複素射影平面

数学では、複素射影平面は通常 と表記される。${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$または​​${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2},}$は2次元複素射影空間です。これは、3つの複素座標で記述される、複素次元2の複素多様体です。

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\neq (0,0,0)}$

ただし、全体的なスケーリングが異なるトリプルが特定される。

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\lambda Z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.}$

つまり、これらは射影幾何学の伝統的な意味での同次座標である。

複素射影平面のベッチ数は

1、0、1、0、1、0、0、.....

中間次元2は、平面内にある複素射影直線、すなわちリーマン球面のホモロジー類によって説明される。複素射影平面の非自明なホモトピー群は次の通りである。${\displaystyle \pi _{2}=\pi _{5}=\mathbb {Z} }$基本群は自明であり、他のすべての高次のホモトピー群は5次元球面のホモトピー群、すなわちねじれ群である。

双有理幾何学において、複素有理曲面とは、複素射影平面と双有理的に同値な任意の代数曲面のことである。任意の非特異有理多様体は、曲線のブローアップ変換とその逆変換（「ブローダウン」）のシーケンスによって平面から得られることが知られており、これらの曲線は非常に特殊なタイプでなければならない。特殊な場合として、複素平面における非特異複素二次曲面は、${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$は、平面上の2点を曲線に拡大し、次にこれら2点を通る直線に沿って拡大することによって得られます。この変換の逆は、二次曲面Q上の点Pを取り、それを拡大し、一般の平面に投影することによって見ることができます。${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$Pを通る線を引くことによって。

複素射影平面の双有理自己同型群はクレモナ群である。

リーマン多様体として、複素射影平面は、断面曲率が 1/4 にピンチされるが厳密にはそうではない 4 次元多様体である。つまり、両方の境界に達するため、球定理が要求する球体になることを回避している。対立する正規化は、曲率が 1/4 から 1 の間、または 1 から 4 の間でピンチされるものである。前者の正規化に関して、複素射影直線によって定義される埋め込み曲面のガウス曲率は1 である。後者の正規化に関して、埋め込まれた実射影平面のガウス曲率は 1 である。

リーマンテンソルとリッチテンソルの明示的な証明は、フビニ・スタディ計量に関する記事のn =2のサブセクションで示されています。

• 無限遠にある円形の点
• デル・ペッツォ表面
• トーリック幾何学
• 偽の投影面

• CE Springer (1964)射影空間の幾何学と解析、140～143ページ、WH Freeman and Company。