多極展開

多重極展開は、角度に依存する関数を表す数学的な級数です。角度は通常、 3 次元ユークリッド空間、の球面座標系で使用される 2 つの角度(極角と方位角) です。テイラー級数と同様に、多重極展開は、多くの場合、最初の数項だけで元の関数の良好な近似値が得られるため便利です。展開される関数は、実数値または複素数値であり、 上で定義されるか、またはそれほど一般的ではありませんが、他の に対して上で定義されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

多重極展開は電磁場や重力場の研究では頻繁に使用され、離れた点の場は小さな領域内の発生源によって表されます。角度による多重極展開は、半径による展開と組み合わせられることがよくあります。このような組み合わせにより、3次元空間全体の関数を記述する展開が得られます。^[1]

多重極展開は、次第に細かくなる角度特性（モーメント）を持つ項の合計として表現される。最初（ゼロ次）の項は単極子モーメント、2番目（1次）の項は双極子モーメント、3番目（2次）の項は四極子モーメント、4番目（3次）の項は八極子モーメントなどと呼ばれる。ギリシャ数字の接頭辞の制限があるため、高次の項は慣例的に極の数に「-極」を追加して命名される。たとえば、32極（まれにドトリアコンタポールまたはトリアコンタダイポール）や64極（まれにテトラヘキサコンタポールまたはヘキサコンタテトラポール）など。^{[2] [3] [4]}多重極モーメントには通常、原点までの距離の累乗（または逆累乗）と、ある程度の角度依存性が含まれる。

原則として、多極展開は電位の正確な記述を提供し、一般的に次の 2 つの条件下で収束します: (1) 発生源 (電荷など) が原点近くに局在し、電位が観測される点が原点から遠い場合、または (2) その逆、つまり発生源が原点から遠くに位置し、電位が原点近くで観測される場合。最初の (より一般的な) ケースでは、級数展開の係数は外部多極モーメントまたは単に多極モーメントと呼ばれ、2 番目のケースでは内部多極モーメントと呼ばれます。

最も一般的には、級数は球面調和関数の和として表されます。したがって、関数は和として 表すことができます。ここ で、は標準球面調和関数、およびは関数に依存する定数係数です。項は単極子を表し、は双極子を表します。以下同様です。同様に、級数は^[5]として 表されることもよくあります。 ここで、は角度とによって与えられた方向の単位ベクトルの成分を表し、インデックスは暗黙的に合計されます。ここで、項は単極子であり、は双極子を表す3つの数値の集合です。以下同様です。 ${\displaystyle f(\theta,\varphi)}$$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell } ^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$${\displaystyle C_{\ell}^{m}}$${\displaystyle C_{0}^{0}}$${\displaystyle C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}}$$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots }$$${\displaystyle n^{i}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{i}}$

上記の展開では、係数は実数または複素数です。ただし、多重極展開として表現される関数が実数の場合、係数は特定の特性を満たす必要があります。球面調和関数展開では、次の式を満たす必要があります。 多重ベクトル展開では、各係数は実数である必要があります。 $${\displaystyle C_{\ell}^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell}^{m\ast }\,.}$$$${\displaystyle C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots }$$

スカラー関数の展開は、これまでのところ、多重極展開の最も一般的な応用であるが、任意の階数のテンソルを記述するために一般化することもできる。^{[6]これは、電磁気学における}ベクトルポテンシャルの多重極展開や、重力波の記述における計量摂動に使用されている。

座標原点から離れた 3 次元の関数を記述する場合、多極展開の係数は原点までの距離の関数として記述できます。最もよく使用されるのは、の累乗のローラン級数です。たとえば、原点付近の小さな領域にあるソースからの電磁ポテンシャル を記述する場合、係数は次のように記述できます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell } ^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}} {r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

多重極展開は、質量系の重力場、電荷と電流分布の電場と磁場、電磁波の伝播などの問題で広く使用されています。典型的な例としては、電子軌道の内部多重極との相互作用エネルギーから原子核の外部多重極モーメントを計算することが挙げられます。原子核の多重極モーメントは、原子核内の電荷の分布、つまり原子核の形状を示します。多重極展開を最初の非ゼロ項に切り捨てることは、理論計算に役立つことがよくあります。

多重極展開は数値シミュレーションでも役立ち、相互作用する粒子のシステムにおけるエネルギーと力を効率的に計算する一般的な手法であるGreengardとRokhlinの高速多重極法の基礎を形成します。基本的な考え方は、粒子をグループに分解することです。グループ内の粒子は通常どおり (つまり、完全なポテンシャルによって) 相互作用しますが、粒子のグループ間のエネルギーと力は多重極モーメントから計算されます。高速多重極法の効率は、一般にEwald 和の効率と同様ですが、粒子が密集している場合、つまりシステムの密度変動が大きい場合は高速多重極法の方が優れています。

位置ベクトルr _iを持つN個の点電荷q _iからなる離散電荷分布を考えます。電荷は原点の周りに密集しており、すべてのiについて: r _i < r _maxであり、r _{max は}有限の値を持つと仮定します。電荷分布による、電荷分布の外側の点RにおけるポテンシャルV ( R )は、 | R | > r _maxであり、 1/ Rの累乗で展開できます。この展開を行う 2 つの方法が文献に記載されています。1 つ目は、直交座標x、y、zにおけるテイラー級数であり、2 つ目は、球面極座標に依存する球面調和関数によるものです。直交アプローチには、ルジャンドル関数や球面調和関数などの事前の知識が不要であるという利点があります。その欠点は、導出がかなり面倒なことです (実際、その大部分は、 1780 年代にルジャンドルによって一度だけ行われた1 / | r − R |のルジャンドル展開の暗黙の再導出です)。また、多重極展開の一般項に閉じた表現を与えることは困難です。通常は、最初のいくつかの項のみが与えられ、その後に省略記号が続きます。

便宜上、v ( r ) = v (− r )と仮定します。 v ( r − R )の原点r = 0の周りのテイラー展開は、 テイラー係数を 使用して次のように記述できます 。 v ( r − R ) がラプラス方程式を満たす 場合、上記の展開により次のようになります。また 、この展開は、トレースのない直交2階テンソル の成分で書き直すことができます。 ここで、δ _{αβ は}クロネッカーのデルタで、r ² ≡ | r | ²です。トレースの除去は、回転不変のr ^{2 を}2階テンソルから 取り除くため、一般的です。$${\displaystyle {\begin{aligned}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )&=v(\mathbf {-R} )+\sum _{\alpha =x,y,z}r_{ \alpha }v_{\alpha }(\mathbf {-R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {-R} )+\cdots +\cdots \\&=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\ cdots +\cdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.}$$$${\displaystyle \left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,}$$$${\displaystyle \sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),}$$

ここで、 v ( r − R )の次の形式を考えてみましょう。 直接微分すると、次の式が得られます。 それぞれ、単極子、双極子、（トレースレス）四極子を定義し 、最終的に、個別の電荷のクーロンポテンシャルの合計である全ポテンシャルの多重極展開の最初の数項を取得します。^{[7] : 137–138}$${\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.}$$$${\displaystyle v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.}$$$${\displaystyle q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}}$$

この離散電荷分布のポテンシャルの展開は、以下に示す実固体高調波の展開と非常によく似ている。主な違いは、この展開は線形従属量で表されている点である。 $${\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.}$$

注: 電荷分布が、無限小距離d離れた反対符号の 2 つの電荷で構成され、d / R ≫ ( d / R ) ²である場合、展開における支配的な項は 電気双極子ポテンシャル場であることが簡単に示されます 。 $${\displaystyle V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),}$$

電荷分布の外側の点RにおけるポテンシャルV ( R ) 、つまり| R | > r _{max は}、ラプラス展開によって展開できます。 ここで、は不規則固体調和関数(以下では球面調和関数を で割ったものとして定義)、 は規則固体調和関数 (球面調和関数にr ^{ℓ を}掛けたもの) です。電荷分布の球面多重極モーメントを次のように 定義します。多重極モーメントは電荷分布 ( N個の電荷 の位置と大きさ) によってのみ決定されることに注意してください。 $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$${\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle R^{\ell +1}}$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .}$$

球面調和関数は単位ベクトルに依存します。（単位ベクトルは2つの球面極角によって決定されます。）したがって、定義により、不規則固体調和関数は次のように表すことができ、 電荷分布の外側の点Rにおける場V（R）の多極展開は次のように表されます。 ${\displaystyle {\hat {R}}}$$${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}$$

この展開は、最初のいくつかの項だけでなく、すべての項に対して閉じた形式を与えるという点で完全に一般的です。これは、球状多重極モーメントがポテンシャルの1/ R展開の係数として現れることを示しています。

最初の数項を実数形式で考えるのは興味深いことです。これらの項は、学部の教科書で一般的に見られる唯一の項です。m 和の被加数は、両方の因子を同時にユニタリ変換しても不変であり、複素球面調和関数の実数形式への変換はユニタリ変換によるため、実不規則立体調和関数と実多重極モーメントを単に置き換えることができます。ℓ = 0 の項は次のようになります 。 これは、実際にはクーロンの法則です。ℓ = 1 の項については、次の式を導入します 。 次に、 この項は、直交形式の項と同じです。 $${\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.}$$$${\displaystyle \mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.}$$$${\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.}$$

ℓ = 2項を記述するには、四重極モーメントの 5 つの実数成分と実球面調和関数の省略表記を導入する必要があります。このタイプの表記は 文献に記載されています。実数表記はすぐに扱いにくくなるのは明らかで、複素数表記の有用性が示されます。 $${\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),}$$

2 組の点電荷、つまり点Aの周りに集まった{ q _i }と点Bの周りに集まった{ q _j }を考えます。たとえば 2 つの分子を考えてみましょう。分子は定義により電子( 負の点電荷 ) と原子核( 正の点電荷 ) から構成されることを思い出してください。2つの分布間の 全静電相互作用エネルギーU _ABは、このエネルギーはAとB の 距離の逆数でべき級数展開できます。この展開はU _ABの多重極展開として知られています。 $${\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.}$$

この多重極展開を導くために、r _XY = r _Y − r _Xと書きます。 これは、 XからYに向かうベクトルです。2 つの分布は重ならないと仮定します。 この条件下では、次の形式で ラプラス展開 を適用できます。 ここで、およびは、それぞれ不規則固体調和関数と正規固体調和関数です。正規固体調和関数の変換により、有限展開が得られます。 ここで、尖った括弧内の量は、クレプシュ・ゴルダン係数です。さらに、 球面多重極 の定義Qを使用します。$${\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.}$$$${\displaystyle |\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),}$$${\displaystyle I_{L}^{M}}$${\displaystyle R_{L}^{M}}$$${\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,}$$$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$ ^メートル
_リットルそして、和の範囲を多少異なる順序で覆うと（これはLの範囲が無限大の場合にのみ許される）、最終的に

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}$$

これは、距離R _AB離れた2 つの重なり合わない電荷分布の相互作用エネルギーの多重極展開です。 この展開は明らかに1 / R _ABの累乗です。関数Y ^m _{l は}正規化された球面調和関数です。 $${\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},}$$

すべての原子と分子 ( S状態原子を除く) には、1 つ以上の消えない永久多重極モーメントがあります。文献にはさまざまな定義がありますが、球形の次の定義には、1 つの一般的な方程式に含まれるという利点があります。複素形式であるため、実際のものよりも計算で操作しやすいというさらなる利点があります。

電荷eZ _{i を}持つN個の粒子 (電子と原子核)からなる分子について考えます(電子のZ値は -1 ですが、原子核の場合は原子番号です)。粒子i は球面極座標r _i、θ _i、 φ _iと直交座標x _i、y _i、z _iを持ちます。(複素) 静電多重極演算子は、 Racah の正規化(Schmidt の半正規化とも呼ばれる)における正規固体調和関数 であるときに、次の式で表されます。分子が全正規化波動関数 Ψ (電子と原子核の座標に依存) を持つ場合、分子の多重極モーメントは期待値で与えられます。 分子が特定の点群対称性を持つ場合、これは波動関数に反映されます。Ψ は、グループの特定の既約表現λに従って変換されます("Ψ は対称型 λ を持ちます")。この結果、選択規則は多重極子演算子の期待値に当てはまる、つまり対称性のために期待値がゼロになる可能性がある。このよく知られた例は、反転中心を持つ分子は双極子を持たないという事実である（m = −1, 0, 1の期待値はゼロになる） 。対称性のない分子の場合、選択規則は機能せず、そのような分子は任意の順序のゼロにならない多重極子を持つことになる（双極子を持ち、同時に四極子、八極子、十六極子などを持つことになる）。 $${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})}$${\displaystyle \ell }$$${\displaystyle M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .}$$${\displaystyle Q_{1}^{m}}$

正規固体調和関数の最も低い明示的な形式（コンドン・ショートリー位相）は、 （分子の全電荷）を与えます。（複雑な）双極子成分は次のとおりです。 $${\displaystyle M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},}$$$${\displaystyle M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .}$$ $${\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .}$$

単純な線形結合によって、複素多重極演算子を実多重極演算子に変換できることに注目してください。実多重極演算子は、コサイン型またはサイン型です 。最も低いもののいくつかを以下に示します。 ${\displaystyle C_{\ell }^{m}}$${\displaystyle S_{\ell }^{m}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}\\S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i}\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2})\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i}\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;(x_{i}^{2}-y_{i}^{2})\\S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i}\\S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i}\end{aligned}}}$$

上記の複素分子多重極モーメントの定義は、この論文で与えられた定義の複素共役であり、正規化を除いてジャクソンによる古典電気力学の標準的な教科書の定義に従っています。さらに、^{ジャクソンの古典的な定義では、} N粒子の量子力学的期待値に相当するものは、1粒子の電荷分布の積分です。1粒子の量子力学システムの場合、期待値は電荷分布（波動関数の2乗の係数）の積分に他ならないことを覚えておいてください。そのため、この論文の定義はジャクソンの定義の 量子力学的N粒子一般化です。

^{この記事の定義は、ファノとラカ[8]}やブリンクとサッチラー^[9]の定義などと一致している。

多極子モーメントには多くの種類があります。これは、座標と電荷分布の 対称性に応じて、ポテンシャルの種類と級数展開によるポテンシャルの近似方法が多数存在するためです。最も一般的な展開は次のとおりです。

• 1/ Rポテンシャルの軸方向多重極モーメント。
• 1/ Rポテンシャルの球状多重極モーメント、および
• ln  Rポテンシャルの円筒多重極モーメント

1/ Rポテンシャルの例には、点源の電位、磁気ポテンシャル、重力ポテンシャルなどがあります。ln R ポテンシャルの例としては、無限線電荷の 電位があります。

数学と数理物理学における多重極モーメントは、互いに無限に接近した点源に対する場の応答に基づいて、関数を分解するための直交基底を形成します。これらは、さまざまな幾何学的形状に配置されていると考えることができます。または、分布理論の意味で、方向微分として考えることができます。

多重極展開は、物理法則とそれに関連する微分方程式の根底にある回転対称性と関係があります。ソース項（質量、電荷、電流など）が対称的でない場合でも、回転対称群の既約表現で展開することができ、球面調和関数と関連する直交関数のセットが得られます。変数の分離の手法を使用して、ラジアル依存性に対応する解を抽出します。

実際には、多くの場は有限個の多重極モーメントで十分に近似できます (ただし、場を正確に再構築するには無限の数が必要になる場合があります)。典型的な応用は、単極子項と双極子項によって局所電荷分布の場を近似することです。特定のオーダーの多重極モーメントに対して一度解決した問題を線形に組み合わせて、特定のソースに対する最終的な近似解を作成できます。

• バーンズ・ハットシミュレーション
• 高速多重極法
• ラプラス展開
• ルジャンドル多項式
• 四極子磁石は粒子加速器に使用されている
• ソリッドハーモニクス
• トロイダルモーメント
• ダイナミックトロイダルダイポール