CAT(k)空間

数学において、空間（は実数）は、距離空間の特定のタイプです。直感的に、（ ）の空間内の三角形は、一定曲率の標準空間内の対応する「モデル三角形」よりも「細い」です。 空間では、曲率は によって上から制限されます。注目すべき特殊なケースは です。完全な空間は、フランスの数学者ジャック・アダマールにちなんで「アダマール空間」として知られています。 ${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle k<0}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$

もともと、アレクサンドロフはこれらの空間を「領域」と呼んでいました。この用語は、1987 年にミハイル グロモフによって造られ、エリー カルタン、アレクサンドル ダニロヴィチ アレクサンドロフ、ヴィクトル アンドレーヴィチ トポノゴフの頭文字をとったものです(ただし、トポノゴフは出版物で上方境界のある曲率を研究したことはありませんでした)。 ${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{k}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$

実数 に対して、一定の曲率 を持つ唯一の完全単連結面（実2次元リーマン多様体）を で表します。の直径で表します。の場合はであり、 の場合は です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle D_{k}}$${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle k\leq 0}$${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}$${\displaystyle k>0}$

を測地距離空間、すなわち、2点間を測地線分で結ぶことができる距離空間、すなわち、弧長パラメータ化された連続曲線で長さが 決まる距離空間とする。${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X,\ \gamma (a)=x,\ \gamma (b)=y}$

${\displaystyle L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\right|a=t_{0}}t_{1}}\cdots <t_{r}=b,r\in \mathbb {N} \right}}$

は正確に です。を 内の、測地線分を辺とする三角形とします。 が不等式を満たすと言われるのは、 の辺と同じ長さの辺を持つ比較三角形がモデル空間内に存在し、上の点間の距離が上の対応する点間の距離以下であるときです。 ${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle \Delta '}$${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta '}$

測地距離空間は、内の周囲がより小さいすべての測地三角形が不等式を満たすとき、空間であると言われます。 （必ずしも測地線ではない）距離空間は、のすべての点が測地的に凸な近傍を持つとき、曲率を持つ空間であると言われます。曲率を持つ空間は、非正の曲率を持つと言えます。 ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \mathbf {\operatorname {\textbf {CAT}} } (k)}$ ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2D_{k}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle (X,\,d)}$${\displaystyle \leq k}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$ ${\displaystyle \leq 0}$

• 任意の空間は、すべての に対する空間でもあります。実際、その逆も成り立ちます。つまり、 がすべての に対する空間である場合、それは空間です。${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$${\displaystyle \ell >k}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (\ell )}$${\displaystyle \ell >k}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$
• 通常の計量を持つ次元ユークリッド空間は空間です。より一般的には、任意の実内積空間（必ずしも完全ではない）は空間です。逆に、実ノルムベクトル空間が何らかの実数 に対する空間である場合、それは内積空間です。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle k}$
• 通常の計量を持つ次元双曲空間は空間であり、したがって空間でもあります。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (-1)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$
• 次元単位球は空間です。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (1)}$
• より一般的には、標準空間は空間です。したがって、たとえば、次元に関係なく、半径（および一定の曲率） の球は空間です。球の直径は、（球の表面で測定されたもの）であり、 （球の中心を通って測定されたもの）ではないことに注意してください。${\displaystyle M_{k}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle r}$${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$${\textstyle \operatorname {CAT} \left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$${\displaystyle \pi r}$${\displaystyle 2r}$
• 穴の開いた平面は 測地的に凸ではないので空間ではありません(たとえば、点と は弧の長さ 2 で の測地線で結ぶことはできません)。しかし、 のすべての点は測地的に凸な近傍を持つので、曲率 の空間になります。${\displaystyle \Pi =\mathbf {E} ^{2}\バックスラッシュ \{\mathbf {0} \}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (0,-1)}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \leq 0}$
• 誘導された長さ計量を備えた によって与えられるの閉部分空間は、任意の に対する空間ではありません。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$${\displaystyle X=\mathbf {E} ^{3}\setminus \{(x,y,z)\mid x>0,y>0{\text{ and }}z>0\}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle k}$
• 任意の空間の積は です。(これは負の引数には当てはまりません。)${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}$

