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ハーバート・フェデラー（1920年7月23日 - 2010年4月21日）[1] [2]はアメリカの数学者。彼は微分幾何学と数学解析の接点における幾何学的測度論の創始者の一人である。[3]
キャリア
フェデラーは1920年7月23日、オーストリアのウィーンで生まれた。1938年に米国に移住した後、カリフォルニア大学バークレー校で数学と物理学を学び、1944年にアンソニー・モースの指導の下、博士号を取得した。その後、ブラウン大学数学科にほぼ全キャリアを費やし、最終的には同大学名誉教授の称号を得て退職した。
フェデラーは、著書『幾何測度論』のほかに、30 本以上の研究論文を執筆しました。数学系譜プロジェクトでは、フェデラーの博士課程の学生 9 名と、その後の子孫 100 名以上が彼の出身であるとされています。最も優秀な教え子には、プリンストン大学で 35 年間教授を務めた故フレデリック J. アルムグレン ジュニア(1933-1997) や、現在ライス大学に在籍している最後の教え子ロバート ハートなどがいます。
フェデラーは米国科学アカデミーの会員であった。1987年、彼とブラウン大学の同僚ウェンデル・フレミングは「正規電流と積分電流に関する先駆的な研究」によりアメリカ数学会のスティール賞を受賞した[FF60]。
数学的な作業
1940 年代から 1950 年代にかけて、フェデラーは幾何学と測度論の技術的な接点で多くの貢献をした。具体的なテーマとしては、表面積、集合の修正可能性、古典的な曲面解析において修正可能性を滑らかさの代わりにどの程度まで使えるか、などがあった。特に注目すべき初期の業績 (エイブラム・ベシコヴィッチの以前の研究を改良したもの) は、純粋に修正不可能な集合を、ほとんどすべての射影の下で「消える」ものとして特徴付けたことである。 [4] [5]フェデラーは、低正則性におけるグリーンの定理の研究にも注目すべき貢献をした。 [6]修正指数による容量の理論は、フェデラーとウィリアム・ジーマーによって開発された。[FZ73]フェデラーが博士号とともに執筆した最初の論文では、フェデラーは指導教官のアンソニー・モースのもとで、コンパクト距離空間間の連続射影はボレル部分集合に制限され、像を変えることなく射影になるというフェデラー・モースの定理を証明した。 [7]
フェデラーの最も有名な論文の一つである「曲率測度」は1959年に出版された。 [F59] [8]その目的は、微分幾何学における2次解析、特に曲率の測度論的定式化を確立することであった。シュタイナー公式はフェデラーの研究の基本的な先例となった。それは、ユークリッド空間における凸集合の近傍の体積が多項式で与えられることを確立した。凸集合の境界が滑らかな部分多様体である場合、シュタイナー公式の係数はその曲率によって定義される。フェデラーの研究は、この結果の一般的な定式化を開発することを目指していた。彼が特定した部分集合のクラスは、凸集合のクラスと滑らかな部分多様体のクラスの両方を包含する、正の範囲の部分集合である。彼はこのクラスに対するシュタイナー公式を証明し、一般化されたクェルマス積分（フェデラーは曲率測度と呼んだ）を係数として特定した。同じ論文で、フェデラーは、測度論の標準的な教科書の結果となった、余面積の公式を証明した。[9]
フェデラーの2番目の画期的な論文「正規電流と積分電流」は、ウェンデル・フレミングとの共著である。[FF60]彼らの研究で、彼らは極小曲面のプラトー問題が、一般化された部分多様体と見なすことができる積分電流のクラスで解けることを示した。さらに、彼らは等周問題とソボレフの埋め込み定理との関係に関する新しい結果を特定した。彼らの論文は、幾何学的変分問題、特に極小曲面の大規模なクラスに関する新しい実りある研究の時代の幕開けとなった。
1969年、フェデラーは著書『幾何学的測度論』を出版した。これは数学界で最も引用されている書籍の一つである。 [F69] [10]これは、多重線型代数と測度論の詳細な説明から始まる包括的な著作である。著作の主要部分は、整流可能性と電流理論の研究に充てられている。本書は、変分法への応用で終わる。フェデラーの著書は、この分野の権威あるテキストとみなされており、フェデラーと他の人々の過去の研究からの多くの資料に加えて、いくつかの新しい結果が含まれている。彼の著書における電流とその応用に関する議論の多くは、積分係数に限定されている。彼は後に、実係数の設定における基本理論を展開した。[F75]
フェデラーの本で詳述されている特定の結果は、ユークリッド空間の面積最小極小超曲面は低次元では滑らかであるというものである。同じ頃、エンリコ・ボンビエリ、エンニオ・デ・ジョルジ、エンリコ・ジュスティは、ジェームズ・シモンズによって最初に特定された8 次元ユークリッド空間の極小超円錐が面積最小であることを証明した。したがって、特異集合の余次元が 7 であるユークリッド空間の面積最小極小超曲面を構築することは容易である。1970 年に、フェデラーはこの余次元が最適であることを証明した。つまり、このような特異集合はすべて余次元が少なくとも 7 である。[F70]この目的のための彼の次元削減の議論は、幾何学的測度論と幾何学的解析に関する文献の標準的な部分となった。[11] [12]その後、フェデラーはボンビエリ-デ・ジョルジ-ジュスティの結果の新しい証明も発見した。[F75]
主な出版物
フェデラーは、有名な教科書『幾何測度論』のほか、約30の研究論文を執筆した。
参考文献
- ^ 「NAS会員名簿: フェデラー、ハーバート」。米国科学アカデミー。 2010年6月15日閲覧。
- ^ 「ハーバート・フェデラー - 伝記」。数学の歴史。 2023年5月22日閲覧。
- ^ パークス、H. (2012) ハーバート・フェデラー（1920–2010）を偲んで、NAMS 59 (5)、622-631。
- ^ フェデラー 1969年。
- ^ Pertti Mattila. ユークリッド空間における集合と測度の幾何学。
- ^ Vladimir Maz'ya.ソボレフ空間。楕円型偏微分方程式への応用。
- ^ Parthasarathy, KR (1967).計量空間上の確率測度. 確率と数理統計. ニューヨーク・ロンドン: Academic Press, Inc.
- ^ ロルフ・シュナイダー。凸体：ブルン・ミンコフスキー理論。
- ^ エヴァンスとガリエピ。測度論と関数の微細性質。
- ^ゴフマン、キャスパー (1971)。「レビュー：ハーバート・フェデラーの 幾何学的測度理論」アメリカ数学会報。77 (1): 27–35。doi : 10.1090/ s0002-9904-1971-12603-4。
- ^ Enrico Giusti. 極小曲面と有界変分の関数。
- ^ レオン・サイモン。幾何学的測度論に関する講義。
外部リンク
- ブラウン大学のフェデラーのページ
- ウェンデル・H・フレミングとウィリアム・P・ジーマー、「ハーバート・フェデラー」、米国科学アカデミー伝記 (2014)
- 数学系譜プロジェクトのハーバート・フェデラー