偶関数と奇関数

数学において、偶関数とは、その定義域の任意の に対してとなる実関数です。同様に、奇関数とは、その定義域の 任意の に対してとなる関数です。${\displaystyle f(-x)=f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$${\displaystyle x}$

これらは、各条件を満たすべき関数のべき乗の偶奇性にちなんで名付けられています。つまり、 nが偶数の整数の場合、関数は偶数であり、 nが奇数の整数の場合、関数は奇数です。 ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

偶関数は、グラフがy軸に関して自己対称となる実関数であり、奇関数は、グラフが原点に関して自己対称となる実関数です。

実関数の定義域が原点に関して自己対称である場合、その関数は偶関数と奇関数の和として一意に分解できます。

偶数性と奇数は、実関数、つまり実変数の実数値関数について一般的に考慮されます。ただし、定義域と共定義域の両方に加法逆関数の概念がある関数については、概念をより一般的に定義できます。これには、アーベル群、すべての環、すべての体、およびすべてのベクトル空間が含まれます。したがって、たとえば、実関数は奇数または偶数（またはどちらでもない）になる可能性があり、ベクトル変数の 複素数値関数も同様です。

与えられた例は実関数であり、そのグラフの対称性を示しています。

実関数 fが偶関数であるとは、その定義域の任意のxに対して、xもまたその定義域に存在し、^{[1] : p. 11} または同等の $${\displaystyle f(-x)=f(x)}$$$${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

幾何学的には、偶関数のグラフはy軸に対して対称であり、つまりy軸を中心に反転した後もグラフは変化しません。

偶数関数の例は次のとおりです。

• 絶対値 ${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{4},}$
• 余弦 ${\displaystyle \cos,}$
• 双曲線余弦 ${\displaystyle \cosh ,}$
• ガウス関数 ${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

実関数fが奇関数であるとは、その定義域の任意のxに対して、xもまたその定義域に存在し、^{[1] : p. 72} または同等の $${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$$$${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

幾何学的には、奇関数のグラフは原点に対して回転対称性を持ちます。つまり、原点を中心に 180度回転してもグラフは変化しません。

が奇関数の定義域内にある場合、 となります。 ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(0)=0}$

奇関数の例は次のとおりです。

• 符号関数 ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• 恒等関数${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{3},}$
• 正弦 ${\displaystyle \sin ,}$
• 双曲線正弦 ${\displaystyle \sinh,}$
• 誤差関数 ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

• 関数が偶数かつ奇数である場合、定義されているすべての場所で 0 になります。
• 関数が奇数の場合、その関数の絶対値は偶数関数です。

• 2 つの偶関数の和は偶数です。
• 2 つの奇関数の和は奇数です。
• 2 つの奇関数の差は奇数です。
• 2 つの偶関数の差は偶数です。
• 偶関数と奇関数の和は、指定された定義域で関数の 1 つが 0 にならない限り、偶数でも奇数でもありません。

• 2 つの偶関数の積は偶関数です。
  • これは、任意の数の偶関数の積も偶関数であることを意味します。
• 2 つの奇関数の積は偶関数です。
• 偶関数と奇関数の積は奇関数です。
• 2 つの偶関数の商は偶関数です。
• 2 つの奇関数の商は偶関数です。
• 偶関数と奇関数の商は奇関数です。

• 2 つの偶関数の合成は偶関数です。
• 2 つの奇関数の合成は奇数です。
• 偶関数と奇関数の合成は偶関数です。
• 任意の関数と偶関数の合成は偶関数になります (ただしその逆は成り立ちません)。

実関数が原点に関して自己対称な定義域を持つ場合、その関数は、それぞれ関数の偶数部（または偶数成分 ）と奇数部（または奇数成分）と呼ばれる偶関数と奇関数の和として一意に分解することができ、次のように定義されます 。 $${\displaystyle f_{\text{even}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},}$$$${\displaystyle f_{\text{odd}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}$$

が偶数であること、が奇数であること、そして${\displaystyle f_{\text{even}}}$${\displaystyle f_{\text{奇数}}}$${\displaystyle f=f_{\text{偶数}}+f_{\text{奇数}}.}$

この分解は、

${\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}$

ここでgは偶数、hは奇数な ので 、${\displaystyle g=f_{\text{even}}}$${\displaystyle h=f_{\text{odd}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}}$

例えば、双曲余弦と双曲正弦は、指数関数の偶数部と奇数部とみなすことができます。最初の関数は偶数関数、2番目の関数は奇数関数であり、

${\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{even}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{odd}}(x)}}$。

フーリエの正弦変換と余弦変換では、関数の奇数部分を正弦波(奇関数) で表し、関数の偶数部分を余弦波 (偶関数) で 表すことによって、偶奇分解も実行されます。

• 偶関数の任意の線形結合は偶関数であり、偶関数は実数上のベクトル空間を形成します。同様に、奇関数の任意の線形結合は奇関数であり、奇関数も実数上のベクトル空間を形成します。実際、すべての実関数のベクトル空間は、偶関数と奇関数の部分空間の直和です。これは、前のセクションの特性をより抽象的に表現したものです。
  • この性質や上記の性質のいくつかにより、関数の空間は実数上の次数付き代数とみなすことができます。

