チーガー定数

リーマン幾何学において、コンパクトリーマン多様体Mのチーガー等周定数は、 M を2 つの互いに素な部分に分割する超曲面の最小面積によって定義される正の実数h ( M ) です。1971 年、ジェフ チーガーは、 M上のラプラス-ベルトラミ作用素の最初の非自明な固有値とh ( M )を関連付ける不等式を証明しました。1982 年、ピーター ビューザーはこの不等式の逆バージョンを証明し、この 2 つの不等式を合わせてチーガー-ビューザー不等式と呼ばれることがあります。これらの不等式は、リーマン幾何学や大域解析だけでなく、マルコフ連鎖の理論やグラフ理論にも大きな影響を与え、グラフの類似のチーガー定数やコンダクタンスの概念に影響を与えました。

M をn次元の閉じたリーマン多様体とする。V ( A ) はn次元部分多様体Aの体積を表し、S ( E ) は部分多様体Eのn −1 次元の体積（この文脈では一般に「面積」と呼ばれる）を表すものとする。MのCheeger等周定数は次のように定義される 。

${\displaystyle h(M)=\inf _{E}{\frac {S(E)}{\min(V(A),V(B))}},}$

ここで、最小値は、M を 2 つの互いに交わらない部分多様体AとBに分割する、Mのすべての滑らかなn −1 次元部分多様体Eに対して取られます。等周定数は、有限体積の非コンパクトリーマン多様体に対してより一般的に定義できます。

ジェフ・チーガーは、現在チーガー等周定数h ( M ) と呼ばれるものを用いて、 M上のラプラシアンの最小の正の固有値の下限を証明した^{[1] 。}${\displaystyle {\lambda_{1}(M)}}$

${\displaystyle \lambda _{1}(M)\geq {\frac {h^{2}(M)}{4}}.}$

この不等式は、次の意味で最適である。任意のh > 0、自然数k、ε > 0に対して、等周定数h ( M ) = hを持ち、ラプラシアンのk番目の固有値がチーガー境界からε以内にあるような2次元リーマン多様体Mが存在する。^[2]

ピーター・ブザーは、チーガー等周定数h ( M )を用いて、M上のラプラシアンの最小の正の固有値の上限を証明した^{[3] 。M}をn次元閉リーマン多様体とし、そのリッチ曲率が下側で−( n −1) a 2 ^（a ≥ 0）で制限されるとする。 ${\displaystyle \lambda_{1}(M)}$

${\displaystyle \lambda_{1}(M)\leq 2a(n-1)h(M)+10h^{2}(M).}$

• チーガー定数（グラフ理論）
• 等周問題
• スペクトルギャップ