ゲルハルト・ヒュイスケン

ゲルハルト・ヒュイスケン
ゲルハルト・ヒュイスケン
	2017年のゲルハルト・ヒュイスケン
生まれる	1958年5月20日（66歳）; ハンブルク、ドイツ
国籍	ドイツ語
母校	ハイデルベルク大学
知られている	Huisken の単調性公式
	科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	オーストラリア国立大学; テュービンゲン大学; マックスプランク重力物理学研究所; オーバーヴォルフアッハ数学研究所
論文	負の重力フェルダーンの定期的な管理 (1983)
博士課程の指導教員	クラウス・ゲルハルト
博士課程の学生	ベン・アンドリュース; サイモン・ブレンドル

ゲルハルト・ヒュイスケン（1958年5月20日生まれ）は、微分幾何学と偏微分方程式を研究するドイツの数学者。ヒュイスケンの単調性公式（ヒュイスケンの名にちなんで命名）など、平均曲率流理論への基礎的貢献で知られる。トム・イルマネンとともに、ヒュイスケンはリーマンのペンローズ不等式の一種を証明した。これは、一般相対性理論におけるより一般的なペンローズ予想の特殊なケースである。

教育とキャリア

1977年に高校を卒業した後、ヒュイスケンはハイデルベルク大学で数学を学びました。卒業から1年後の1982年、彼は同じ大学でクラウス・ゲルハルトの指導の下で博士号を取得しました。彼の博士論文のテーマは、非線形偏微分方程式（Reguläre Kapillarflächen in negativen Gravitationsfeldern）でした。

1983年から1984年まで、フイスケンはキャンベラのオーストラリア国立大学（ANU）の数理解析センターの研究員だった。そこで彼は微分幾何学、特に平均曲率フローの問題と一般相対性理論への応用に目を向けた。1985年にハイデルベルク大学に戻り、 1986年に博士号を取得した。カリフォルニア大学サンディエゴ校の客員教授を務めた後、1986年から1992年までANUに戻り、最初は講師として、その後は講師を務めた。1991年にはスタンフォード大学の客員教授を務めた。 1992年から2002年まで、フイスケンはテュービンゲン大学の教授を務め、1996年から1998年まで数学部の学部長を務めた。1999年から2000年まで、プリンストン大学の客員教授を務めた。

2002年、フイスケンはポツダムのマックス・プランク重力物理学研究所（アルベルト・アインシュタイン研究所）の所長となり、同時にベルリン自由大学の名誉教授となった。2013年4月、テュービンゲン大学の教授職を兼務しながら、オーバーヴォルフアッハ数学研究所の所長に就任。現在もマックス・プランク重力物理学研究所の外部研究員である。

ハイスケンの博士課程の学生には、ベン・アンドリュースやサイモン・ブレンドルなど25人以上がいます。

仕事

Huisken の研究は、偏微分方程式、微分幾何学、およびそれらの物理学への応用を扱っています。数理物理学と幾何学における数多くの現象は、表面と部分多様体に関連しています。Huisken の研究の主なテーマは、変形の規則が表面自体の幾何学によって決定される状況での、そのような表面の変形の研究でした。このようなプロセスは、偏微分方程式によって制御されます。

平均曲率フローに対する Huisken の貢献は特に重要です。彼の研究により、さまざまな凸設定における超曲面の平均曲率フローが広く理解されるようになりました。一般的な平均曲率フローに有効なHuisken の単調性公式の発見は、特に重要なツールです。

一般相対性理論の数学的研究において、ヒュースケンとトム・イルマネン（ETHチューリッヒ）は、リーマン・ペンローズ不等式の重要な特殊ケースを証明することができた。彼らの証明方法は、逆平均曲率フローにも決定的な貢献をした。ヒューバート・ブレイは後に、代替手法を用いて、彼らの結果のより一般的なバージョンを証明した。ブラックホールやローレンツ幾何学における見かけの地平線に関する予想の一般的なバージョンは、まだ未解決の問題である（2020年現在）。

リッチフロー

ハイスケンは、リチャード・ハミルトンの高次元におけるリッチフローに関する研究を検討した最初の著者の一人である。 ^[1] 1985年に、ハイスケンはハミルトンの解析の任意次元版を発表した。この版では、リッチ曲率の正値性に関するハミルトンの仮定が、定曲率への定量的な近さに置き換えられている。^{[H85]これは、}リッチ分解によって測定される。ハミルトンの主要な推定値のほとんどすべて、特にスカラー曲率の勾配推定値と固有値ピンチ推定値は、ハイスケンによって一般次元のコンテキストに取り入れられた。

数年後、クリストフ・ベームとブルクハルト・ウィルキングの新しい代数的アイデアにより、ヒュイスケンの収束定理の妥当性はより広い曲率条件にまで拡張されました。ベームとウィルキングの研究の主要な応用として、ブレンドルとリチャード・シェーンは、長い間推測されていた微分可能球面定理を特別なケースとして含むリッチフローの新しい収束定理を確立しました。

平均曲率フロー

ヒュースケンは、超曲面の平均曲率フローに関する基礎研究で広く知られている。1984年、彼はリッチフローに関するハミルトンの独創的な研究を平均曲率フローの設定に応用し、表面積を保存するフローの正規化により、ユークリッド空間の滑らかな凸型超曲面が丸い球に変形することを証明した。^{[H84]彼の研究とハミルトンの研究の主な違いは、ハミルトンの研究とは異なり、「ピンチ推定」の証明における関連方程式が}最大原理に従わないことである。代わりに、ヒュースケンは、分析家エンニオ・デ・ジョルジとグイド・スタンパッキアの以前の研究に従って、反復積分法を利用した。ハミルトンの結果と同様に、ヒュースケンの結果は、ユークリッド空間の任意の滑らかな閉じた凸超曲面が球に微分同相であり、球に微分同相である領域の境界であることを証明していると考えることができる。しかし、これらの結果は両方ともガウス写像の解析による初歩的なものである。

後に、Huisken は証明の計算を拡張し、一般のリーマン多様体の超曲面を考慮しました。^[H86]彼の結果によれば、超曲面がリーマン多様体の幾何学に対して十分に凸であれば、平均曲率フローによって点に収縮し、測地正規座標で表面積を正規化するとユークリッド空間の球面（座標で表される）が滑らかに変形します。これは、そのような超曲面が球面と微分同相であり、球面と微分同相であるリーマン多様体の領域の境界であることを示しています。この一般性では、ガウス写像を使った簡単な証明はありません。

1987 年、Huisken は、ユークリッド空間の閉じた超曲面に対する「平均曲率」駆動の代替フローを考慮するために彼の方法を適応させました。このフローでは、面によって囲まれた体積は一定に保たれます。結果は直接類似しています。^[H87]その後、Shing-Tung Yauとの共同作業により、この研究はリーマン設定に拡張されました。^[HY96] Huisken–Yau の対応する存在と収束の結果は、正の ADM 質量を持つ多様体の幾何学的現象、つまり、それらが一定の平均曲率の面によって葉状構造になっていることを示しています。対応する一意性の結果とともに、彼らはこの葉状構造を一般相対性理論における質量の中心の尺度として解釈しました。

指数関数で重み付けされたディリクレエネルギーを広範に使用した義賀義一とロバート・コーンの研究に続いて、ヒュイスケンは1990年にヒュイスケンの単調性公式として知られる積分恒等式を証明した。これは、平均曲率流の下では、進化する超曲面上の「逆方向」ユークリッド熱核の積分は常に非増加であることを示す。 ^[2]^[3]^{[H90]彼は後にこの公式を拡張し、「逆方向」}熱方程式の一般的な余次元と一般的な正の解を許容した。この一般性における単調性は、リチャード・ハミルトンの行列リー・ヤウ推定値を使用することが決定的である。^[H93]^[4]リーマン設定への拡張もハミルトンによって与えられた。^[5]ヒュイスケンとハミルトンのアイデアは後にグリゴリー・ペレルマンによって、リッチ流に沿った体積形式に対する「逆方向」熱方程式の設定に採用された。^[6]

Huisken と Klaus Ecker は、単調性の結果を繰り返し利用して、ユークリッド空間の非コンパクトなグラフィカル超曲面の特定のクラスでは、平均曲率フローがすべての正の時間に対して存在し、そのクラスの任意の表面を平均曲率フローの自己拡張解に変形することを示した。 ^{[EH89]このような解は、単一の超曲面の定数再スケーリングによってのみ移動します。}最大原理技術を使用して、彼らはまた、Wan-Xiong Shi が以前に Ricci フローに対して得たものとほぼ同等の、純粋に局所的な微分推定値を得ることができました。^[7]^[EH91]

平均曲率フローの有限時間特異点が与えられた場合、大きな曲率の点の近くの領域の局所形状を解析するために微視的再スケーリングを実行する方法はいくつかあります。Huiskenは、彼の単調性公式に基づいて、これらの領域の多く、特にタイプI特異点として知られる領域が、平均曲率フローの自己収縮解によって正確にモデル化されることを示しました。 ^[H90]

