打撃時間

数学における確率過程の研究では、ヒット時間（または最初のヒット時間）は、特定のプロセスが状態空間の特定のサブセットに「ヒット」する最初の時間です。終了時間と戻り時間もヒット時間の例です。

T を自然数、非負の実数、 [ 0, +∞) 、またはこれらのサブセットなどの順序付けられたインデックス セットとします。要素⁠ ⁠ は「時間」と考えることができます。確率空間(Ω, Σ, Pr)と測定可能な状態空間Sが与えられた場合、を確率過程とし、Aを状態空間Sの測定可能なサブセットとします。すると、最初のヒット時間は次のように定義される ランダム変数になります。${\displaystyle \mathbb {N} ,}$${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X:\Omega \times T\to S}$ ${\displaystyle \tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.}$

最初の終了時間（Aから）は、 SにおけるAの補集合であるS \ Aの最初のヒット時間と定義されます。紛らわしいことに、これはτ _Aと表記されることもよくあります。^[1]

最初の戻り時間は、通常、座標系の原点など、状態空間の特定の決定論的要素である シングルトンセット{ X ₀ ( ω )}の最初のヒット時間として定義されます。

• 適切に選択されたプロセスとターゲット セットの場合、停止時間はいずれもヒット時間になります。これは、Début 定理 (Fischer、2013) の逆から得られます。
• B を原点から始まる実数直線上の標準ブラウン運動とします。すると、衝突時間τ _Aは、あらゆるボレル可測集合の停止時間となる測定可能性要件を満たします。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} .}$
• 上と同様に、τ _r ( r > 0 )を区間(− r , r )の最初の終了時間、つまり、の最初のヒット時間を表すとします。すると、τ _rの期待値と分散は次式を満たします。${\displaystyle (-\infty ,-r]\cup [r,+\infty ).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}}$$

• 上記のBの場合、単一の点（開始点0とは異なる）に到達する時間はレヴィ分布に従います。

集合Fの到達時間は、Fのデビュットとも呼ばれます。デビュット定理は、右連続かつ完全な濾過に関する漸進的に測定可能なプロセスに対する測定可能な集合Fの到達時間は停止時間であると述べています。漸進的に測定可能なプロセスには、特に、すべての右連続および左連続の適応プロセスが含まれます。デビュットが測定可能であることの証明はかなり複雑で、解析集合の特性を伴います。定理では、基礎となる確率空間が完全であるか、少なくとも普遍的に完全である必要があります。

デビュット定理の逆は、実数値の時間インデックス上のフィルタリングに関して定義されたすべての停止時間は、ヒット時間によって表すことができることを述べています。特に、本質的にそのような停止時間に対して、0と1の値のみを取る、適応された非増加プロセス（RCLL）パスが存在し、このプロセスによる集合{0}のヒット時間が、検討中の停止時間になります。証明は非常に簡単です。^[2]

• 時間を止める