束縛状態

束縛状態とは、粒子、原子、物体などの2つ以上の基本的な構成要素が組み合わさって単一の物体として振る舞い、それらを分離するにはエネルギーが必要となる状態のことである。^{[ 1 ]}

量子物理学において、束縛状態とは、粒子が空間の 1 つ以上の領域に局在する傾向を持つようなポテンシャルを受ける粒子の量子状態のことである。 ^{[ 2 ]}ポテンシャルは外部のものかもしれないし、別の粒子の存在の結果であるかもしれない。後者の場合、束縛状態は、相互作用エネルギーが各粒子の個々のエネルギーの合計を超える 2 つ以上の粒子を表す状態として等価に定義できる。その結果として、無限遠でゼロになるポテンシャルが与えられた場合、負のエネルギー状態は束縛状態である必要がある。束縛状態の集合のエネルギー スペクトルは、連続スペクトルを持つ自由粒子の散乱状態とは異なり、ほとんどの場合離散的である。

厳密には束縛状態ではないが、正味の正の相互作用エネルギーを持ち、崩壊時間が長い準安定状態も不安定な束縛状態とみなされることが多く、「準束縛状態」と呼ばれる。^{[ 3 ]}例としては、放射性核種やリュードベリ原子などが挙げられる。^{[ 4 ]}

相対論的量子場理論では、質量を持つn個の粒子の安定な束縛状態は、${\displaystyle \{m_{k}\}_{k=1}^{n}}$は、重心エネルギーが以下のS行列の極に対応します。${\displaystyle \textstyle \sum _{k}m_{k}}$不安定な束縛状態は、複素重心エネルギーを持つ極として現れる。

• 陽子と電子は別々に運動することができ、その場合、重心系全体のエネルギーは正となり、このような粒子のペアはイオン化された原子として記述できます。電子が陽子の周りを「軌道運動」し始めると、エネルギーは負になり、束縛状態、すなわち水素原子が形成されます。最もエネルギーの低い束縛状態である基底状態のみが安定です。他の励起状態は不安定であり、光子を放出して、よりエネルギーの低い安定な（ただし、他の不安定な）束縛状態に崩壊します。  
• ポジトロニウム「原子」は、電子と陽電子が不安定に結合した状態であり、光子に崩壊する。
• 量子調和振動子のどの状態も束縛状態ですが、正のエネルギーを持っています。${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty }$したがって、以下は 適用されません。
• 原子核とは、陽子と中性子（核子）が束縛された状態である。
• 陽子自体は3つのクォーク（アップクォーク2個とダウンクォーク1個、赤、緑、青のクォーク各1個）が束縛された状態である。しかし、水素原子の場合とは異なり、個々のクォークを分離することは決してできない。閉じ込めを参照のこと。
• ハバードモデルとジェインズ・カミングス・ハバード（JCH）モデルは、同様の束縛状態をサポートします。ハバードモデルでは、2つの反発するボソン原子が光格子内で束縛ペアを形成できます。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} JCHハミルトニアンも、光子と原子の相互作用が十分に強い場合、2つのポラリトン束縛状態をサポートします。^{[ 8 ]}

σ-有限測度空間とする${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$分離可能な複素ヒルベルト空間に関連付けられた確率空間である${\displaystyle H}$1パラメータのユニタリ演算子のグループを定義する${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$密度演算子${\displaystyle \rho =\rho (t_{0})}$そして観測可能な${\displaystyle T}$の上${\displaystyle H}$。 させて${\displaystyle \mu (T,\rho )}$誘導確率分布は${\displaystyle T}$に関して${\displaystyle \rho }$そして進化

${\displaystyle \rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)}$

に関して拘束される${\displaystyle T}$もし

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0}$、

どこ${\displaystyle \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace }$[ ^{9 ]​}

量子粒子は、いかなる時点においても有限領域から「遠すぎる」ことが見られない場合に束縛状態にある。${\displaystyle R\subset X}$波動関数表現を用いると、例えば、これは^{[ 10 ]}を意味する。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{粒子が }}X\setminus R 内で測定された)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}}$

そのため

${\displaystyle \int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .}$

一般に、量子状態は、すべての時間に対して有限に正規化可能である場合に限り、束縛状態である。$\displaystyle t\in \mathbb {R} }$そして空間的に局在したままである。^{[ 11 ]}さらに、束縛状態はスペクトルの純点部分内に存在する。${\displaystyle T}$それがの固有ベクトルである場合に限り${\displaystyle T}$[ ^{12 ]​}

より非公式に言えば、「有界性」は、観察可能なものよりも、定義領域の選択と状態の特性から主に生じる。^{[注1 ]}具体的な例として、${\displaystyle H:=L^{2}(\mathbb {R} )}$そして${\displaystyle T}$位置演算子とする。コンパクトにサポートされている${\displaystyle \rho =\rho (0)\in H}$そして${\displaystyle [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )}$。

• 状態進化${\displaystyle \rho }$「この波束を右に移動させる」、例えば、${\displaystyle [t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))}$すべての人々のために$t ≥ 0$、 それから${\displaystyle \rho }$位置に関して束縛状態ではない。
• もし${\displaystyle \rho }$時間とともに変化しない、つまり、${\displaystyle \rho (t)=\rho }$すべての人々のために$t ≥ 0$、 それから${\displaystyle \rho }$位置に関して拘束される。
• より一般的には:${\displaystyle \rho }$「ただ動くだけ」${\displaystyle \rho }$境界領域内」の場合、${\displaystyle \rho }$位置に関して拘束される。

有限正規化可能な状態はスペクトルの純点部分に存在する必要があるため、束縛状態も純点部分に存在する必要があります。しかし、ノイマンとウィグナーが指摘したように、束縛状態のエネルギーがスペクトルの連続部分に存在する可能性があります。この現象は、連続体中の束縛状態と呼ばれます。^{[ 13 ] [ 14 ]}

質量m _χを持つボソンが弱く結合した相互作用を媒介すると、湯川型相互作用ポテンシャルが生成されます。

${\displaystyle V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}}$、

どこ${\displaystyle \alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi }$ここで、gはゲージ結合定数、ƛ _i = ℏ / m i _cは換算コンプトン波長です。スカラーボソンは普遍的に引力ポテンシャルを生成しますが、ベクトルボソンは粒子を反粒子に引き付けますが、同種の粒子同士は反発します。質量m ₁とm ₂の 2 つの粒子の場合、系のボーア半径は次のようになります。

${\displaystyle a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}}$

そして無次元数が得られる

${\displaystyle D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}}$。

最初の束縛状態が存在するためには、${\displaystyle D\gtrsim 0.8}$光子は質量がないため、電磁気学ではDは無限大になります。弱い相互作用の場合、Z ボソンの質量は91.1876 ± 0.0021  GeV/ c ²であり、これはほとんどの粒子間の束縛状態の形成を妨げます。 陽子の質量の97.2倍で 電子の質量の17万8000倍。

ただし、ヒッグス相互作用が電弱スケールで電弱対称性を破らない場合、SU(2)の弱い相互作用は閉じ込められることになることに注意してください。^{[ 17 ]}

• ベテ・サルピーター方程式
• 連続体における束縛状態
• 複合フィールド
• 銅ペア
• エキシトン
• 共鳴（素粒子物理学）
• レビンソンの定理

• ブランシャール、フィリップ；ブリューニング、エドワード（2015）。「スペクトル表現のいくつかの応用」。物理学における数学的手法：分布、ヒルベルト空間演算子、変分法、および量子物理学への応用（第2 版）。スイス：シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング。p.  431。ISBN 978-3-319-14044-5。