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微分幾何学において、ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられたミンコフスキー問題は、ガウス曲率が指定された厳密に凸なコンパクト曲面Sの構成を求める問題である。[ 1 ]より正確には、この問題への入力は球面上で定義された厳密に正の実関数ƒであり、構築されるべき曲面は点xにおいてガウス曲率ƒ ( n ( x )) を持つべきである。ここでn ( x ) はxにおけるSの法線を表す。 エウジェニオ・カラビは次のように述べている。「幾何学的観点から見ると、ミンコフスキー問題はロゼッタストーンであり、そこからいくつかの関連する問題を解決することができる。」[ 2 ]
一般的に、ミンコフスキー問題は、単位球面S n-1上の非負のボレル測度が凸体の表面積測度となるための必要十分条件を問うものである。ここで、凸体 K の表面積尺度S Kは、ガウス写像によってKの境界に制限された(n-1)次元ハウスドルフ尺度のプッシュフォワードです。ミンコフスキー問題は、ヘルマン・ミンコフスキー、アレクサンドル・ダニロヴィチ・アレクサンドロフ、ヴェルナー・フェンシェル、ボルゲ・イェッセンによって解決されました。[ 3 ]単位球上のボレル尺度μが凸体の表面積尺度となるのは、μ の重心が原点にあり、大きな部分球に集中していない場合のみです。凸体は、並進を除いてμによって一意に決定されます。
ミンコフスキー問題は、その明確な幾何学的起源にもかかわらず、多くの場面で現れることがわかっています。無線測位の問題は、ユークリッド3次元空間におけるミンコフスキー問題、すなわち与えられたガウス曲率上の凸形状の復元問題に容易に帰着します。短波回折の逆問題もミンコフスキー問題に帰着します。ミンコフスキー問題は、回折の数学理論だけでなく、回折の物理理論の基礎となっています。
1953年、ルイス・ニーレンバーグは、ユークリッド3次元空間におけるワイル問題とミンコフスキー問題という、長年未解決であった2つの問題の解を発表した。ニーレンバーグによるミンコフスキー問題の解は、世界幾何学における画期的な出来事であった。彼は、非線形楕円型偏微分方程式の現代理論の定式化、特にユークリッド3次元空間におけるワイル問題とミンコフスキー問題の解決における役割により、2010年に最初のチャーン・メダル受賞者に選ばれた。[ 4 ]
AV ポゴレロフは、ユークリッド空間における多次元ミンコフスキー問題を解決した功績により、ウクライナ国家賞（1973年）を受賞した。ポゴレロフは1969年にリーマン空間におけるワイル問題を解決した。 [ 5 ]
Shing-Tung YauとShiu-Yuen Chengの共同研究により、ユークリッド空間における高次元ミンコフスキー問題の完全な証明が得られました。Shing-Tung Yau は、 1982 年にワルシャワで開催された国際数学者会議で、グローバル微分幾何学と楕円型偏微分方程式の研究、特に 1954 年のカラビ予想や、実モンジュ・アンペール方程式のディリクレ問題に関するユークリッド空間におけるヘルマン・ミンコフスキーの問題などの難問を解決した功績により、フィールズ賞を受賞しました。[ 6 ]