• 偶関数は実数上の可換代数を形成します。しかし、奇関数は乗算に関して閉じていないため、実数上の代数を形成しません。

関数が奇数または偶数であることは、微分可能性や連続性さえも意味しません。たとえば、ディリクレ関数は偶数ですが、連続するところはありません。

以下では、導関数、フーリエ級数、テイラー級数に関する特性を考慮し、これらの概念は考慮する関数に対して定義されているものとします。

• 偶関数の導関数は奇関数です。
• 奇関数の導関数は偶数です。
• − Aから+ Aまでの奇関数の積分はゼロである（ただしA は有限であり、関数は − AとAの間に垂直漸近線を持たない）。対称区間上で積分可能な奇関数（例えば ）の場合、その区間での積分の結果はゼロである。つまり、^[2]${\displaystyle [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$。

• − Aから+ Aまでの偶関数の積分は、0 から + Aまでの積分の 2 倍です(ここでA は有限で、関数は − AとAの間に垂直漸近線を持ちません。これはAが無限大の場合でも当てはまりますが、積分が収束する場合のみです)。つまり、

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$。

• 偶関数のマクローリン級数には偶数べき乗のみが含まれます。
• 奇関数のマクローリン級数には奇数べきだけが含まれます。
• 周期的偶関数のフーリエ級数には余弦項のみが含まれます。
• 周期奇関数のフーリエ級数には正弦項のみが含まれます。
• 純粋に実数値の偶関数のフーリエ変換は実数かつ偶数です。（フーリエ解析§ 対称性特性を参照）
• 純粋に実数値の奇関数のフーリエ変換は虚数かつ奇数である。（フーリエ解析 § 対称性特性を参照）

信号処理において、高調波歪みは、正弦波信号がメモリレス非線形システム、すなわち時刻tにおける出力が時刻tにおける入力のみに依存し、それ以前の入力には依存しないシステムを通過するときに発生する。このようなシステムは応答関数によって記述される。生成される高調波の種類は、応答関数fに依存する。^[3]${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))}$

• 応答関数が偶数の場合、結果の信号は入力正弦波の偶数次高調波のみで構成されます。${\displaystyle 0f,2f,4f,6f,\dots }$
  • 基本音も奇数倍音なので存在しません。
  • 簡単な例としては全波整流器があります。
  • このコンポーネントは、偶数対称伝達関数の片側の性質による DC オフセットを表します。${\displaystyle 0f}$
• 奇数の場合、結果の信号は入力正弦波の奇数高調波のみで構成されます。${\displaystyle 1f,3f,5f,\dots }$
  • 出力信号は半波対称になります。
  • 簡単な例としては、対称プッシュプルアンプにおけるクリッピングが挙げられます。
• 非対称の場合、結果として得られる信号には偶数次または奇数次の高調波が含まれる可能性があります。${\displaystyle 1f,2f,3f,\dots }$
  • 簡単な例としては、半波整流器や非対称クラス A アンプにおけるクリッピングが挙げられます。

これは、より複雑な波形には当てはまりません。たとえば、のこぎり波には偶数次高調波と奇数次高調波の両方が含まれます。偶数対称全波整流後、三角波になり、DC オフセットを除いて、奇数次高調波のみが含まれます。

均一な対称性:

次の場合、関数は対称的であると呼ばれます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

奇妙な対称性:

次の場合、関数は奇対称と呼ばれます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

実引数の複素数値関数の偶対称性と奇対称性の定義は実数の場合と同様である。信号処理では、複素共役を伴う同様の対称性が考慮されることがある。^{[4] [5]}

共役対称性:

実引数の複素数値関数は共役対称関数と呼ばれる。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

複素数値関数は、その実部が偶関数であり、その虚部が奇関数で ある場合にのみ共役対称です。

共役対称関数の典型的な例はシス関数である。

${\displaystyle x\to e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

共役反対称性:

実引数の複素数値関数は、次の場合に共役反対称関数と呼ばれます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

複素数値関数は、その実部が奇関数であり、その虚部が偶関数で ある場合にのみ、共役反対称です。

奇対称性と偶対称性の定義は、N点列（つまり、形の関数）に次のように拡張される：^{[5] ：p. 411}${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$

均一な対称性:

N点列は共役対称であるとは 、

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

このような数列は、しばしば回文数列と呼ばれます。回文多項式も参照してください。

奇妙な対称性:

N点列は共役反対称列と呼ばれるが、

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

このような数列は、反回文数列と呼ばれることもあります。反回文多項式も参照してください。

• 複素数の一般化のためのエルミート関数
• テイラー級数
• フーリエ級数
• ホルスタイン・ニリング法
• パリティ（物理学）

• ゲルファント, イミダミア州;グラゴレバ、EG; Shnol、EE (2002) [1969]、関数とグラフ、ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications