アフィン ホロノミーの分類は、上記のリストと実アフィン ホロノミーが複素数化して複素数になるという事実を使用して、注意深い分析から得ることができます。

似た言葉に「ホロモルフィック」がある。これはコーシーの弟子であるブリオ（1817年 - 1882年）とブーケ（1819年 - 1895年）によって導入されたもので、ギリシャ語の「全体」を意味するὅλος（ホロス）と「形」や「外観」を意味するμορφή（モルフェー）に由来している。 ^{[14] 「ホロノミー」の語源は「ホロモルフィック」（}ホロス） と前半部分を共有している。後半部分について：

「ホロノミック (またはホロノミー) の語源を Web で見つけるのは非常に困難です。私は次のものを見つけました (プリンストン大学のジョン・コンウェイ氏に感謝します)。 『この語源は、ポアンソが剛体の運動の分析で初めて使用したと思います。この理論では、ある意味で局所情報から全体情報を復元できる場合、システムは「ホロノミック」と呼ばれます。したがって、「全法則」の意味はきわめて適切です。テーブル上でボールを転がすことは非ホロノミックです。なぜなら、同じ点に向かって異なる経路に沿って転がすと、ボールがさまざまな方向に転がる可能性があるからです。 ただし、「ホロノミー」が「全法則」を意味すると言うのは、おそらく少し単純すぎるでしょう。ギリシャ語では「nom」という語源は多くの意味が絡み合っており、おそらく「数える」という意味のほうが多いでしょう。これは、私たちの「数」という単語と同じインド・ヨーロッパ語の語源です。』」

—  S. ゴルワラ、^[15]

νόμος ( nomos ) および -nomy を参照してください。

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