密に定義された演算子

数学、特に作用素論において、密に定義された作用素または部分的に定義された作用素は、部分的に定義された関数の一種です。位相的な意味では、これは「ほとんどどこでも」定義される線形作用素です。密に定義された作用素は、関数解析において、先験的に「意味をなす」ものよりも大きなクラスのオブジェクトに適用したい操作としてよく使用されます。 ^{[説明が必要]}

実際に使用される 閉じた演算子は、多くの場合、密に定義されます。

ある位相ベクトル空間から別の位相ベクトル空間への稠密に定義された線型作用素は、の稠密な線型部分空間上で定義され、書面による値を取る線型作用素である。文脈から が の集合論的領域ではないことが明らかな場合は、 と省略されることもある。${\displaystyle T}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle \operatorname {dom} (T)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle T:\operatorname {dom} (T)\subseteq X\to Y.}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T.}$

単位区間上で定義された実数値の連続関数全体の空間を考えます。連続的に微分可能な関数全体からなる部分空間を とします。 に最大ノルムを付与すると、 は実バナッハ空間になります。によって与えられる微分演算子は、 から 自身への稠密に定義された演算子で、稠密な部分空間 上で定義されます。演算子は、 であるため、非有界線形演算子の例です。 この非有界性は、微分演算子を全体に 連続的に拡張しようとすると問題を引き起こします。${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{\infty }}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D}$$${\displaystyle (\mathrm {D} u)(x)=u'(x)}$$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{1}([0,1];\mathbb {R} ).}$${\displaystyle \mathrm {D} }$$${\displaystyle u_{n}(x)=e^{-nx}\quad {\text{ は }}\quad {\frac {\left\|\mathrm {D} u_{n}\right\|_{\infty }}{\left\|u_{n}\right\|_{\infty }}}=n です。}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{0}([0,1];\mathbb {R} ).}$

一方、ペイリー・ウィーナー積分 は、稠密に定義された演算子の連続拡張の例です。随伴を持つ任意の抽象ウィーナー空間には、からへの自然 な連続線型演算子(実際は包含であり、 は等長変換)が存在し、におけるの同値類に移行します。 がで稠密である ことが示されます。 上記の包含は連続であるため、の全体への包含の連続線型拡張は一意に存在します 。この拡張がペイリー・ウィーナー写像です。 ${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle j:=i^{*}:E^{*}\to H,}$${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),}$${\displaystyle j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H}$ ${\displaystyle [f]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).}$${\displaystyle j\left(E^{*}\right)}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$${\displaystyle j\left(E^{*}\right)\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$${\displaystyle H.}$

• ブルームバーグ定理 – R 上の任意の実関数は、R の稠密な部分集合に対して連続的な制約を許容する
• 閉グラフ定理（関数解析）  – グラフの連続性と閉包性を結びつける定理
• 線形拡張（線型代数）  – 線型代数における数学関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 部分関数 – 実際の定義域が見かけの定義域よりも小さい関数

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004)。偏微分方程式入門。応用数学テキスト 13 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。pp. xiv+ 434。ISBN 0-387-00444-0.MR2028503  。​