特別な場合として、完備な CAT(0) 空間はアダマール空間とも呼ばれます。これは、アダマール多様体の場合との類推によるものです。アダマール空間は収縮可能(単一点のホモトピー型を持つ) であり、アダマール空間の任意の 2 点間には、それらを結ぶ唯一の測地線があります (実際、両方の特性は、一般の、場合によっては不完全な CAT(0) 空間にも当てはまります)。最も重要なのは、アダマール空間の距離関数が凸であることです。つまり、 X内の 2 つの測地線が同じ時間間隔Iで定義されている場合、次に示す 関数が成り立ちます。${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$${\displaystyle I\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle t\mapsto d{\big (}\sigma _{1}(t),\sigma _{2}(t){\big )}}$

tに関して凸です。

を空間とします。このとき、次の特性が成り立ちます。 ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$

• 任意の 2 点( の場合) が与えられると、に結合する唯一の測地線分が存在します。さらに、この線分は端点の関数として連続的に変化します。${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle d(x,y)<D_{k}}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• 最大で長さが である 内のすべての局所測地線は測地線です。${\displaystyle X}$${\displaystyle D_{k}}$
• 半径が より小さい の球は(測地線上で) 凸状です。${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D_{k}/2}$
• 半径が より小さい内の - ボールは収縮可能です。${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D_{k}}$
• 近似中点は、次の意味で中点に近いです。任意のおよび任意のに対して、が存在するような があり、がからまでの測地線分の中点である場合、 となります。${\displaystyle \lambda <D_{k}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta =\delta (k,\lambda ,\epsilon )>0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d(x,y)\leq \lambda }$$${\displaystyle \max {\bigl \{}d(x,m'),d(y,m'){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta ,}$$${\displaystyle d(m,m')<\epsilon }$
• これらの特性から、あらゆる空間の普遍被覆は収縮可能であることがわかります。特に、そのような空間の高次ホモトピー群は自明です。 -球面の例が示すように、一般に、 の場合、空間が収縮可能であることは期待できません。${\displaystyle k\leq 0}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {CAT} (k)}$${\displaystyle k>0}$

曲面の曲率がK ≤ 0を満たす領域では、測地線三角形は比較幾何学の CAT(0) 不等式を満たします。これはカルタン、アレクサンドロフ、トポノゴフによって研究され、後にブルハットとティッツによって異なる観点から検討されました。グロモフのビジョンのおかげで、基礎となる計量空間の観点から非正曲率を特徴付けるこの方法は、現代の幾何学、特に幾何学群論に大きな影響を与えました。曲線短縮プロセスによって測地線を構成するバーコフの方法や、非正曲率の単連結面は平面に同相であるというファン・マンゴルトとアダマールの定理など、滑らかな曲面とその測地線について知られている多くの結果は、このより一般的な設定でも同様に有効です。

比較不等式の最も単純な形は、1940年頃にアレクサンドロフによって表面に対して初めて証明され、

測地三角形の頂点と反対側の辺の中点の間の距離は、同じ辺の長さを持つ平面上の比較三角形の対応する距離よりも常に短くなります。

この不等式は、c ( t )が弧長でパラメータ化された測地線を表し、aが固定点である場合、

f ( t ) = d ( a , c ( t ) ) ² − t ^{2 である。}

は凸関数であり、すなわち

${\displaystyle {\ddot {f}}(t)\geq 0.}$

原点をaとする測地極座標をとって、 ‖ c ( t )‖ = r ( t )とすると、凸性は次式と等しくなります。

${\displaystyle r{\ddot {r}}+{\dot {r}}^{2}\geq 1.}$

c ( t )における通常の座標u、vに変更すると、この不等式は次のようになる。

u ² + H ⁻¹ H _r v ² ≥ 1、

ここで( u , v ) は単位ベクトルċ ( t )に対応する。これは不等式H _r ≥ Hから導かれ、これはSturm–Liouville 理論からのHとrのWronskianの微分が非負であることの結果である。^[1]

• カルタン・アダマールの定理

• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. 「Alexandrov Geometry, Chapter 7」(PDF) 。2011-04-07に閲覧。
• Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. 「アレクサンドロフ幾何学への招待: CAT[0]空間」. arXiv : 1701.03483 [math.DG].
• バルマン、ヴェルナー(1995)。非正曲率空間に関する講義。DMVセミナー25。バーゼル：ビルクハウザー出版社。pp. viii+112。ISBN 3-7643-5242-6. MR  1377265。
• ベルガー、マルセル (2004)。 『リーマン幾何学のパノラマ』ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65317-2。
• マーティン・R・ブリドソン;ヘフリガー、アンドレ(1999)。非正の曲率の計量空間。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [数学科学の基本原理] 319. ベルリン: Springer-Verlag。 pp.xxii+643。ISBN 3-540-64324-9. MR  1744486。
• グロモフ、ミハイル(1987)。「双曲群」。群論エッセイ。数学科学研究所出版。8。ニューヨーク：シュプリンガー。pp. 75–263。MR  0919829。
• Hindawi, Mohamad A. (2005). アダマール多様体の漸近不変量(PDF) . ペンシルバニア大学: 博士論文.