幾何学的測度論

ガウス写像を考えてみましょう。これは、滑らかな曲面上の各点を、その局所接平面に直交する単位ベクトルに写像します。これを一般化することができます。${\displaystyle K}$閉じた面である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$原点を含み、凸領域を囲む各点${\displaystyle K}$1つ以上のローカルサポートプレーンがあります。${\displaystyle z\in K}$、 定義する${\displaystyle N_{K}(z)}$すべてのローカルサポート平面に対する直交方向の集合となる${\displaystyle K}$で${\displaystyle z}$。

ここで、多価ガウス写像を定義する。${\displaystyle G_{K}:\mathbb {S} ^{n-1}\to \mathbb {S} ^{n-1}}$定義される$${\displaystyle G_{K}(x)=N_{K}(\rho (x)x)}$$どこ${\displaystyle \rho (x)x}$光線の交点${\displaystyle 0\to x}$と${\displaystyle K}$このマップは、均一な尺度をマッピングします。${\displaystyle \mu }$の上${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$別の尺度に${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$による$${\displaystyle \mu _{K}(E):=\mu (G_{K}(E))}$$任意のボレル集合に対して。これは、に関連付けられたガウス曲率尺度です。${\displaystyle K}$これは任意のボレル測度です${\displaystyle K}$。

これは逆問題を誘発する。球面上のボレル測度が与えられたとき、それはガウス曲率測度となるか？アレクサンドロフは以下を示した。^{[ 1 ]：定理2.21}

• ボレル測度が与えられた場合${\displaystyle \nu }$そういうものもいくつか存在する${\displaystyle K}$そのため${\displaystyle \nu =\mu _{K}}$もし$${\displaystyle {\begin{cases}v\left(\mathbb {S} ^{n-1}\right)={\mathcal {H}}^{n-1}\left(\mathbb {S} ^{n-1}\right)\\v\left(\mathbb {S} ^{n-1}\backslash \omega \right)>{\mathcal {H}}^{n-1}\left(\omega ^{*}\right),\;\;\forall \omega \subseteq \mathbb {S} ^{n-1}{\text{ compact and convex. }}\end{cases}}}$$
• もしそのような${\displaystyle K}$存在すれば、それは膨張を除いて一意である。

そのような${\displaystyle K}$次のように構築できます: 近似${\displaystyle \nu }$点質量測度の列の弱極限として。それぞれは多面体のガウス曲率測度であり、多面体の列はに収束する。${\displaystyle K}$。

もし${\displaystyle \mu _{K}}$（ラドン・ニコディム微分という意味で）有界な確率密度関数を持つ。$${\displaystyle {\frac {d\mu _{K}}{d\mu }}(y)=\rho (y),\quad \rho$$ :\mathbb {S} ^{n-1}\to [0,c]} ならば${\displaystyle K}$連続微分可能である（すなわち、その接平面は一意であり、表面上で連続的に変化する）。^{[ 1 ]：定理2.22}

同様に、表面積の尺度を定義します。${\displaystyle K}$による$${\displaystyle \nu _{K}(E):=\mu (N_{K}^{-1}(E))}$$任意のボレル集合に対して。これは任意のボレル測度です。${\displaystyle K}$これは次のような直感的なイメージで捉えることができます。開集合を考えてみましょう。${\displaystyle U\subset \mathbb {S} ^{n-1}}$単一の連続した境界を持つ${\displaystyle \partial U}$.それぞれについて${\displaystyle {\hat {n}}\in \partial U}$支持面を生成する${\displaystyle K}$垂直に${\displaystyle {\hat {n}}}$。 として${\displaystyle {\hat {n}}}$走る${\displaystyle \partial U}$支持面が全体に擦れる${\displaystyle K}$そして接触点が${\displaystyle (n-2)}$次元の閉部分集合${\displaystyle K}$を囲む${\displaystyle (n-1)}$次元領域${\displaystyle K}$。 それから${\displaystyle \nu _{K}(U)}$それがその尺度である。

例えば、${\displaystyle K}$辺の長さが の長方形です${\displaystyle 2a,2b}$飛行機の中で、それから${\displaystyle \mu _{K}}$4つの等しい点質量測定値の合計です$${\displaystyle {\frac {1}{4}}(\delta _{(a,b)/{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\delta _{(-a,b)/{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\delta _{(a,-b)/{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\delta _{(-a,-b)/{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})}$$しかし${\displaystyle \nu _{K}}$4つの点質量測定値の合計です${\displaystyle 2b\delta _{(1,0)}+2b\delta _{(-1,0)}+2a\delta _{(0,1)}+2a\delta _{(0,-1)}}$。

凸関数が与えられた場合${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$どこ${\displaystyle \Omega }$は、の開部分集合である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$関連するモンジュ・アンペール測度${\displaystyle \mu _{u}}$の上${\displaystyle \Omega }$は次のように定義される。${\displaystyle \mu _{u}(E):=\mu (\cap _{x\in \Omega }\partial u(x))}$、 どこ${\displaystyle \partial }$は劣微分関数であり、${\displaystyle \mu }$ルベーグ尺度は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これは、モンジュ・アンペール方程式の弱解の研究に応用される。これは非負で局所的に有限なボレル測度である。^{[ 1 ]：第2.1節}