ラドン変換

数学において、ラドン変換は、平面上で定義された関数f を、平面上の (2 次元) 直線空間上で定義された関数Rfに変換する積分変換であり、特定の直線における Rf の値は、その直線上の関数の線積分に等しくなります。この変換は 1917 年にヨハン・ラドンによって導入され^{[ 1 ]}、逆変換の公式も提供されました。ラドンはさらに、平面上で積分を行う3 次元変換の公式も追加しました(直線上の積分はX 線変換として知られています)。これは後に、より高次元のユークリッド空間、そしてより広くは積分幾何学の文脈に一般化されました。ラドン変換の複素数版はペンローズ変換として知られています。ラドン変換は、物体の断面スキャンに関連付けられた投影データから画像を作成する断層撮影に広く適用されています。

関数が${\displaystyle f}$未知の密度を表す場合、ラドン変換は断層撮影スキャンの出力として得られる投影データを表します。ラドン変換の逆変換は、投影データから元の密度を再構成するために使用でき、したがって、反復再構成としても知られる断層撮影再構成の数学的基礎を形成します。

ラドン変換データは、中心からずれた点光源のラドン変換が正弦波となることから、しばしばシノグラムと呼ばれます。したがって、多数の小さな物体のラドン変換は、振幅と位相が異なる多数のぼやけた正弦波としてグラフ上に現れます。

ラドン変換は、コンピュータ断層撮影（CATスキャン）、バーコードスキャナ、ウイルスやタンパク質複合体などの高分子集合体の電子顕微鏡観察、反射地震学、双曲型偏微分方程式の解法などに有用です。

させて${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x,y)}$次の３つの正則条件を満たす関数である：^{[ 3 ]}

1. ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$連続的である。
2. 二重積分${\displaystyle \displaystyle \iint {\frac {\vert f(\mathbf {x} )\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy}$平面全体に広がり、収束する。
3. 任意の点に対して${\displaystyle (x,y)}$飛行機の中で、${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.}$

ラドン変換、${\displaystyle Rf}$は直線空間上で定義された関数である。$\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}}$各線に沿った線積分によって次のように表されます。 $${\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .}$$ 具体的には、任意の直線のパラメータ化${\displaystyle L}$弧の長さに関して${\displaystyle z}$常に次のように書くことができます。 $${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\,\sin \alpha +s\,\cos \alpha ),(-z\,\cos \alpha +s\,\sin \alpha ){\Big )}}$$ どこ${\displaystyle s}$距離は${\displaystyle L}$起源から${\displaystyle \alpha }$法線ベクトルの角度は${\displaystyle L}$で作る${\displaystyle x}$軸。したがって、次の量は${\displaystyle (\alpha ,s)}$すべての線が占める空間上の座標とみなすことができる$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$そして、ラドン変換はこれらの座標系で次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\,\sin \alpha +s\,\cos \alpha ),(-z\,\cos \alpha +s\,\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}}$$ より一般的には、${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$関数のラドン変換${\displaystyle f}$正則条件を満たすことは関数である${\displaystyle Rf}$宇宙で$\displaystyle \Sigma _{n}}$すべての超平面のうち$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$定義は以下のとおりです。

シェップ・ローガン・ファントム

ラドン変換

逆ラドン変換

$${\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}}$$ここで、積分は自然超曲面測度 に関して取られる。$dσ$（一般化して${\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert }$用語から${\displaystyle 2}$（次元の場合）。$\displaystyle \Sigma _{n}}$方程式の解の軌跡として特徴付けられる${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s}$、 どこ$\displaystyle \alpha \in S^{n-1}}$は単位ベクトルであり、${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$したがって、${\displaystyle n}$次元ラドン変換は、の関数として書き直すことができる。${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$経由：$${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).}$$ラドン変換をさらに一般化するには、代わりに積分することも可能だ。${\displaystyle k}$次元アフィン部分空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$X線変換は、この構成の最も広く使用されている特殊なケースであり、直線に沿って積分することによって得られます。

ラドン変換はフーリエ変換と密接に関連している。ここでは、単変量フーリエ変換を次のように定義する。$${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.}$$関数の${\displaystyle 2}$-ベクター${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$単変量フーリエ変換は次のようになります。$${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.}$$便宜上、${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)}$フーリエスライス定理は次のように述べている。$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}$$どこ${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}$

したがって、傾斜角に沿った線に沿った初期関数の2次元フーリエ変換は${\displaystyle \alpha }$ラドン変換の1変数フーリエ変換（角度で取得）${\displaystyle \alpha }$その関数の）です。この事実は、ラドン変換とその逆変換の両方を計算するために使用できます。結果はn次元に一般化できます。$${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}$$

ラドン変換の画像${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$十分な正則性と減衰を持つ関数で特徴付けることができる。同じ無向超平面は両方で表現されるため${\displaystyle (\alpha ,s)}$そして${\displaystyle (-\alpha ,-s)}$すべてのラドン変換は対称条件を満たす

${\displaystyle Rf(-\alpha ,-s)=Rf(\alpha ,s).}$

ラドン変換のモーメントにも条件があります。${\displaystyle f}$十分に規則的で急速に減少しており、

${\displaystyle g(\alpha ,s)=Rf(\alpha ,s),}$

そして、すべての非負整数に対して${\displaystyle k}$その瞬間

${\displaystyle M_{k}(\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }s^{k}g(\alpha ,s)\,ds}$

制限は${\displaystyle S^{n-1}}$同次多項式の ${\displaystyle \alpha }$学位${\displaystyle k}$実際、正式には、

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{k}(\alpha )&=\int _{-\infty }^{\infty }s^{k}Rf(\alpha ,s)\,ds\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}(x\cdot \alpha )^{k}f(x)\,dx,\end{aligned}}}$

これは、${\displaystyle \alpha }$。

逆に、ヘルガソン・ルートヴィヒ範囲定理は、これらの条件が適切なテスト関数空間におけるラドン変換の範囲を特徴づけると述べています。例えば、滑らかで急速に減少する関数${\displaystyle g}$の上${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$は、シュワルツ関数のラドン変換である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$対称条件と上記のモーメント条件を満たす場合に限り、となる。対応するコンパクト台を持つバージョンは、の像を特徴づける。${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$; その場合、次のようなサポート関係も存在する。${\displaystyle f}$ボールで支えられている${\displaystyle |x|\leq A}$、 それから${\displaystyle Rf(\alpha ,s)=0}$のために${\displaystyle |s|>A}$[ ^{4 ] [ 5 ]​}

断層撮影において、これらの整合性条件は、投影データが角度と変位の任意の関数からではなく、実際の物体から得られる場合を説明するものである。

双対ラドン変換は、ラドン変換の随伴変換の一種です。空間上の関数gから始めます。${\displaystyle \Sigma _{n}}$双対ラドン変換は関数である${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g}$R ⁿ上で定義されるもの：$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).}$$ここでの積分は、点に接するすべての超平面の集合にわたって行われます。${\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$、そしてその測定${\displaystyle d\mu }$は集合上の唯一の確率測度である${\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}}$点周りの回転に対して不変${\displaystyle \mathbf {x} }$。

具体的には、2次元ラドン変換の場合、双対変換は次のように与えられる。$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}$$画像処理の文脈では、双対変換は一般的に逆投影^{[ 6 ]}と呼ばれ、平面上の各線で定義された関数を受け取り、それを線上に「ぼかす」または投影して画像を生成します。

再構成のプロセスによって画像（または関数）が生成されます${\displaystyle f}$（前のセクションで説明したように）投影データから再構成します。再構成は逆問題です。

ラドン変換とその双対の明示的かつ計算効率の良い逆変換公式が利用可能です。${\displaystyle n}$次元は次の式で反転できます: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,}$$どこ${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$、そしてラプラシアンの力${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$必要に応じてフーリエ変換によって擬似微分演算子として定義される。$${\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}$$計算上の目的で、ラプラシアンのべき乗は双対変換と交換される。${\displaystyle R^{*}}$与える：^{[ 14 ]}$${\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}}$$どこ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$は変数sに関するヒルベルト変換です。2 次元では、演算子は${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}}$画像処理ではランプフィルタとして現れる。^{[ 15 ]}コンパクト台を持つ連続関数については、フーリエスライス定理と積分のための変数変換から直接証明できる。${\displaystyle f}$2つの変数について：$${\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.}$$したがって、画像処理の文脈では、元の画像は${\displaystyle f}$シノグラムデータから復元可能${\displaystyle Rf}$ランプフィルターを適用することによって（${\displaystyle s}$フィルタリング処理は、画像内のピクセルの値を単純に累積するだけなので、非常に効率的で広く利用されているアルゴリズムです。

具体的には、後者の方法によって得られる逆変換式は次のとおりです。^{[ 6 ]}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}}$$双対変換は、同様の式によって逆変換することもできます。$${\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}$$

代数幾何学では、ラドン変換（ブリリンスキー・ラドン変換とも呼ばれる）は次のように構成されます。

書く

${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}}$

普遍超平面の場合、すなわちH は( x , h )のペアからなり、 x はd次元射影空間内の点である。${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$そしてhは双対射影空間内の点（言い換えれば、xは( d +1)次元アフィン空間の原点を通る直線であり、hはその空間内の超平面である）であり、xはhに含まれる。

すると、ブリリンスキー・ラドン変換は、エタール層の適切な導来圏間の関手となる。

${\displaystyle \operatorname {Rad}$ :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).}

この変換に関する主な定理は、この変換が定数層を除いて、射影空間とその双対射影空間上の偏屈層の圏の同値性を誘導するというものである。 ^{[ 16 ]}

• 周期図
• 一致するフィルター
• デコンボリューション
• X線変換
• ファンク・トランスフォーム
• ハフ変換は、連続形式で記述すると、ラドン変換と非常によく似ており、場合によっては同等である。^{[ 17 ]}
• コーシー・クロフトンの定理は、空間における曲線の長さを計算するための、これと密接に関連する公式である。
• 高速フーリエ変換
• ペンローズは変身する

• ロケナス・デブナス。ダンバル・バッタ（2016年4月19日）。積分変換とその応用。 CRCプレス。ISBN 978-1-4200-1091-6。
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• ヘルガソン、シグルドゥル（2008）「対称空間における幾何解析」、Mathematical Surveys and Monographs、第39巻 （第2 版）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi：10.1090/surv/039、ISBN 978-0-8218-4530-1MR 2463854​ 
• ハーマン、ガボール T. (2009)、コンピュータ断層撮影の基礎：投影からの画像再構成（第 2 版）、シュプリンガー、ISBN 978-1-85233-617-2
• Minlos, RA (2001) [1994]、「ラドン変換」、数学百科事典、EMS Press
• ナッテラー、フランク（2001年6月）、『コンピュータ断層撮影の数学』、応用数学古典シリーズ、第 32巻、産業応用数学会、ISBN 0-89871-493-1
• ナッテラー、フランク、ヴュベリング、フランク（2001）、『画像再構成における数学的手法』、産業応用数学会、Bibcode：2001mmir.book.....N、ISBN 0-89871-472-9

• ワイススタイン、エリック W. 「ラドン変換」 . MathWorld .
• 解析的投影法（ラドン変換）（動画）。「コンピュータ断層撮影とASTRAツールボックス」コースの一部。アントワープ大学。2015年9月10日。