双極子

物理学において、双極子（古代ギリシャ語のδίς（dís）「2回」とπόλος（pólos）「軸」に由来）^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}は、2つの方法で発生する電磁現象である。  

• 正電荷と負電荷の分離によって形成される電気双極子（典型的には原子系や分子系において見られる）。
• 磁気双極子とは、原子、分子、電子などによる、十分に小さな磁石のことである。

電気双極子であれ磁気双極子であれ、その強さはベクトル量である双極子モーメントによって特徴づけられます。電気双極子は電場を生成し、電場内でその電気双極子モーメントに比例する力とトルクを受けます。磁場を持つ磁気双極子についても同様です。さらに、磁気双極子の式は電気双極子の式とほぼ同じです。

電気双極子は、通常、わずかな距離で隔てられた、等しいが反対の電荷のペアで表されます。電気双極子モーメントは、負電荷から正電荷に向かっており、その大きさは各電荷の強さと電荷間の距離の積に等しくなります。^{[注1 ]}磁気双極子は、通常、一定電流のループとしてモデル化されます。^{[ 4 ] [ 5 ]}磁気双極子モーメントは、ループを通る方向（右手の法則による）を向いており、その大きさはループ内の電流とループの面積の積に等しくなります。

電磁気学では、電場と磁場の計算は、まずスカラーポテンシャルΦとベクトルポテンシャルAをそれぞれ計算することで簡略化されることが多い。

原点にある電気双極子による位置rにおける静電ポテンシャルは、次式で与えられる。

$${\displaystyle \Phi _{dip}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}},}$$ ここで、pは電気双極子モーメント、ε ₀は真空の誘電率です。この項は、任意の静電ポテンシャルΦの多重極展開の第 2 項として現れます。正味電荷がない場合 (かつp ≠ 0の場合)は、遠距離でこの項が支配的になります。

原点における磁気双極子モーメントmの位置rにおけるベクトルポテンシャルAの_{落ち込みは}

$${\displaystyle \mathbf {A} _{dip}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}},}$$

ここで、μ₀_は自由空間の透磁率である。この項は、任意のベクトルポテンシャルAを、それを生成した電流密度Jで表した多重極展開において、第2項（最初の非ゼロ項）として現れる。m ≠ 0の場合、この項は遠距離で支配的となる。

原点にある双極子モーメントが電気双極子の場合はp、磁気双極子の場合はmである双極子による、位置rにおける電場E _dipと磁場B _dipは、それぞれスカラー電位Φ _dipとベクトル電位A _dipから次のように決定できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{dip}&=-\nabla \Phi _{dip}&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{r^{3}}}\,&-\,\delta ^{3}(\mathbf {r} ){\frac {\mathbf {p} }{3\varepsilon _{0}}},\\\mathbf {B} _{dip}&=\;\;\nabla \times \mathbf {A} _{dip}&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} }{r^{3}}}\,&+\,\delta ^{3}(\mathbf {r} ){\frac {2\mu _{0}\mathbf {m} }{3}},\end{整列}}}$$

ここで、_ε₀は真空の誘電率、μ₀_は真空の透磁率（いずれも定数）です。方程式の最後の項（ディラックのデルタ関数を含む）は原点でのみ寄与し、ほとんどの場合無視できます。最後の項を除いて、2つの方程式はほぼ同じであるため、類似点があることに注目してください。

これらの式は、点（理想）双極子の電場、任意の電場の多重極展開における双極子項、そして遠距離におけるあらゆる双極子状配置の電場をそれぞれ正確に表しています。実際の（物理的な）双極子の電場はどこでも連続であり、原点付近では異なります。デルタ関数は、電気双極子の場合（磁気双極子の場合）に点電荷間で反対方向を向く強い電場を表しますが、双極子の位置における電場に関心を持つことは稀であるため、しばしば省略されます。

双極子の内部磁場に関する詳細な議論については、^{[ 5 ] [ 7 ]}または「磁気モーメント§ 双極子の内部磁場」を参照してください。

電場の方向は正電荷に働く力の方向として定義されるため、電場線は正電荷から離れる方向、負電荷に向かう方向を向いている。

均一な電場または磁場中に置かれると、双極子の両側に等しく反対向きの力が生じ、トルクτが発生します。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$$電気双極子モーメントp（クーロンメートル単位） の場合、または$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} }$$磁気双極子モーメントm（アンペア平方メートル単位） の場合。

結果として生じるトルクは、双極子を印加された電場に沿わせる傾向があり、電気双極子の場合、位置エネルギーは $${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} .}$$

磁気双極子のエネルギーも同様に $${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} .}$$

電気双極子モーメントは、外部電場が存在する場合の物質の挙動を決定づける要因である。双極子は、一定の場合も時間依存の場合もある外部電場に沿って整列する傾向がある。この効果は、誘電分光法と呼ばれる現代的な実験手法の基礎となっている。

双極子モーメントは、水などの一般的な分子や、タンパク質などの生体分子にも見られます。これは、さまざまな原子上の正電荷と負電荷の分布が不均一であるためです。^{[ 8 ]}したがって、分子の双極子は、磁場を生成する磁気双極子と混同してはならない、固有の電場を持つ電気双極子です。物理化学者のピーター・J・W・デバイは、分子双極子を広範囲に研究した最初の科学者であり、その結果、双極子モーメントは、彼の名誉を称えてデバイと呼ばれる非SI単位で測定されます。

分子には3種類の双極子が存在する。

永久双極子

これは、分子内の2つの原子の電気陰性度 が大きく異なる場合に発生します。一方の原子は他方の原子よりも電子を引き付けやすく、より負に帯電し、他方の原子はより正に帯電します。永久双極子モーメントを持つ分子は極性分子と呼ばれます。分子間力 § 双極子-双極子相互作用を参照してください。

瞬間双極子

これらは、分子内で電子が偶然ある場所に他の場所よりも集中することで一時的な双極子が形成されることによって発生します。これらの双極子は永久双極子よりも大きさは小さいですが、その普遍性から化学や生化学において重要な役割を果たしています。瞬間双極子も参照してください。

誘導双極子

これは、永久双極子を持つ分子が別の分子の電子を反発し、その分子に双極子モーメントを誘起するときに起こります。分子は、誘起双極子を持つときに分極します。誘起双極子引力を参照してください。

電子構造理論から双極子モーメントを計算することは可能であり、これは一定の電場に対する応答として、または密度行列から行うことができる。^{[ 9 ]}しかし、このような値は、アンモニア分子のような単純な系でも大きな影響を与える可能性のある核量子効果が存在する可能性があるため、実験値と直接比較することはできない。^{[ 10 ]}結合クラスター理論（特にCCSD(T) ^{[ 11 ]}）は非常に正確な双極子モーメントを与えることができるが、^{[ 12 ]}特にハイブリッドまたはダブルハイブリッド汎関数が使用される場合、密度汎関数理論から妥当な推定値（約5%以内）を得ることも可能である。^{[ 13 ]}分子の双極子モーメントは、グループ寄与法の概念を使用して分子構造に基づいて計算することもできる。^{[ 14 ]}

ある物質の全双極子モーメントを用いることで、誘電率を計算することができる。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\rm {Tot}}}$は試料の全双極子モーメントであり、誘電率は次式で与えられる。 $${\displaystyle \varepsilon =1+k\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle }$$ ここでkは定数であり、${\displaystyle \left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0){\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0)\right\rangle }$は全双極子モーメントの時間相関関数です。一般に、全双極子モーメントには、サンプル中の分子の並進運動と回転運動からの寄与があります。 $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}={\mathcal {M}}_{\text{Trans}}+{\mathcal {M}}_{\text{Rot}}.}$$

したがって、誘電率には両方の項からの寄与がある。このアプローチは、周波数依存誘電関数を計算するために一般化することができる。^{[ 15 ]}

あるいは、特定の材料の誘電率の測定値から、その材料の電気双極子モーメントの値を計算することもできる。

電荷q _iと位置ベクトルr _iを持つN個の粒子の集合を考えます。たとえば、この集合は、電荷− eを持つ電子と、電荷eZ _iを持つ原子核からなる分子である可能性があります。ここで、Z _iはi番目の原子核の原子番号です。双極子観測量 (物理量) は、量子力学的双極子演算子を持ちます。^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}\,.}$$

この定義は中性原子または分子、すなわち総電荷がゼロの場合にのみ有効であることに注意してください。^{[ 16 ]}イオン化の場合、次のようになります 。$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{c}),}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {r} _{c}}$は分子/粒子群の重心である。^{[ 17 ]}

非縮退（S状態）原子は、永久双極子モーメントがゼロの場合のみ存在します。この事実は、原子の反転対称性から量子力学的に導かれます。双極子演算子の3つの成分はすべて、原子核に関して 反転に対して反対称です。$${\displaystyle {\mathfrak {I}}\;{\mathfrak {p}}\;{\mathfrak {I}}^{-1}=-{\mathfrak {p}},}$$ どこ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$は双極子演算子であり、${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$は反転演算子です。

