曹淮東

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曹淮東（1959年11月8日、江蘇省生まれ）は、中国系アメリカ人の数学者。リーハイ大学のA.エヴェレット・ピッチャー数学教授。幾何学解析の分野におけるリッチフローに関する研究で知られている。

学歴

曹氏は1981年に清華大学で学士号を取得し、1986年にプリンストン大学でShing-Tung Yau氏の指導の下で博士号を取得した。^[要出典]

曹氏は、UCLA 純粋応用数学研究所 (IPAM) の元副所長です。MIT、ハーバード大学、アイザックニュートン研究所、マックスプランク研究所、IHES、ETH チューリッヒ、ピサ大学で客員教授を務めました。2003年からJournal of Differential Geometryの編集長を務めています。受賞歴は次のとおりです。

スローン研究フェローシップ（1991-1993）
グッゲンハイムフェローシップ（2004）
中国国家自然科学基金より優秀海外若手研究者賞受賞（2005年）

数学的貢献

ケーラー・リッチ流

1982年、リチャード・S・ハミルトンはリッチフローを導入し、3次元多様体の幾何学に関する劇的な新定理を証明した。^[1]シン・トン・ヤウのもとで博士課程の研究を始めたばかりのカオは、ケーラー多様体の設定でリッチフローの研究を始めた。1985年に出版された彼の博士論文では、カラビ予想の解決におけるヤウの推定値をケーラー・リッチフローのコンテキストに修正することで、ハミルトンの元の結果に似た収束定理を証明できることを示した。^{[2]これはまた、カラビ予想の証明におけるヤウの}連続性の方法に代わる放物線の代替手段を提供したが、証明の技術的な作業の多くは同様である。

ペレルマンのリッチフローに関する研究

リッチフローはウィリアム・サーストンの幾何化予想を証明するのに使えるというヤウの示唆を受けて、ハミルトンはその後20年かけてこの理論を展開した。2002年と2003年に、グリシャ・ペレルマンは2つの論文をarXivに投稿し、その中でリッチフローを介して幾何化予想の証明を提示したと主張した。^[3]^{[4]さらに、彼は3つ目の論文を投稿し、有名な}ポアンカレ予想の証明への近道を示したが、これには2つ目の論文の後半の結果は不要だった。^[5]ペレルマンの論文はリッチフローの理論における注目すべき新しい結果を与えるものとしてすぐに認識されたが、多くの数学者は彼の研究のいくつかの異常に複雑または簡潔な部分の技術的詳細を完全に理解することはできなかった。

イェール大学のブルース・クライナーとミシガン大学のジョン・ロットは、2003年にペレルマンの最初の2つの論文の注釈をウェブに投稿し始め、その後数年間にわたって追加と修正を行った。この作業の結果は2008年に学術雑誌に掲載された。^[6]曹は中山大学の朱希平と共同で、2006年にハミルトンの研究とペレルマンの最初の2つの論文の解説書を出版し、幾何解析に関する数学文献の文脈で説明した。コロンビア大学のジョン・モーガンとプリンストン大学のガン・ティエンは、 2007年にペレルマンの最初の論文と3番目の論文、および2番目の論文の前半に関する本を出版し、後にペレルマンの2番目の論文の後半に関する2冊目の本を出版した。^[7]^[8]

曹と朱の論文の要約にはこう記されている。

この論文では、ポアンカレ予想と幾何化予想の完全な証明を示します。この研究は、過去 30 年間の多くの幾何学的分析家の蓄積された研究に基づいています。この証明は、リッチフローのハミルトン-ペレルマン理論の最高の成果と見なされるべきです。

導入部から

この論文では、リッチフローのハミルトン-ペレルマン理論を紹介します。これに基づいて、ポアンカレ予想とサーストンの幾何学化予想の完全な証明を初めて文書で説明します。この完全な研究は多くの幾何学的分析家の努力の集大成ですが、主な貢献者は間違いなくハミルトンとペレルマンです。

曹と朱は論文の価値を誇張しすぎていると感じた観察者もいた。さらに、曹と朱の論文の数ページがクライナーとロットの論文と類似していることが判明し、盗作の疑いがかけられた。曹と朱は、2003年にクライナーとロットの初期の投稿からペレルマンの研究のその部分についてメモを取っていたが、2005年に論文を書いたときには偶然の見落としでメモの出典に気づかなかったと述べた。^[9]彼らは2006年12月に論文の改訂版をarXivに公開した。^[10]

勾配リッチソリトン

勾配リッチソリトンは、リーマン多様体 $(M 、 g)と、$ $Ric$ $g$ $+ Hess$ $g$ $f が$ $g$ の定数倍となるような $M$ 上の関数 $f$ から構成される。 $M が$ 複素構造を持ち、 $gが$ ケーラー計量であり、 $f$ の勾配が正則ベクトル場であるという特殊なケースでは、勾配ケーラー・リッチソリトンが存在する。リッチソリトンは、 $f$ $= 0$ の場合に対応するアインシュタイン計量の一般化と見なされることがある。リッチフロー理論に対する勾配リッチソリトンの重要性は、ハミルトンが1995年に発表した影響力のある論文で初めて認識された。^[11]ペレルマンの解析では、定数倍が正である勾配リッチソリトンが特に重要であり、これらは勾配縮小リッチソリトンと呼ばれる。2010年の Cao によるリッチソリトンに関する調査は広く引用されている。

1996 年、Cao は回転対称性の仮定の下で勾配ケーラー・リッチソリトンを研究し、リッチソリトン方程式がODE 解析に簡約されることを示した。彼は、すべての正の $n$ に対して、回転対称で完全かつ正に曲がっている勾配定常ケーラー・リッチソリトンが存在することを示した $。n が$ 1 に等しい場合、これはハミルトンの葉巻ソリトンを回復する。Cao はまた、完全かつ回転対称で非負に曲がっている複素射影空間上の標準バンドルの全空間上に勾配定常ケーラー・リッチソリトンが存在することも示した。彼は、複素射影空間上の特定の直線バンドルの射影化上の勾配収縮ケーラー・リッチソリトンの閉じた例を構築した。これらの例は、小磯紀人によって独立に検討された。^[12]曹と小磯の仮説は、ミハイル・フェルドマン、トム・イルマネン、ダン・ノップフによる影響力のある論文でさらに推し進められ、曹、小磯、フェルドマン・イルマネン・ノップフの例は2011年にアンドリュー・ダンサーとマッケンジー・ワンによって統合され拡張されました。^[13]^[14] $\mathbb {C} ^{n}$

ペレルマンの議論を利用して、Cao と Detang Zhou は、完全勾配縮小リッチソリトンがガウス特性を持つことを示しました。つまり、 $M$ の任意の点 $p$ に対して、関数 $fは$ $p$ までの距離関数の 2 乗で増加する必要があります。さらに、 $p$ の周りの測地線球の体積は、その半径とともに最大で多項式で増加します。これらの推定により、完全勾配縮小リッチソリトンに関する多くの積分解析が可能になり、特に $e$ $-$ $f を$ 重み関数として使用できるようになります。

主な出版物

Cao, Huai Dong (1985). 「コンパクトケーラー多様体上のケーラー計量のケーラー・アインシュタイン計量への変形」Inventiones Mathematicae . 81 (2): 359–372. doi :10.1007/BF01389058. MR 0799272. Zbl 0574.53042.
Cao, Huai-Dong (1996)。「勾配ケーラー・リッチ・ソリトンの存在」。Chow, Ben、Gulliver, Robert、Levy, Silvio、Sullivan, John (編)。幾何学における楕円および放物線法。ミネソタ大学 (ミネソタ州ミネアポリス) で 1994 年 5月 23 ～ 27 日に開催されたワークショップ。マサチューセッツ州ウェルズリー: AK Peters, Ltd.。pp . 1 ～ 16。arXiv : 1203.4794。doi : 10.1201 /9781439864517。MR 1417944。Zbl 0868.58047 。
Cao, Huai-Dong (2010)。「Ricci ソリトンに関する最近の進歩」。Lee, Yng-Ing、Lin, Chang-Shou、Tsui, Mao-Pei (編)。「幾何学的解析の最近の進歩」 。台湾大学台北校で開催された国際幾何学的解析会議 (2007 年 6 月 18 ～ 22 日) 。Advanced Lectures in Mathematics。第 11 巻。マサチューセッツ州サマービル: International Press。pp. 1 ～ 38。arXiv : 0908.2006。MR 2648937。Zbl 1201.53046 。
Cao, Huai-Dong; Zhou, Detang (2010). 「完全な勾配収縮リッチソリトンについて」. Journal of Differential Geometry . 85 (2): 175–185. arXiv : 0903.3932 . doi : 10.4310/jdg/1287580963 . MR 2732975. Zbl 1246.53051.
Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping (2006). 「ポアンカレ予想と幾何化予想の完全な証明 - リッチフローのハミルトン-ペレルマン理論の応用」. Asian Journal of Mathematics . 10 (2): 165–492. doi : 10.4310/ajm.2006.v10.n2.a2 . MR 2233789. Zbl 1200.53057.
– – (2006). 「訂正」.アジア数学ジャーナル. 10 (4): 663–664. doi : 10.4310/AJM.2006.v10.n4.e2 . MR 2282358.
– – (2006). 「ハミルトン・ペレルマンのポアンカレ予想と幾何化予想の証明」arXiv : math/0612069。

