擬似凸性

数学、より正確には、多元複素関数の理論において、擬凸集合は、 n次元複素空間C ⁿ内の特別な種類の開集合です。擬凸集合は、正則化の領域の分類を可能にするため重要です。

させて

${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

は、開 連結な 部分集合である。 が擬凸（またはハートッグ擬凸）であるとは、上の連続多元調和関数が存在し、その集合 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \{z\in G\mid \varphi (z)<x\}}$

は、すべての 実数に対して の比較的コンパクトな部分集合です。言い換えると、領域が連続的な多元調和関数を持つ場合、その領域は擬凸です。すべての（幾何学的に）凸集合は擬凸です。ただし、幾何学的に凸ではない擬凸領域も存在します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x.}$${\displaystyle G}$

が（2回連続微分可能な）境界を持つ場合、この概念はレヴィ擬凸性と同じであり、扱いやすい。より具体的には、境界を持つ場合 、が定義関数を持つ、つまり、 、および となる が 存在すること が示される 。ここで、 は擬凸であるためには、p における複素接空間内の 任意 の およびに対してその限りであり、つまり、${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle G=\{\rho <0\}}$${\displaystyle \partial G=\{\rho =0\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in \partial G}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$、 我々は持っています

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$

上記の定義は、実解析における凸性の定義に類似しています。

境界がない場合、次の近似結果が役立ちます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{2}}$

命題1が擬凸である 場合 、 （滑らかな）境界を持つ、強レヴィ擬凸領域 が存在し、それらはにおいて比較的コンパクトであり、${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{k}\subset G}$${\displaystyle C^{\infty}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}.}$

これは、定義にあるように が得られると、実際にC ^∞枯渇関数を見つけることができるためです。 ${\displaystyle \varphi}$

1 つの複素次元では、すべての開領域は擬似凸です。したがって、擬似凸性の概念は 1 より高い次元でより有用です。

• 解析多面体
• エウジェニオ・エリア・レヴィ
• 正則凸包
• シュタイン多様体

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