非縮退状態にある原子の永久双極子モーメント（縮退エネルギー準位を参照）は、双極子演算子の期待値（平均値）として与えられます。 $${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle S\right|{\mathfrak {p}}\left|S\right\rangle ,}$$ どこ${\displaystyle \left|S\right\rangle }$は、反転に対して対称または反対称である、S状態の非縮退波動関数である。${\displaystyle {\mathfrak {I}}\left|S\right\rangle =\pm \left|S\right\rangle }$波動関数（ケット内）とその複素共役（ブラ内）の積は常に反転とその逆に関して対称であるため、 $${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =\left\langle {\mathfrak {I}}^{-1}S\right|{\mathfrak {p}}\left|{\mathfrak {I}}^{-1}S\right\rangle =\left\langle S\right|{\mathfrak {I}}\,{\mathfrak {p}}\,{\mathfrak {I}}^{-1}\left|S\right\rangle =-\left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle }$$ したがって、期待値は反転によって符号が変わる。ここで使用した事実は、${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$は対称性演算子であるため、ユニタリである。${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{-1}={\mathfrak {I}}^{*}\,}$そして定義によりエルミート随伴${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{*}\,}$ブラジャーからケットに移動して、${\displaystyle {\mathfrak {I}}^{**}={\mathfrak {I}}\,}$マイナスに等しい唯一の量はゼロなので、期待値はゼロになります。 $${\displaystyle \left\langle {\mathfrak {p}}\right\rangle =0.}$$

エネルギー準位が縮退した開殻原子の場合、一次シュタルク効果を利用して双極子モーメントを定義することができます。縮退したエネルギーに属する波動関数の一部が反対のパリティを持つ場合、つまり反転に対して異なる振る舞いをする場合のみ、双極子モーメントはゼロにならない（定義上、ゼロにならない一次シュタルクシフトに比例する）ことになります。これはまれなケースですが、励起状態の水素原子では、2s状態と2p状態が「偶然」縮退しており（この縮退の原因については、ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルの記事を参照）、パリティが反対（2sが偶数、2pが奇数）であるため、このような現象が起こります。

分子内原子の量子論 (QTAIM) ^{[ 18 ] [ 19 ]}では、原子双極子モーメントは、電子密度の勾配ベクトル場のゼロフラックス面によって境界付けられた原子盆に分子または結晶を分割することによって、電子密度から定義されます。原子双極子は、(1) 原子盆自体の固有分極、これは原子核に対する電子電荷重心の変位に対応し、(2) 隣接する原子と共有される原子間表面を横切る電子電荷の移動から生じる電荷移動寄与の 2 つの寄与から構成されます。このようにして、分子または結晶の全双極子モーメントは完全に加算可能であり、すべての原子寄与の合計に等しくなり、それによって分子および固体における分極の実空間分解が提供されます^{[ 20 ] [ 21 ]}。

静電気学における双極子に加えて、時間的に振動する電気双極子または磁気双極子を考慮することも一般的である。これは球面波放射の拡張、あるいはより物理的な次の段階と言える。

特に、角周波数ωで調和振動する電気双極子を考えます。双極子モーメントp₀_はẑ方向に沿って次の形式を とります。$${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {p} (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}=p_{0}{\hat {\mathbf {z} }}e^{-i\omega t}.}$$

真空中では、この振動する双極子によって生成される正確な電場は、遅延電位の定式化を用いて次のように導出できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}\left({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \right)\times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left(3{\hat {\mathbf {r} }}\left[{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} \right]-\mathbf {p} \right)\right]e^{i\omega (r/c-t)}\\[1ex]\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}.\end{aligned}}}$$

⁠ rω / c ⁠ ≫ 1の場合、遠方場は放射する「球面」波のより単純な形をとりますが、外積に角度依存性が埋め込まれています。^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}\\[0.4ex]&={\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}({\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {z} }}){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi c}}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\[1ex]\mathbf {E} &=c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}\\[0.4ex]&=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta )\left({\hat {\boldsymbol {\phi }}}\times \mathbf {\hat {r}} \right){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}=-{\frac {\omega ^{2}\mu _{0}p_{0}}{4\pi }}\sin(\theta ){\frac {e^{i\omega (r/c-t)}}{r}}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$$

時間平均ポインティングベクトル$${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {\mu _{0}p_{0}^{2}\omega ^{4}}{32\pi ^{2}c}}\,{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$ 非球面的な電場と磁場の影響により、等方的に分布するのではなく、双極子モーメントに垂直な方向に集中して分布する。実際、このようなトーラス状の角度分布を引き起こす球面調和関数（sin θ ）は、まさにl = 1の「p」波である。  

電界から放射される全時間平均電力は、ポインティングベクトルから次のように導出できる。 $${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}p_{0}^{2}}{12\pi c}}.}$$

放射の周波数の4乗に対する電力の依存性はレイリー散乱と一致しており、空が主に青色である根本的な理由もそこにあります。

円偏光双極子は、2つの直線双極子の重ね合わせとして記述される。

• 米国地質調査所（USGS）地磁気プログラム
• 力場（Fields of Force）は、2010年12月14日にWayback Machineにアーカイブされました。これはオンライン教科書の一章です。
• スティーブン・ウルフラムによる電気双極子ポテンシャルとフランツ・クラフトによる磁気双極子のエネルギー密度。ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。