断面曲率

リーマン幾何学では、断面曲率はリーマン多様体の曲率を記述する方法の1つです。断面曲率${\displaystyle K(\sigma _{p})}$2次元線形部分空間に依存する$\displaystyle \sigma _{p}}$点における接空間の${\displaystyle p}$多様体の。平面を持つ曲面のガウス曲率として幾何学的に定義できる。$\displaystyle \sigma _{p}}$接平面として${\displaystyle p}$から始まる測地線から得られる${\displaystyle p}$の方向で$\displaystyle \sigma _{p}}$（言い換えれば、$\displaystyle \sigma _{p}}$指数マップの下で${\displaystyle p}$)断面曲率は、多様体上の2-グラスマン束上の実数値関数である。

断面曲率がリーマン曲率テンソルを完全に決定する。

リーマン多様体と同一点における2つの線形独立な接ベクトルuとvが与えられた場合、次のように定義できます。

${\displaystyle K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}}$

ここで、Rはリーマン曲率テンソルであり、ここでは次の慣例によって定義される。${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w}$一部の情報源では逆の慣習が用いられている。${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w}$その場合${\displaystyle K(u,v)}$定義する必要があります${\displaystyle \langle R(u,v)u,v\rangle }$分子の代わりに${\displaystyle \langle R(u,v)v,u\rangle .}$^{[ 1 ]}

uとvの線形独立性により、上記の式の分母はゼロにならないため、K ( u , v )は適切に定義されることに注意してください。特に、uとvが正規直交である場合、定義は次の単純な形式になります。

${\displaystyle K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .}$

確認するのは簡単です。${\displaystyle u,v\in T_{p}M}$これらは線形独立であり、接空間の同じ2次元線形部分空間を張る。${\displaystyle T_{p}M}$として​${\displaystyle x,y\in T_{p}M}$⁠、それから⁠${\displaystyle K(u,v)=K(x,y)}$したがって、断面曲率は、接空間の2次元線形部分空間を入力とする実数値関数と考えることができる。

リーマン多様体は「一定の曲率」を持つと言われている。${\displaystyle \kappa }$⁠「もし${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=\kappa }$すべての2次元線形部分空間について${\displaystyle P\subset T_{p}M}$そしてすべての人々のために${\displaystyle p\in M}$⁠ .

シューアの補題は、( M , g )が次元が 3 以上の連結リーマン多様体であり、関数が存在する場合、${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$そのため${\displaystyle \operatorname {sec} (P)=f(p)}$すべての2次元線形部分空間について${\displaystyle P\subset T_{p}M}$そしてすべての人々のために${\displaystyle p\in M}$⁠、この場合、 f は定数でなければならず、したがって( M , g )は一定の曲率を持つ。

断面曲率が一定のリーマン多様体は空間形式と呼ばれる。${\displaystyle \kappa }$は断面曲率の定数値を表すので、曲率テンソルは次のように書ける。

${\displaystyle R(u,v)w=\kappa {\big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\big )}}$

あらゆる​${\displaystyle u,v,w\in T_{p}M}$⁠ .

任意のリーマン計量はレヴィ・チヴィタ接続に関して平行であるため、これは任意の定曲率空間のリーマンテンソルも平行であることを示している。リッチテンソルは次のように与えられる。${\displaystyle \operatorname {Ric} =(n-1)\kappa g}$そしてスカラー曲率は${\displaystyle n(n-1)\kappa .}$特に、任意の定曲率空間はアインシュタイン空間であり、定スカラー曲率を持つ。

させて${\displaystyle (M,g)}$を滑らかな多様体とし、${\displaystyle \lambda }$は正の数とする。リーマン多様体を考える。${\displaystyle (M,\lambda g)}$曲率テンソルは多重線形写像として表される。${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M,}$この変更によって変化しない。${\displaystyle v,w}$線形独立なベクトルである${\displaystyle T_{p}M}$⁠。それから

${\displaystyle K_{\lambda g}(v,w)={\frac {\lambda g\left(R^{\lambda g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{\lambda g}^{2}|w|_{\lambda g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{\lambda g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {g\left(R^{g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}K_{g}(v,w).}$

つまり、メトリックを乗算すると${\displaystyle \lambda }$すべての断面曲率を で乗算します$\displaystyle \lambda ^{-1}}$⁠ .

