SYZ予想

ストロミンガー・ヤウ・ザスロー（SYZ）予想は、理論物理学と数学の問題である鏡面対称性予想を理解しようとする試みである。この予想は、 1996年にアンドリュー・ストロミンガー、シン・トゥン・ヤウ、エリック・ザスローによって最初に提唱された。^{[ 1 ]}

ホモロジー的鏡面対称性予想と並んで、SYZ予想は鏡面対称性を数学的に理解するために用いられる最も研究されている手法の一つである。ホモロジー的鏡面対称性はホモロジー代数に基づいているが、SYZ予想は鏡面対称性の幾何学的実現である。

弦理論において、ミラー対称性はタイプIIA理論とタイプIIB理論を関連付ける。ミラー対称性によれば、タイプIIAとタイプIIBの理論がミラーペア多様体上でコンパクト化されると、その有効場理論は同じになるはずである。

SYZ予想はこの事実を利用して鏡面対称性を実現します。これは、 X上でコンパクト化されたIIA型理論のBPS状態、特にモジュライ空間がXである0ブレーンを考慮することから始まります。Y上でコンパクト化されたIIB型理論のBPS状態はすべて3ブレーンであることが知られています。したがって、鏡面対称性によって、IIA型理論の0ブレーンはIIB型理論の3ブレーンの部分集合に写像されます。

超対称条件を考慮すると、これらの 3-ブレーンは特別なラグランジュ部分多様体であるべきであることが示されています。^{[ 2 ] [ 3 ]}一方、T-双対性はこの場合も同じ変換を行うため、「鏡面対称性はT-双対性である」と言えます。

ストロミンガー、ヤウ、ザスローによるSYZ予想の最初の提案は、厳密な数学的記述として与えられたものではありませんでした。^{[ 1 ]} SYZ予想の数学的解決の一部は、ある意味で、予想自体の記述を正しく定式化することです。数学文献の中で、予想の正確な記述について合意されたものはありませんが、予想の正しい定式化に近いと予想される一般的な記述があり、ここで提示します。^{[ 4 ] [ 5 ]}この記述は、鏡面対称性の位相的描像を強調していますが、鏡面対の複素構造とシンプレクティック構造の関係を正確に特徴付けたり、関連するリーマン計量に言及したりしていません。

SYZ予想：すべての6次元カラビ・ヤウ多様体${\displaystyle X}$鏡像となる6次元カラビ・ヤウ多様体を持つ${\displaystyle {\hat {X}}}$連続全射が存在する${\displaystyle f:X\to B}$、${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {X}}\to B}$コンパクトな位相多様体へ${\displaystyle B}$次元が3で、

1. 稠密な開部分集合が存在する${\displaystyle B_{\text{reg}}\subset B}$地図には${\displaystyle f,{\hat {f}}}$非特異な特殊ラグランジュ3トーラスによるファイブレーションである。さらに、すべての点に対して${\displaystyle b\in B_{\text{reg}}}$トーラス繊維${\displaystyle f^{-1}(b)}$そして${\displaystyle {\hat {f}}^{-1}(b)}$アーベル多様体の双対性と同様に、何らかの意味で互いに双対であるべきである。
2. 各${\displaystyle b\in B\backslash B_{\text{reg}}}$繊維${\displaystyle f^{-1}(b)}$そして${\displaystyle {\hat {f}}^{-1}(b)}$特異な 3 次元特殊ラグランジュ部分多様体であるべきである${\displaystyle X}$そして${\displaystyle {\hat {X}}}$それぞれ。

状況が${\displaystyle B_{\text{reg}}=B}$特異点が存在しない状態は、SYZ予想の半平坦極限と呼ばれ、トーラスファイブレーションを記述するためのモデル状況としてよく用いられます。SYZ予想は、例えば楕円曲線によってファイバー化されたアーベル多様体やK3曲面など、いくつかの単純な半平坦極限の場合に成立することが示されています。

SYZ予想の正しい定式化は、上記の記述とは多少異なると予想される。例えば、特異集合の振る舞いは${\displaystyle B\backslash B_{\text{reg}}}$はよく理解されておらず、このセットは と比較してかなり大きい可能性がある。${\displaystyle B}$ミラー対称性は、単一のカラビ・ヤウ多様体ではなく、退化するカラビ・ヤウ多様体の族という観点から表現されることが多く、SYZ予想はこの言葉でより正確に再定式化されると予想される。^{[ 4 ]}

SYZ ミラー対称性予想は、ミラー カラビ・ヤウ多様体のホッジ数を関連付ける元のミラー対称性予想の可能な改良の 1 つです。もう 1 つは、コンツェビッチのホモロジー的ミラー対称性予想(HMS 予想) です。これら 2 つの予想は、ミラー対称性の予測を異なる方法でエンコードしています。ホモロジー的ミラー対称性は代数的方法で、SYZ 予想は幾何学的方法でエンコードしています。^{[ 6 ]}

鏡面対称性のこれら３つの解釈の間には関係があるはずだが、それらが同等であるべきなのか、あるいは一方の提案が他方よりも強いのかはまだ分かっていない。特定の仮定の下で、相同鏡面対称性がホッジ理論鏡面対称性を意味することを示す方向で進展が見られている。^{[ 7 ]}

