等方性材料 等方性材料は 、空間の方向に依存しない特性によって特徴付けられます。したがって、等方性材料を含む物理方程式は、それらを表すために選択された座標系に依存しない必要があります。ひずみテンソルは対称テンソルです。任意のテンソルのトレース はどの座標系にも依存しないため、対称テンソルの最も完全な座標に依存しない分解は、定数テンソルとトレースのない対称テンソルの和として表すことです。[ 10 ] インデックス表記 では次のようになります。
ε 私 j = （ 1 3 ε k k δ 私 j ） + （ ε 私 j − 1 3 ε k k δ 私 j ） {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)} δ ij はクロネッカーのデルタ である。直接テンソル表記では次のようになる。 ε = 巻 （ ε ） + 開発者 （ ε ） ; 巻 （ ε ） = 1 3 tr （ ε ） 私 ; 開発者 （ ε ） = ε − 巻 （ ε ） {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
ここで、I
右辺の最初の項は定数テンソルであり、体積ひずみテンソル 偏差ひずみテンソル
等方性材料に対するフックの法則の最も一般的な形式は、次の2つのテンソルの線形結合として表すことができる。
σ 私 j = 3 K （ 1 3 ε k k δ 私 j ） + 2 G （ ε 私 j − 1 3 ε k k δ 私 j ） ; σ = 3 K 巻 （ ε ） + 2 G 開発者 （ ε ） {\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})} K は体積弾性率 、Gは せん断弾性率 である。
弾性係数 間の関係を利用すると、これらの式は他のさまざまな方法でも表現できます。等方性材料に対するフックの法則の一般的な形式は、直接テンソル表記で表すと次のようになります [ 11 ] 。
σ = λ tr （ ε ） 私 + 2 μ ε = c : ε ; c = λ 私 ⊗ 私 + 2 μ 私 {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}} 、λ = K − 2 / 3 G = c 1111 − 2 c 1212 μ = G = c 1212 ラメ定数 、I I は 4階の単位テンソルの対称部分です。 添え字表記では次のようになります。 σ 私 j = λ ε k k δ 私 j + 2 μ ε 私 j = c 私 j k l ε k l ; c 私 j k l = λ δ 私 j δ k l + μ （ δ 私 k δ j l + δ 私 l δ j k ） {\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}
逆の関係は[ 12 ]
ε = 1 2 μ σ − λ 2 μ （ 3 λ + 2 μ ） tr （ σ ） 私 = 1 2 G σ + （ 1 9 K − 1 6 G ） tr （ σ ） 私 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }
したがって、関係式ε = s : σ
s = − λ 2 μ （ 3 λ + 2 μ ） 私 ⊗ 私 + 1 2 μ 私 = （ 1 9 K − 1 6 G ） 私 ⊗ 私 + 1 2 G 私 {\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}
ヤング率 とポアソン比 に関して、等方性材料に対するフックの法則は次のように表すことができる。
ε 私 j = 1 E （ σ 私 j − ν （ σ k k δ 私 j − σ 私 j ） ） ; ε = 1 E （ σ − ν （ tr （ σ ） 私 − σ ） ） = 1 + ν E σ − ν E tr （ σ ） 私 {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }
これは、工学において応力テンソルを用いてひずみを表す形式です。展開した表現は次のようになります。 ε 11 = 1 E （ σ 11 − ν （ σ 22 + σ 33 ） ） ε 22 = 1 E （ σ 22 − ν （ σ 11 + σ 33 ） ） ε 33 = 1 E （ σ 33 − ν （ σ 11 + σ 22 ） ） ε 12 = 1 2 G σ 12 ; ε 13 = 1 2 G σ 13 ; ε 23 = 1 2 G σ 23 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}} E はヤング率 、νは ポアソン比 である。（3次元弾性論を 参照）。
3次元におけるフックの法則の導出 フックの法則の三次元形式は、ポアソン比とフックの法則の一次元形式を用いて次のように導出できます。ひずみと応力の関係を、荷重の方向への伸び（1）と、それに垂直な方向への（荷重によって引き起こされる）収縮（2および3）という2つの効果の重ね合わせとして考えます。 ε 1 ′ = 1 E σ 1 、 ε 2 ′ = − ν E σ 1 、 ε 3 ′ = − ν E σ 1 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{aligned}}} ν はポアソン比、E はヤング率である。
方向2と方向3の荷重と同様の方程式が得られます。 ε 1 」 = − ν E σ 2 、 ε 2 」 = 1 E σ 2 、 ε 3 」 = − ν E σ 2 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{aligned}}} ε 1 ‴ = − ν E σ 3 、 ε 2 ‴ = − ν E σ 3 、 ε 3 ‴ = 1 E σ 3 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{aligned}}}
これら3つのケースを合計すると（ε i = ε i ′ + ε i ″ + ε i ‴ε 1 = 1 E （ σ 1 − ν （ σ 2 + σ 3 ） ） 、 ε 2 = 1 E （ σ 2 − ν （ σ 1 + σ 3 ） ） 、 ε 3 = 1 E （ σ 3 − ν （ σ 1 + σ 2 ） ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{aligned}}} または、1つのνσ を加算および減算することによってε 1 = 1 E （ （ 1 + ν ） σ 1 − ν （ σ 1 + σ 2 + σ 3 ） ） 、 ε 2 = 1 E （ （ 1 + ν ） σ 2 − ν （ σ 1 + σ 2 + σ 3 ） ） 、 ε 3 = 1 E （ （ 1 + ν ） σ 3 − ν （ σ 1 + σ 2 + σ 3 ） ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\end{aligned}}} さらにσ1 を σ 1 = E 1 + ν ε 1 + ν 1 + ν （ σ 1 + σ 2 + σ 3 ） 。 {\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.}
合計を計算する ε 1 + ε 2 + ε 3 = 1 E （ （ 1 + ν ） （ σ 1 + σ 2 + σ 3 ） − 3 ν （ σ 1 + σ 2 + σ 3 ） ） = 1 − 2 ν E （ σ 1 + σ 2 + σ 3 ） σ 1 + σ 2 + σ 3 = E 1 − 2 ν （ ε 1 + ε 2 + ε 3 ） {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{aligned}}} そしてそれをσ1 、 σ 1 = E 1 + ν ε 1 + E ν （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） （ ε 1 + ε 2 + ε 3 ） = 2 μ ε 1 + λ （ ε 1 + ε 2 + ε 3 ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{aligned}}} 、μ とλは ラメ定数 である。