現在、平均曲率が厳密に正である超曲面のみを含む平均曲率フローの設定における再スケーリングプロセスは、かなり完全に理解されています。 Huisken による暫定的な研究に続いて、 Tobias ColdingとWilliam Minicozzi は、(いくつかの技術的条件付きで) 平均曲率が負でない平均曲率フローの自己収縮解は円柱のみであることを示し、これにより「平均凸」設定におけるタイプ I 特異点の完全な局所的図が得られます。^[H90]^[H93]^[8]タイプ II 特異点として知られるその他の特異領域の場合、Ricci Hamilton は平均曲率フローに移植可能な Ricci フローの設定における再スケーリング手法を開発しました。^[9] 1984年に開発した積分法を修正することで、HuiskenとCarlo Sinestrariは、第2基本形式の初等対称多項式に関する精巧な帰納的議論を行い、そのような再スケーリングから生じる任意の特異点モデルは、単一の凸超曲面をある方向に平行移動することによって移動する平均曲率フローでなければならないことを示した。^[HSS99a]^{[HS99b]平均凸性から完全凸性への移行は、閉じた3次元多様体上のリッチフローの任意の特異点モデルは非負の}断面曲率を持つ必要があるという、はるかに簡単なハミルトン-アイビーのリッチフロー推定と比較できます。

逆平均曲率フロー

1970年代に、物理学者のロバート・ジェロック、ポン・スー・ジャン、ロバート・ワルドは、漸近的に平坦な時空のエネルギーとそこに含まれるブラックホールの大きさを関連付けるペンローズ予想の妥当性と、逆平均曲率流の漸近挙動を結びつけるアイデアを開発しました。 ^[10]^{[11]これは、エネルギーが非負であるというより弱い主張を提供する}正のエネルギー定理を明確にしたり定量化したりしたものと見ることができます。

1990 年代には、ユン・ガン・チェン、義賀義一、後藤俊一、およびローレンス・エバンスとジョエル・スプラックがそれぞれ独立に、ある楕円型偏微分方程式の解の準位集合を考慮することにより、平均曲率フローの弱解の理論を展開した。^[12]^[13]トム・イルマネンは、より標準的な性質の楕円方程式による近似を介して、このような楕円方程式の理論の理解を進展させた。^[14] Huisken と Ilmanen は、これらの方法を逆平均曲率フローに適応させることができ、それによって Geroch、Jang、および Wald の方法論を数学的に正確なものにした。彼らの結果は、境界が最小である非負スカラー曲率の境界を持つ非コンパクトな 3 次元リーマン多様体を扱い、無限大付近の幾何学を最大境界成分の表面積に関連付けている。^[HI01]ヒューバート・ブレイは、逆平均曲率流の代わりに正の質量定理を利用することで、フイスケンとイルマネンの不等式を境界の全表面積を含むように改良することができた。^[15]

栄誉と賞

ホイスケンはハイデルベルク科学人文アカデミー、ベルリン・ブランデンブルク科学人文アカデミー、レオポルディーナ科学アカデミー、アメリカ数学会の会員である。^[16]