しかしながら、単純な設定においては、SYZ予想とHMS予想を関連付ける明確な方法が存在する。HMS予想の重要な特徴は、鏡像幾何空間上の対象（部分多様体または層）を関連付けている点にある。したがって、HMS予想を理解したり証明したりするために必要な入力には、鏡像幾何空間のペアが含まれる。SYZ予想は、これらの鏡像ペアがどのように生じるかを予測しており、SYZ鏡像ペアが見つかった場合はいつでも、そのペア上でHMS予想を証明しようとするのに適した候補となる。

SYZ予想とHMS予想を関連付けるには、半平坦極限で作業するのが便利である。ラグランジュトーラスファイブレーションのペアの重要な幾何学的特徴は${\displaystyle X,{\hat {X}}\to B}$鏡面対称性を符号化しているのは、ファイブレーションの双対トーラスファイバーである。ラグランジュトーラスが与えられた場合${\displaystyle T\subset X}$双対トーラスはヤコビ多様体によって与えられる。${\displaystyle T}$、と表記される${\displaystyle {\hat {T}}=\mathrm {Jac} (T)}$これはまた同じ次元のトーラスであり、双対性は次の事実に符号化されている。${\displaystyle \mathrm {Jac} (\mathrm {Jac} (T))=T}$それで${\displaystyle T}$そして${\displaystyle {\hat {T}}}$ヤコビアン多様体は、この構成の下では確かに双対である。${\displaystyle {\hat {T}}}$線束のモジュライ空間として重要な解釈を持つ${\displaystyle T}$。

この双対性と、双対トーラスを元のトーラス上の層のモジュライ空間として解釈することによって、部分多様体と部分層のデータを交換することが可能になる。この現象の簡単な例を2つ挙げる。

• もし${\displaystyle p\in X}$ある繊維の内部にある点${\displaystyle p\in T\subset X}$特別なラグランジュトーラスファイブレーションの場合、${\displaystyle T=\mathrm {Jac} ({\hat {T}})}$その点${\displaystyle p}$ラインバンドルに対応し、${\displaystyle {\hat {T}}\subset {\hat {X}}}$ラグランジュ断面を選択した場合${\displaystyle s:B\to X}$そのため${\displaystyle s(B)=L}$はラグランジュ部分多様体である${\displaystyle X}$すると、まさに${\displaystyle s}$SYZファイブレーションの各トーラスファイバー内の1点を選択する。このラグランジュ断面は、ミラー多様体の各トーラスファイバー上に支持される線束構造の選択と鏡像双対である。${\displaystyle {\hat {X}}}$結果として、全空間上の線束は${\displaystyle {\hat {X}}}$これは、ミラー多様体の導来圏に現れる連接層の最も単純な例である。ミラートーラスファイブレーションが半平坦極限にない場合、基底の特異集合を横断する際には特別な注意が必要である。${\displaystyle B}$。

• ラグランジュ部分多様体の別の例としては、トーラスファイバー自体があり、トーラス全体をラグランジュ部分多様体とすると、${\displaystyle T\subset X}$ホモロジー的鏡面対称性においてしばしば必要とされるように、その上に平坦なユニタリー線束のデータを追加すると、双対トーラスでは${\displaystyle {\hat {T}}\subset {\hat {X}}}$これは、トーラス上の線束を表す単一の点に対応します。双対トーラスのその点に支えられた超高層束を取ると、 SYZ ファイブレーションのトーラス ファイバーが、ミラー トーラス ファイバーの点に支えられた超高層束に送られることがわかります。

これら２つの例は、最も極端な種類の連接層、すなわち局所自由層（ランク１）と点上に支持されたねじれ層を生成する。より注意深く構成することで、ねじれ濾過を用いて連接層を構築するのと同様に、より複雑な連接層の例を構築することができる。簡単な例として、ラグランジュ多重切断（ k個のラグランジュ切断の和集合）は、鏡面多様体上のランクkのベクトル束と鏡面双対であるべきであるが、グロモフ・ウィッテン理論の意味で多重切断によって境界付けられる正則円盤を数えることによってインスタントン補正を考慮するように注意しなければならない。このようにして、列挙幾何学は、鏡面対称性が双対オブジェクトをどのように交換するかを理解する上で重要になる。

SYZ予想におけるミラーファイブレーションの幾何学と、列挙不変量および基底の特異集合の構造に関する詳細な理解を組み合わせることにより、${\displaystyle B}$ファイブレーションの幾何学を利用して、ラグランジュ部分多様体から圏の同型を構築することが可能です。${\displaystyle X}$一貫性のある束へ${\displaystyle {\hat {X}}}$地図${\displaystyle \mathrm {Fuk} (X)\to \mathrm {D} ^{b}\mathrm {Coh} ({\hat {X}})}$トーラスファイブレーションの双対性を用いてこの議論を逆方向に繰り返すことで、同様にコヒーレント層を理解することができる。${\displaystyle X}$ラグランジュ部分多様体の観点から${\displaystyle {\hat {X}}}$そして、HMS予想がSYZ予想とどのように関連しているかを完全に理解したいと考えている。