方向2と方向3についても同様の扱いをすることで、3次元におけるフックの法則が得られる。
等方性材料に対するフックの法則は、行列形式で次のように表すことができます。 [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] = [ ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 γ 13 γ 12 ] = 1 E [ 1 − ν − ν 0 0 0 − ν 1 − ν 0 0 0 − ν − ν 1 0 0 0 0 0 0 2 + 2 ν 0 0 0 0 0 0 2 + 2 ν 0 0 0 0 0 0 2 + 2 ν ] [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}} γ ij = 2 ε ij 工学的せん断ひずみ である。逆の関係は次のように表される。 [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] = E （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） [ 1 − ν ν ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 0 0 0 ν ν 1 − ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 ] [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] = [ 2 μ + λ λ λ 0 0 0 λ 2 μ + λ λ 0 0 0 λ λ 2 μ + λ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ ] [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 12 σ 22 σ 23 σ 13 σ 23 σ 33 ] = 2 μ [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 12 ε 22 ε 23 ε 13 ε 23 ε 33 ] + λ 私 （ ε 11 + ε 22 + ε 33 ） {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)} I
平面応力 平面応力 条件下では、 σ 31 = σ 13 = σ 32 = σ 23 = σ 33 = 0[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E 1 − ν 2 [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν 2 ] [ ε 11 ε 22 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
ベクトル表記では、これは [ σ 11 σ 12 σ 12 σ 22 ] = E 1 − ν 2 （ （ 1 − ν ） [ ε 11 ε 12 ε 12 ε 22 ] + ν 私 （ ε 11 + ε 22 ） ） {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}
逆関係は通常、簡約形で表される [ ε 11 ε 22 2 ε 12 ] = 1 E [ 1 − ν 0 − ν 1 0 0 0 2 + 2 ν ] [ σ 11 σ 22 σ 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
平面ひずみ 平面ひずみ 条件下では、 ε 31 = ε 13 = ε 32 = ε 23 = ε 33 = 0[ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E （ 1 + ν ） （ 1 − 2 ν ） [ 1 − ν ν 0 ν 1 − ν 0 0 0 1 − 2 ν 2 ] [ ε 11 ε 22 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
異方性材料 コーシー応力テンソル ( σ ij = σ ji σ ij = c ijkl ε kl c ijkl = c jikl 微小ひずみテンソル の対称性から、 c ijkl = c ijlk cの マイナー対称性 と呼ばれる。これにより、弾性定数の数が 81 個から 36 個に減少する。
さらに、変位勾配とコーシー応力が仕事共役である場合、応力-ひずみ関係はひずみエネルギー密度汎関数（U ）から導出できるとすると、 σ 私 j = ∂ U ∂ ε 私 j ⟹ c 私 j k l = ∂ 2 U ∂ ε 私 j ∂ ε k l 。 {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.} c ijkl = c klij 主要対称性 と呼ばれる。これにより、弾性定数の数が 36 から 21 に減少する。主要対称性と副次対称性から、剛性テンソルには 21 個の独立した成分しかないことがわかる。
フックの法則の異方性形式を、フォークト表記とも呼ばれる行列表記で表すと便利な場合が多い。そのためには、応力テンソルとひずみテンソルの対称性を利用し、それらを直交座標系 ( e 1 , e 2 , e 3 [ σ ] = [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] ≡ [ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] ; [ ε ] = [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] ≡ [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}} c ）は次のように表される。 [ c ] = [ c 1111 c 1122 c 1133 c 1123 c 1131 c 1112 c 2211 c 2222 c 2233 c 2223 c 2231 c 2212 c 3311 c 3322 c 3333 c 3323 c 3331 c 3312 c 2311 c 2322 c 2333 c 2323 c 2331 c 2312 c 3111 c 3122 c 3133 c 3123 c 3131 c 3112 c 1211 c 1222 c 1233 c 1223 c 1231 c 1212 ] ≡ [ C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 ] {\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}
フックの法則は次のように表される。
[ σ ] = [ C ] [ ε ] または σ 私 = C 私 j ε j 。 {\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.} s )は次のように記述できます。 [ s ] = [ s 1111 s 1122 s 1133 2 s 1123 2 s 1131 2 s 1112 s 2211 s 2222 s 2233 2 s 2223 2 s 2231 2 s 2212 s 3311 s 3322 s 3333 2 s 3323 2 s 3331 2 s 3312 2 s 2311 2 s 2322 2 s 2333 4 s 2323 4 s 2331 4 s 2312 2 s 3111 2 s 3122 2 s 3133 4 s 3123 4 s 3131 4 s 3112 2 s 1211 2 s 1222 2 s 1233 4 s 1223 4 s 1231 4 s 1212 ] ≡ [ S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 S 12 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 S 13 S 23 S 33 S 34 S 35 S 36 S 14 S 24 S 34 S 44 S 45 S 46 S 15 S 25 S 35 S 45 S 55 S 56 S 16 S 26 S 36 S 46 S 56 S 66 ] {\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}
座標系の変更 線形弾性材料が基準構成から別の構成に回転する場合、回転した構成の剛性テンソルの成分が基準構成の成分と関係式[ 13 ]
c p q r s = l p 私 l q j l r k l s l c 私 j k l {\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}} l ab は 直交回転行列 [ L ] の成分です。同じ関係は反転についても成り立ちます。
行列表記では、変換された基底（回転または反転）が参照基底と次の関係にある場合
[ e 私 ′ ] = [ L ] [ e 私 ] {\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}
それから
C 私 j ε 私 ε j = C 私 j ′ ε 私 ′ ε j ′ 。 {\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.} さらに、材料が変換[ L ] に関して対称である場合、 C 私 j = C 私 j ′ ⟹ C 私 j （ ε 私 ε j − ε 私 ′ ε j ′ ） = 0 。 {\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.}
直交異方性材料 直交異方性材料は3つの 直交する 対称面を 持つ。基底ベクトル（e 1 、e 2 、e 3
[ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 22 C 23 0 0 0 C 13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 ] [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}} [ 14 ]と表記される。 [ ε x x ε y y ε z z 2 ε y z 2 ε z x 2 ε x y ] = [ 1 E x − ν y x E y − ν z x E z 0 0 0 − ν x y E x 1 E y − ν z y E z 0 0 0 − ν x z E x − ν y z E y 1 E z 0 0 0 0 0 0 1 G y z 0 0 0 0 0 0 1 G z x 0 0 0 0 0 0 1 G x y ] [ σ x x σ y y σ z z σ y z σ z x σ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
E i は軸iに沿った ヤング率 である。G ij は、法線が方向i にある平面上の方向j におけるせん断弾性率 である。ν ij は、方向i に伸張が加えられたときに方向j に収縮が生じる場合に対応するポアソン比 です。平面応力 条件下、σ zz = σ zx = σ yz = 0[ ε x x ε y y 2 ε x y ] = [ 1 E x − ν y x E y 0 − ν x y E x 1 E y 0 0 0 1 G x y ] [ σ x x σ y y σ x y ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.} [ σ x x σ y y σ x y ] = 1 1 − ν x y ν y x [ E x ν y x E x 0 ν x y E y E y 0 0 0 G x y （ 1 − ν x y ν y x ） ] [ ε x x ε y y 2 ε x y ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}
横等方性材料 横等方性材料は、 対称軸を 中心とした回転に関して対称である。このような材料の場合、e 3 [ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 11 C 13 0 0 0 C 13 C 13 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 11 − C 12 2 ] [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}
より頻繁には、x ≡ e 1 [ 15 ] [ ε x x ε y y ε z z 2 ε y z 2 ε z x 2 ε x y ] = [ 1 E x − ν y x E y − ν z x E z 0 0 0 − ν x y E x 1 E y − ν z y E z 0 0 0 − ν x z E x − ν y z E y 1 E z 0 0 0 0 0 0 1 G y z 0 0 0 0 0 0 1 G x z 0 0 0 0 0 0 1 G x y ] [ σ x x σ y y σ z z σ y z σ z x σ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
普遍弾性異方性指数 あらゆるクラスの異方性の程度を把握するために、普遍的な弾性異方性指数 （AU）[ 16 ] 立方晶 に適したゼナー比 に取って代わるものである。
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d84c34fc9efc62922b42a33f888656c62d794b)
![{\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312 }\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36 }\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c8bf05adff9dcaec56f4863dd039fae5986a79)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{または}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0315b5cfc25f83e499fadf8ce4921e11340f8e)
![{\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2 s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36 }\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34760b2d8ef86f720051aebe5a45a65b312bcab6)
![{\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213d0bb55cc1da894c855871790e09d78635c17b)
