圧縮性流れ

圧縮性流れ（または気体力学）は、流体の密度が大幅に変化する流れを扱う流体力学の分野です。すべての流れは圧縮性ですが、マッハ数（流れの速度と音速の比）が0.3未満の場合は通常、流れは非圧縮性として扱われます（その場合、速度による密度の変化は約5％であるため）。 ^[1]圧縮性流れの研究は、高速航空機、ジェットエンジン、ロケットモーター、惑星の大気圏への高速突入、ガスパイプライン、研磨ブラストなどの商業用途、その他多くの分野に関連しています。

気体力学の研究は、現代の高速航空機の飛行や宇宙探査機の大気圏再突入と関連付けられることが多いが、その起源はより単純な機械にある。19世紀初頭、発射された弾丸の挙動の研究は、銃や大砲の精度と性能の向上につながった。^{[2]世紀が進むにつれて、}グスタフ・ド・ラヴァルなどの発明家がこの分野を発展させ、エルンスト・マッハなどの研究者は実験を通じて関連する物理現象を理解しようとした。

20世紀初頭、気体力学研究の焦点は、最終的には航空宇宙産業へと移りました。ルートヴィヒ・プラントルと彼の学生は、境界層から超音速衝撃波、超音速風洞、超音速ノズルの設計に至るまで、重要な概念を提案しました。^{[2]プラントルの学生であった} セオドア・フォン・カルマンは、超音速流の理解を深め続けました。他の著名な人物（マイヤー、ルイジ・クロッコ [it]、アッシャー・シャピロ）も、現代の気体力学の研究の基礎と考えられている原理に大きく貢献しました。他にも多くの人がこの分野に貢献しました。

20 世紀初頭、気体力学の概念的理解が進むにつれて、航空機の到達速度に「音速の壁」と呼ばれる障壁が存在するという誤解が広まりました。実際には、超音速飛行の障壁は単なる技術的な障壁でしたが、克服するのが難しい障壁でした。他の要因の中でも、従来の翼型では、流れが音速に近づくと抗力係数が劇的に増加しました。当時の設計では、より大きな抗力を克服することが困難であることが判明したため、音速の壁があるという認識が生まれました。しかし、航空機の設計は十分に進歩し、ベルX-1が製造されました。チャック イェーガーが操縦したX-1 は、1947 年 10 月に公式に超音速を達成しました。^[3]

歴史的に、気体力学の知識を深めるために、2 つの並行した研究経路がたどられてきました。実験気体力学では、風洞模型の実験、衝撃管や弾道射撃場での実験を行い、光学技術を使用して結果を文書化します。理論気体力学では、密度の異なる気体に適用される運動方程式とその解を検討します。基本的な気体力学の多くは解析的ですが、現代では、計算流体力学では、特定の形状と流れの特性に対する圧縮性流れの非線形偏微分方程式を、計算能力を利用して解きます。

圧縮性流れの基礎理論には、いくつかの重要な仮定が関係しています。すべての流体は分子で構成されていますが、流れ (たとえば大気圧) 内の膨大な数の個々の分子を追跡する必要はありません。代わりに、連続体仮定により、低密度を除いて流れるガスを連続物質として考えることができます。この仮定により、ほとんどのガス力学の問題に当てはまる大幅な単純化が実現します。希薄ガス力学の低密度領域でのみ、個々の分子の動きが重要になります。

関連する仮定は、固体表面での流速が表面自体の速度に等しいと想定される無滑り条件であり、これは連続流を仮定することの直接的な結果です。無滑り条件は流れが粘性であることを意味し、その結果、低速流の場合と同様に、空気中を高速で移動する物体上に境界層が形成されます。

非圧縮性流れの問題のほとんどは、圧力と速度という 2 つの未知数のみを伴います。これらは通常、流体の密度が一定であると仮定して、質量保存と線形運動量保存を記述する 2 つの方程式を解くことによって求められます。ただし、圧縮性流れでは、ガスの密度と温度も変数になります。圧縮性流れの問題を解決するには、ガスの状態方程式とエネルギー保存方程式という 2 つの方程式が必要になります。ガス力学の問題の大部分では、単純な理想気体の法則が適切な状態方程式です。それ以外の場合は、より複雑な状態方程式を考慮する必要があり、いわゆる非理想圧縮性流体力学(NICFD) が確立されます。