参考文献

^ ハミルトン、リチャードS. 正のリッチ曲率を持つ3次元多様体。微分幾何学ジャーナル17（1982）、第2号、255-306ページ。
^ Yau, Shing Tung. コンパクトケーラー多様体のリッチ曲率と複素モンジュ・アンペール方程式について。I. Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), no. 3, 339–411。
^ペレルマン、グリシャ。リッチフロー のエントロピー公式とその幾何学的応用。arXiv :math/0211159
^ ペレルマン、グリシャ。3次元多様体上の手術によるリッチフロー。arXiv : math/0303109
^ ペレルマン、グリシャ。特定の 3 次元多様体上のリッチフローの解の有限消滅時間。arXiv : math/0307245
^ クライナー、ブルース、ロット、ジョン。ペレルマンの論文に関するメモ。地理学トポル。12（2008）、第5号、2587–2855。
^ モーガン、ジョン、ティアン、ギャング。リッチフローとポアンカレ予想。クレイ数学モノグラフ、3。アメリカ数学協会、ロードアイランド州プロビデンス、クレイ数学研究所、マサチューセッツ州ケンブリッジ、2007年。xlii+521 pp. ISBN 978-0-8218-4328-4
^ モーガン、ジョン、ティアン、ギャング。幾何学化予想。クレイ数学モノグラフ、5。アメリカ数学協会、プロビデンス、ロードアイランド州、クレイ数学研究所、ケンブリッジ、マサチューセッツ州、2014年。x+291 pp。ISBN 978-0-8218-5201-9
^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. 「ポアンカレ予想と幾何化予想の完全な証明 - リッチフローのハミルトン-ペレルマン理論の応用」に対する訂正 [Asian J. Math. 10 (2006), no. 2, 165–492]。Asian J. Math. 10 (2006), no. 4, 663。
^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. ハミルトン-ペレルマンのポアンカレ予想と幾何化予想の証明。arXiv : math/0612069
^ ハミルトン、リチャードS. リッチフローにおける特異点の形成。微分幾何学の調査、第2巻（ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1993年）、7-136、国際出版、ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1995年。
^ 小磯則人. ケーラー・アインシュタイン計量に対する回転対称ハミルトン方程式について. 微分幾何学と解析幾何学の最近の話題, 327–337, Adv. Stud. Pure Math., 18-I, Academic Press, ボストン, MA, 1990.
^ Feldman, Mikhail; Ilmanen, Tom; Knopf, Dan. 回転対称な収縮および膨張勾配ケーラー・リッチソリトン。J. Differential Geom. 65 (2003), no. 2, 169–209。
^ ダンサー、アンドリュー S.; ワン、マッケンジー Y. 均質性 1 のリッチソリトンについて。Ann. Global Anal. Geom. 39 (2011)、第 3 号、259–292。

[1] ハミルトン、リチャードS. 正のリッチ曲率を持つ3次元多様体。微分幾何学ジャーナル17（1982）、第2号、255-306ページ。

[2] Yau, Shing Tung. コンパクトケーラー多様体のリッチ曲率と複素モンジュ・アンペール方程式について。I. Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), no. 3, 339–411。

[3] ^ペレルマン、グリシャ。リッチフロー のエントロピー公式とその幾何学的応用。arXiv :math/0211159

[4] ペレルマン、グリシャ。3次元多様体上の手術によるリッチフロー。arXiv : math/0303109

[5] ペレルマン、グリシャ。特定の 3 次元多様体上のリッチフローの解の有限消滅時間。arXiv : math/0307245

[6] クライナー、ブルース、ロット、ジョン。ペレルマンの論文に関するメモ。地理学トポル。12（2008）、第5号、2587–2855。

[7] モーガン、ジョン、ティアン、ギャング。リッチフローとポアンカレ予想。クレイ数学モノグラフ、3。アメリカ数学協会、ロードアイランド州プロビデンス、クレイ数学研究所、マサチューセッツ州ケンブリッジ、2007年。xlii+521 pp. ISBN 978-0-8218-4328-4

[8] モーガン、ジョン、ティアン、ギャング。幾何学化予想。クレイ数学モノグラフ、5。アメリカ数学協会、プロビデンス、ロードアイランド州、クレイ数学研究所、ケンブリッジ、マサチューセッツ州、2014年。x+291 pp。ISBN 978-0-8218-5201-9

[9] Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. 「ポアンカレ予想と幾何化予想の完全な証明 - リッチフローのハミルトン-ペレルマン理論の応用」に対する訂正 [Asian J. Math. 10 (2006), no. 2, 165–492]。Asian J. Math. 10 (2006), no. 4, 663。

[10] Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. ハミルトン-ペレルマンのポアンカレ予想と幾何化予想の証明。arXiv : math/0612069

[11] ハミルトン、リチャードS. リッチフローにおける特異点の形成。微分幾何学の調査、第2巻（ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1993年）、7-136、国際出版、ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1995年。

[12] 小磯則人. ケーラー・アインシュタイン計量に対する回転対称ハミルトン方程式について. 微分幾何学と解析幾何学の最近の話題, 327–337, Adv. Stud. Pure Math., 18-I, Academic Press, ボストン, MA, 1990.

[13] Feldman, Mikhail; Ilmanen, Tom; Knopf, Dan. 回転対称な収縮および膨張勾配ケーラー・リッチソリトン。J. Differential Geom. 65 (2003), no. 2, 169–209。

[14] ダンサー、アンドリュー S.; ワン、マッケンジー Y. 均質性 1 のリッチソリトンについて。Ann. Global Anal. Geom. 39 (2011)、第 3 号、259–292。