主な出版物

参考文献

^ リチャード・S・ハミルトン。正のリッチ曲率を持つ3次元多様体。微分幾何学ジャーナル17（1982）、第2号、255-306ページ。
^ 宜賀義一、ロバート V. コーン。半線形熱方程式の漸近的自己相似爆発。Comm. Pure Appl. Math. 38 (1985)、第3号、297–319ページ。
^ Yoshikazu Giga および Robert V. Kohn。類似性変数を使用したブローアップの特徴付け。インディアナ大学数学誌 36 (1987)、第 1 号、1–40 ページ。
^ Richard S. Hamilton. 熱方程式の行列ハルナック推定. Comm. Anal. Geom. 1 (1993), no. 1, 113–126.
^ Richard S. Hamilton. 多様体上の放物線流の単調性公式. Comm. Anal. Geom. 1 (1993), no. 1, 127–137.
^ Grisha Perelman. リッチフロー のエントロピー公式とその幾何学的応用。arXiv :math/0211159
^ Wan-Xiong Shi. 完全リーマン多様体上の計量の変形. J. Differential Geom. 30 (1989), no. 1, 223–301.
^ Tobias H. ColdingとWilliam P. Minicozzi、II. 一般的な平均曲率フローI：一般的な特異点。Ann. of Math. (2) 175 (2012)、第2号、755–833。
^ リチャード・S・ハミルトン。リッチフローにおける特異点の形成。微分幾何学調査第2巻（ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1993年）、7-136ページ。国際出版、ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1995年。
^ ロバート・ゲロック。エネルギー抽出。アン。ニューヨークアカデミー。科学。 224 (1973)、108–117。
^ Pong Soo JangとRobert M. Wald。正のエネルギー予想と宇宙検閲仮説。J. Mathematical Phys. 18 (1977)、第1号、41–44。
^ Yun Gang Chen、Yoshikazu Giga、Shun'ichi Goto。一般化平均曲率流れ方程式の粘性解の一意性と存在。J. Differential Geom. 33 (1991)、第3号、749–786。
^ LC EvansとJ. Spruck。平均曲率によるレベルセットの運動。IJ Differential Geom. 33 (1991)、第3号、635–681。
^ Tom Ilmanen. 楕円正則化と平均曲率による運動の部分正則性。Mem. Amer. Math. Soc. 108 (1994), no. 520, x+90 pp.
^ Hubert L. Bray. 正の質量定理を用いたリーマン・ペンローズ不等式の証明。J. Differential Geom. 59 (2001), no. 2, 177–267。
^ アメリカ数学会フェロー一覧、2013年7月7日閲覧。
^ Huisken, Gerhard (1998). 「リーマン多様体における曲率による超曲面の進化」Doc. Math. (ビーレフェルト) Extra Vol. ICM Berlin, 1998, vol. II . pp. 349–360.

外部リンク

ライプニッツ賞賛
ゴルム・ポツダムの重力物理学 MPI の Huisken のページ (英語)

[1] リチャード・S・ハミルトン。正のリッチ曲率を持つ3次元多様体。微分幾何学ジャーナル17（1982）、第2号、255-306ページ。

[2] 宜賀義一、ロバート V. コーン。半線形熱方程式の漸近的自己相似爆発。Comm. Pure Appl. Math. 38 (1985)、第3号、297–319ページ。

[3] Yoshikazu Giga および Robert V. Kohn。類似性変数を使用したブローアップの特徴付け。インディアナ大学数学誌 36 (1987)、第 1 号、1–40 ページ。

[4] Richard S. Hamilton. 熱方程式の行列ハルナック推定. Comm. Anal. Geom. 1 (1993), no. 1, 113–126.

[5] Richard S. Hamilton. 多様体上の放物線流の単調性公式. Comm. Anal. Geom. 1 (1993), no. 1, 127–137.

[6] ^ Grisha Perelman. リッチフロー のエントロピー公式とその幾何学的応用。arXiv :math/0211159

[7] Wan-Xiong Shi. 完全リーマン多様体上の計量の変形. J. Differential Geom. 30 (1989), no. 1, 223–301.

[8] Tobias H. ColdingとWilliam P. Minicozzi、II. 一般的な平均曲率フローI：一般的な特異点。Ann. of Math. (2) 175 (2012)、第2号、755–833。

[9] リチャード・S・ハミルトン。リッチフローにおける特異点の形成。微分幾何学調査第2巻（ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1993年）、7-136ページ。国際出版、ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1995年。

[10] ロバート・ゲロック。エネルギー抽出。アン。ニューヨークアカデミー。科学。 224 (1973)、108–117。

[11] Pong Soo JangとRobert M. Wald。正のエネルギー予想と宇宙検閲仮説。J. Mathematical Phys. 18 (1977)、第1号、41–44。

[12] Yun Gang Chen、Yoshikazu Giga、Shun'ichi Goto。一般化平均曲率流れ方程式の粘性解の一意性と存在。J. Differential Geom. 33 (1991)、第3号、749–786。

[13] LC EvansとJ. Spruck。平均曲率によるレベルセットの運動。IJ Differential Geom. 33 (1991)、第3号、635–681。

[14] Tom Ilmanen. 楕円正則化と平均曲率による運動の部分正則性。Mem. Amer. Math. Soc. 108 (1994), no. 520, x+90 pp.

[15] Hubert L. Bray. 正の質量定理を用いたリーマン・ペンローズ不等式の証明。J. Differential Geom. 59 (2001), no. 2, 177–267。

[16] アメリカ数学会フェロー一覧、2013年7月7日閲覧。

[17] Huisken, Gerhard (1998). 「リーマン多様体における曲率による超曲面の進化」Doc. Math. (ビーレフェルト) Extra Vol. ICM Berlin, 1998, vol. II . pp. 349–360.