トポノゴフの定理は、測地線上の三角形がユークリッド空間上の三角形と比べてどれほど「太く」見えるかという観点から、断面曲率を特徴づけるものである。基本的な考え方は、空間が正の曲率を持つ場合、ある頂点に対向する三角形の辺はその頂点から離れる方向に曲がる傾向があり、空間が負の曲率を持つ場合、三角形の対向する辺はその頂点に向かって曲がる傾向があるということである。

より正確には、M を完全リーマン多様体とし、xyz をM内の測地線三角形(各辺が長さ最小測地線である三角形) とする。最後に、m を測地線xyの中点とする。Mが非負の曲率を持つ場合、十分に小さいすべての三角形に対して、

${\displaystyle d(z,m)^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}}$

ここで、dはM上の距離関数である。等号が成り立つのは、 Mの曲率がゼロの場合のみであり、右辺は、三角形 xyz と同じ辺の長さを持つユークリッド空間の測地線三角形の頂点から反対側の辺までの距離を表す。これにより、正の曲率を持つ空間では三角形が「太い」という意味が明確になる。正でない曲率を持つ空間では、不等号は逆になる。

${\displaystyle d(z,m)^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}.}$

断面曲率のより厳密な境界が分かっている場合、この性質は一般化され、M内の測地線三角形と適切な単連結空間形式内の測地線三角形との比較定理が得られます。トポノゴフの定理を参照してください。ここで述べたバージョンの単純な帰結は次のとおりです。

• 完全リーマン多様体の断面曲率が非負であるのは、関数が${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$すべての点pに対して1-凹関数である。
• 完全単連結リーマン多様体の断面曲率が非正となるのは、関数が${\displaystyle f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$1-凸である。

1928年、エリー・カルタンはカルタン＝アダマールの定理を証明した。すなわち、 Mが非正の断面曲率を持つ完備多様体である場合、その普遍被覆はユークリッド空間と微分同相である。特に、それは非球面である。ホモトピー群は$\displaystyle \pi _{i}(M)$i ≥ 2 の場合は自明です。したがって、完全非正曲率多様体の位相構造は、その基本群によって決定されます。プライスマンの定理は、負曲率コンパクト多様体の基本群を制限します。カルタン・アダマール予想は、カルタン・アダマール多様体と呼ばれるすべての非正曲率の単連結空間で、古典的な等周不等式が成り立つはずだと述べています。

正曲率多様体の構造についてはほとんど知られていない。ソウル定理（Cheeger & Gromoll 1972 ; Gromoll & Meyer 1969）によれば、完全非コンパクト非負曲率多様体は、コンパクト非負曲率多様体上の法束と微分同相である。コンパクト正曲率多様体については、2つの古典的な結果がある。

• マイヤーズの定理から、このような多様体の基本群は有限であることが導かれる。
• シンジの定理から、偶数次元のそのような多様体の基本群は、向き付け可能で、${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$それ以外の場合。奇数次元では、正曲率多様体は常に向き付け可能である。

さらに、コンパクトで正に曲率を持つ多様体の例は比較的少なく、多くの推測が残されています（例えば、正の断面曲率を持つ計量が存在するかどうかについてのホップ予想など）。$\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$⁠ ) 新しい例を構築する最も典型的な方法は、オニール曲率公式からの次の系です。${\displaystyle (M,g)}$はリー群 G の自由等長作用を許容するリーマン多様体であり、M は G の軌道に直交するすべての 2 平面上で正の断面曲率を持つ。この多様体は${\displaystyle M/G}$商計量を用いると、断面曲率は正になります。この事実により、球面や射影空間といった古典的な正曲率空間、および以下の例を構成することができます（Ziller 2007 ）。

• ベルガーのスペース${\displaystyle B^{7}=\operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (3)}$そして​${\displaystyle B^{13}=\operatorname {SU} (5)/\operatorname {Sp} (2)\cdot \mathbb {S} ^{1}}$⁠ .
• ウォラック空間（または均質旗多様体）：${\displaystyle W^{6}=\オペレータ名 {SU} (3)/T^{2}}$、${\displaystyle W^{12}=\operatorname {Sp} (3)/\operatorname {Sp} (1)^{3}}$そして${\displaystyle W^{24}=F_{4}/\オペレーター名 {スピン} (8)}$。
• アロフ・ワラック空間${\displaystyle W_{p,q}^{7}=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {diag} \left(z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q}\right)}$。
• エッシェンブルクの空間${\displaystyle E_{k,l}=\operatorname {diag} \left(z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}}\right)\backslash \operatorname {SU} (3)/\operatorname {diag} \left(z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}}\right)^{-1}.}$
• バザイキン空間${\displaystyle B_{p}^{13}=\operatorname {diag} \left(z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}}\right)\backslash \operatorname {U} (5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}}$、 どこ${\displaystyle A\in \operatorname {Sp} (2)\subset \operatorname {SU} (4)}$。

チーガーとグロモルは、非負曲率の完全非コンパクト多様体はすべて${\displaystyle M}$完全に凸なコンパクト部分多様体を持つ${\displaystyle S}$そのため${\displaystyle M}$はの正規束と微分同相である${\displaystyle S}$⁠ .そのような${\displaystyle S}$は魂と呼ばれている${\displaystyle M}$特に、この定理は以下を意味する。${\displaystyle M}$その魂と相同である${\displaystyle S}$次元が以下${\displaystyle M}$。

• リーマン曲率テンソル
• リーマン多様体の曲率
• 曲率
• 正則断面曲率