流体力学の問題には、ラグランジュとオイラーと呼ばれる 2 種類の参照フレームがあります ( Joseph-Louis LagrangeとLeonhard Eulerを参照)。ラグランジュのアプローチは、流れ場を移動する流体の質量が固定されているのに従います。対照的に、オイラー参照フレームは流体とともに移動しません。むしろ、流体が流れる固定フレームまたは制御ボリュームです。オイラー フレームは、圧縮性流れの問題の大部分で最も役立ちますが、運動方程式を互換性のある形式で記述する必要があります。

最後に、空間は 3 次元であることが知られていますが、1 つの空間次元のみが主に重要である場合、つまり 1 次元の流れを想定する場合、気体力学を数学的に記述する際に重要な簡略化が可能になります。これは、流れの特性が流れに垂直ではなく主に流れの方向に変化するダクト、ノズル、およびディフューザーの流れに適しています。ただし、高速で移動する物体上の外部の流れなど、重要なクラスの圧縮性流れには、少なくとも 2 次元の処理が必要です。3 つの空間次元すべてと、場合によっては時間次元も重要である場合、支配方程式のコンピューターによるソリューションに頼ることがよくあります。

マッハ数(M) は、物体 (または流れ) の速度と音速の比として定義されます。たとえば、室温の空気では、音速は約 340 m/s (1,100 ft/s) です。M は 0 から ∞ までの範囲になりますが、この広い範囲は、いくつかの流れの領域に自然に当てはまります。これらの領域は、亜音速、遷音速、超音速、極超音速、および超高速の流れです。下の図は、これらの流れの領域のマッハ数の「スペクトル」を示しています。

これらの流れの領域は恣意的に選択されるのではなく、圧縮性流れの根底にある強力な数学的背景から自然に生じるものです (引用した参考文献を参照)。非常に遅い流れの速度では、音速は非常に速いため数学的に無視され、マッハ数は無関係になります。しかし、流れの速度が音速に近づくと、マッハ数が非常に重要になり、衝撃波が現れ始めます。したがって、遷音速領域は異なる (そしてはるかに複雑な) 数学的処理によって記述されます。超音速領域では、流れはマッハ角に類似した斜めの角度での波動によって支配されます。マッハ 5 を超えると、これらの波角は非常に小さくなるため、極超音速速度領域を定義する別の数学的アプローチが必要になります。最後に、軌道から惑星の大気圏に突入する速度に匹敵する数 km/s の範囲では、音速は比較的非常に遅くなるため、超高速領域では再び数学的に無視されます。

物体がガス中で亜音速から超音速へと加速すると、さまざまな種類の波動現象が発生します。これらの変化を説明するために、次の図は、対称的な音波を発する静止点 (M = 0) を示しています。均一な流体では音速はすべての方向で同じであるため、これらの波は単なる同心球です。音波発生点が加速し始めると、音波は移動方向に「集まり」、反対方向に「伸び」ます。点が音速 (M = 1) に達すると、発生させた音波と同じ速度で移動します。したがって、これらの音波は無限に点の前に「積み重なり」、衝撃波を形成します。超音速に達すると、粒子は非常に速く移動するため、音波が絶えず後ろに残ります。これが発生すると、点の後ろをたどるこれらの波の軌跡は、マッハ波角またはマッハ角 μ と呼ばれる角度を作成します。

${\displaystyle \mu =\arcsin \left({\frac {a}{V}}\right)=\arcsin \left({\frac {1}{M}}\right)}$

ここで はガス中の音速、 は物体の速度を表します。オーストリアの物理学者エルンスト・マッハにちなんで名付けられましたが、これらの斜め波はクリスチャン・ドップラーによって最初に発見されました。^[4]${\displaystyle a}$${\displaystyle V}$

1 次元 (1-D) フローとは、ダクトまたはチャネルを通るガスの流れのことで、その流れのパラメータは、ダクトの長さという 1 つの空間次元に沿ってのみ大きく変化すると想定されます。1-D チャネル フローを解析する場合、いくつかの仮定が立てられます。

• ダクトの長さと幅の比（L/D）は約5以下（摩擦と熱伝達を無視するため）
• 定常流と非定常流、
• 流れは等エントロピー（すなわち可逆断熱過程）である。
• 理想気体の法則（すなわち P = ρRT）

流れの速度が亜音速から超音速領域に加速すると、ノズルとディフューザーの流れの物理的性質が変化します。流体力学と熱力学の保存則を使用すると、チャネルの流れについて次の関係が導き出されます (質量と運動量の複合保存則)。

${\displaystyle dP\left(1-M^{2}\right)=\rho V^{2}\left({\frac {dA}{A}}\right)}$、

ここで、dP は圧力差、M はマッハ数、ρ はガスの密度、V は流れの速度、A はダクトの面積、dA はダクトの面積の変化です。この式は、亜音速流の場合、収束ダクト (dA < 0) は流れの速度を上げ、発散ダクト (dA > 0) は流れの速度を下げることを示しています。超音速流の場合、(1 − M ² ) の符号が変わるため、逆のことが起こります。収束ダクト (dA < 0) は流れの速度を下げ、発散ダクト (dA > 0) は流れの速度を上げます。マッハ = 1 では、ダクト面積が最大または最小になる特殊なケースが発生します。実際には、最小面積だけがマッハ 1 以上に流れを加速できます。亜超音速ディフューザーとノズルの表を参照してください。

したがって、流れをマッハ 1 まで加速するには、ノズルを最小断面積に収束してから拡大するように設計する必要があります。このタイプのノズル (収束-拡大ノズル) は、発明者であるグスタフ・ド・ラバルにちなんで、ド・ラバル ノズルと呼ばれています。亜音速の流れが収束ダクトに入り、面積が減少すると、流れは加速します。ダクトの最小面積 (ノズルのスロートとも呼ばれます) に達すると、流れはマッハ 1 に到達できます。流れの速度がさらに増加する場合、質量保存則に従うために密度が低下しなければなりません。この密度の低下を実現するには、流れが拡大する必要があり、そのためには、流れが拡大ダクトを通過する必要があります。ド・ラバル ノズルの画像を参照してください。

最終的には、エネルギー保存の法則により、ガスはエネルギー含有量に基づいて特定の最大速度に制限されます。ガスが達成できる 最大速度V _{max は次のとおりです。}

${\displaystyle V_{\text{max}}={\sqrt {2c_{p}T_{t}}}}$

ここで、c _{p は}ガスの比熱、T _{t は}流れの よどみ点温度です。

保存則と熱力学を用いると、次のような関係式がいくつか考えられます。

${\displaystyle {\frac {{\text{property}}_{1}}{{\text{property}}_{2}}}=f(M,\gamma )}$

が得られます。ここで、M はマッハ数、γ は比熱比 (空気の場合は 1.4) です。等エントロピー流マッハ数の関係の表を参照してください。

前述のように、流れが超音速になるためには、最小面積、つまり音速スロートを持つダクトを通過する必要があります。さらに、マッハ 1 を達成するには、全体の圧力比 P _b /P _tが約 2 である必要があります。マッハ 1 に達すると、スロートでの流れはチョーク状態にあると言われます。下流の変化は音速でのみ上流に伝わるため、流れがチョーク状態になった後は、ノズルを通る質量流量は下流条件の変化の影響を受けません。

垂直衝撃波は、局所的な流れの方向に対して垂直な衝撃波です。これらの衝撃波は、圧力波が蓄積して非常に薄い衝撃波に合体し、運動エネルギーが熱エネルギーに変換されるときに発生します。このようにして、波は互いに追いついて強め合い、無限の一連の微小音波から有限の衝撃波を形成します。衝撃波全体の状態変化は極めて不可逆的であるため、衝撃波全体でエントロピーが増加します。垂直衝撃波を解析する場合、完全気体の 1 次元の安定した断熱流が想定されます。よどみ点温度とよどみ点エンタルピーは、衝撃波の上流と下流で同じです。

垂直衝撃波は、定常垂直衝撃波と移動衝撃波の 2 つの参照フレームのいずれかで簡単に分析できます。垂直衝撃波の前の流れは超音速でなければならず、垂直衝撃波の後の流れは亜音速でなければなりません。流れの条件を解くには、Rankine-Hugoniot 方程式が使用されます。

1 次元の流れは直接解析できますが、2 次元の流れの特殊なケースにすぎません。したがって、1 次元の流れを定義する現象の 1 つである垂直衝撃波も、同様に、より大きなクラスの斜め衝撃波の特殊なケースにすぎません。さらに、「垂直」という名前は、発生頻度ではなく、形状に関するものです。斜め衝撃波は、航空機の空気取り入れ口の設計、超音速飛行中の物体、および (より基本的なレベルでは) 超音速ノズルとディフューザーなどの用途でより一般的です。流れの状態に応じて、斜め衝撃波は流れに付着するか、またはバウショックの形で流れから分離されます。

斜め衝撃波は通常の衝撃波に似ていますが、流れの方向に対して 90° 未満の角度で発生します。流れに非ゼロの角度 (δ) で乱れが導入されると、流れは変化する境界条件に応答する必要があります。そのため、斜めの衝撃波が形成され、流れの方向が変わります。

流れの偏向レベル (δ) に基づいて、斜めの衝撃波は強いか弱いかに分類されます。強い衝撃波は、衝撃波全体の偏向が大きく、エントロピー損失が大きいのが特徴で、弱い衝撃波はその逆です。これらの衝撃波の違いをざっと把握するには、衝撃波の極座標図を使用することができます。衝撃波後の静温度 T* がわかっている場合、衝撃波後の音速は次のように定義されます。

${\displaystyle A^{*}={\sqrt {\gamma RT^{*}}}}$

ここで、Rは気体定数、γは比熱比である。マッハ数は直交座標に分解できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{2x}^{*}&={\frac {V_{x}}{a^{*}}}\\M_{2y}^{*}&={\frac {V_{y}}{a^{*}}}\end{aligned}}}$

ここで、V _xと V _yは、流体速度 V の x 成分と y 成分です。衝撃前のマッハ数が与えられれば、条件の軌跡を指定​​できます。ある δ _maxで、流れは強い斜めの衝撃から弱い斜めの衝撃に移行します。δ = 0° の場合、強い斜めの衝撃の限界で通常の衝撃が生成され、弱い衝撃波の限界でマッハ波が生成されます。

衝撃波の傾斜により、斜め衝撃波が生成されると、3 つの異なる方法で境界と相互作用する可能性があります。そのうちの 2 つを以下で説明します。

流入する流れは、まず流れに対して角度 δ だけ回転します。この衝撃波は固体境界で反射され、流れは - δ だけ回転して再び境界と平行になります。進行する衝撃波はそれぞれ弱くなり、波の角度は大きくなります。

不規則反射は、δ が最大許容回転角度より大きいという注意点を除けば、上記の場合とほぼ同じです。したがって、分離衝撃波が形成され、マッハ反射と呼ばれるより複雑な反射が発生します。

プラントル マイヤー ファンは、圧縮ファンと膨張ファンの両方として表現できます。プラントル マイヤー ファンは境界層 (つまり、流動と固体) も横切り、これもまた異なる変化で反応します。衝撃波が固体表面に当たると、結果として生じるファンは反対のファミリーのファンとして戻りますが、自由境界に当たると、ファンは反対のタイプのファンとして戻ります。

これまで議論されてきた唯一の流れの現象は、流れを遅くし、エントロピーを増加させる衝撃波です。ルートヴィヒ・プラントルとセオドア・マイヤーにちなんでプラントル・マイヤー膨張ファンと呼ばれるものでは、超音速の流れを加速することができます。膨張のメカニズムを下の図に示します。

流れが傾斜した障害物に遭遇して斜めの衝撃波を形成するのとは対照的に、流れは凸状の角の周りで拡大し、一連の等エントロピーマッハ波によって膨張ファンを形成します。膨張「ファン」は、最初のマッハ角から最後のマッハ角まで広がるマッハ波で構成されます。マッハ数の増加は通路の凸角 (δ) のみに比例するため、流れは鋭角または丸角のどちらの角でも均等に拡大できます。プラントル・マイヤーファンを生成する膨張コーナーは、鋭角 (図に示すように) または丸角にすることができます。合計回転角度が同じであれば、PM フローのソリューションも同じです。

プラントル・マイヤー膨張は、ラバルノズルの動作の物理的な説明として考えることができます。ノズルの輪郭は、滑らかで連続した一連のプラントル・マイヤー膨張波を作り出します。

プラントル・マイヤー圧縮は、プラントル・マイヤー膨張の逆の現象です。流れが徐々に角度 δ に回転すると、圧縮ファンが形成されます。このファンは一連のマッハ波で、最終的に斜めの衝撃波に合体します。流れは等エントロピー領域 (ファンを通過する流れ) と非エントロピー領域 (斜めの衝撃波を通過する流れ) によって定義されるため、2 つの流れ領域の間に滑り線が生じます。

超音速風洞は、マッハ数約 1.2 ～ 5 の範囲の超音速流のテストと研究に使用されます。風洞の動作原理は、上流と下流で大きな圧力差を維持し、流れを駆動することです。

風洞は、連続動作型と断続動作型の 2 つのカテゴリに分けられます。連続動作型超音速風洞には、テスト セクションのサイズに応じて大幅に増加する独立した電源が必要です。断続動作型超音速風洞は、長期間にわたって電気エネルギーを蓄積し、一連の短いテストでエネルギーを放出するため、コストが低くなります。この 2 つの違いは、バッテリーとコンデンサの比較に似ています。

ブローダウン型超音速風洞は、レイノルズ数が高く、貯蔵タンクが小さく、乾燥空気が容易に入手できるという利点がありますが、高圧の危険性があり、一定のよどみ圧を維持するのが難しく、運転中に騒音が発生します。

吸気超音速風洞は圧力の危険性がなく、一定のよどみ圧を許容し、比較的静かです。残念ながら、流れのレイノルズ数の範囲が限られており、大きな真空タンクが必要です。

超音速風洞での研究とテストを通じて知識が得られることに異論はありません。しかし、テスト条件に必要な大きな圧力比を維持するために、施設では多くの場合、膨大な電力が必要になります。たとえば、アーノルド エンジニアリング開発コンプレックスには世界最大の超音速風洞があり、その稼働には小さな都市の照明に必要な電力が必要です。このため、大学で大型の風洞が使用されることは少なくなっています。

おそらく、斜め衝撃波の最も一般的な要件は、マッハ 2 を超える速度の超音速航空機の吸気口です (F-16 の最高速度はマッハ 2 ですが、斜め衝撃波吸気口は必要ありません)。吸気口の目的の 1 つは、超音速で流入する空気がターボジェット エンジンに入る前に亜音速まで減速するため、衝撃波による損失を最小限に抑えることです。これは、1 つ以上の斜め衝撃波の後に非常に弱い垂直衝撃波 (上流マッハ数は通常 1.4 未満) を当てることで実現します。吸気口を通る気流は、ゼロから最大超音速までの広い速度範囲にわたって適切に管理する必要があります。これは、吸気面の位置を変えることで実現します。

離陸からマッハ 2 を超える速度まで許容できる性能を達成するには可変ジオメトリが必要ですが、それを実現する唯一の方法はありません。たとえば、最大速度約マッハ 3 の場合、XB-70では調整可能なランプを備えた長方形の吸気口を使用し、SR-71では調整可能な吸気コーンを備えた円形の吸気口を使用しました。

• 非圧縮流れ
• 保全法
• エントロピ
• 状態方程式
• ガス動力学
• 熱容量比
• 等エントロピーノズル流
• 流れ場のラグランジアンとオイラーの指定
• プラントル・マイヤー関数
• 熱力学、特に「一般的に考えられる熱力学的過程」と「熱力学の法則」
• 非理想的な圧縮性流体力学

• リープマン、ハンス W.; ロシュコ、A. (1957) [1957].気体力学の要素.ドーバー出版. ISBN 0-486-41963-0。
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• アンダーソン、ジョン・D・ジュニア（2000）[1989]。極超音速および高温ガス力学。AIAA。ISBN 1-56347-459-X。

• NASA 圧縮性空気力学初心者ガイド
• バージニア工科大学の圧縮性フロー計算機
• [1]